2023年高考数学一轮复习第十一章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理高中数学.docx

第十一章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 题组一 分类加法计数原理的应用 1.右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在 年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件． 在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件 分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修 点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 (　　) A．15 B．16 C．17 D．18 解析：只需A处给D处10件，B处给C处5件，C处给D处1件，共16件次． 答案：B 2．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多项选择一门．学校规定，每位同学选修三门，那么每位同学不同的选修方案种数是 (　　) A．120 B．98 C．63 D．56 解析：分两类：第一类A，B，C三门课都不选，有＝35种方案；第二类A，B，C中选一门，剩余7门课中选两门，有＝63种方案．故共有35＋63＝98种方案． 答案：B 3．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种． 解析：分三类：甲在周一，共有种排法； 甲在周二，共有种排法； 甲在周三，共有种排法． ∴＋＋＝20. 答案：20 题组二 分步乘法计数原理 4.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为 (　　) A．504 B．210 C．336 D．120 解析：三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7,8,9种方法，∴插法种数为7×8×9＝504或÷＝504. 答案：A 5．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 (　　) A．6个 B．9个 C．18个 D．36个 解析：由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数． 答案：C 6．(2023·本溪模拟)如以下图的几何体是由一个正三棱锥P—ABC 与正三棱柱ABC—A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个 几何体的外表染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同 色，那么不同的染色方案共有________种． 解析：先涂三棱锥P—ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有×××＝3×2×1×2＝12种不同的涂法． 答案：12 7．用n种不同的颜色为以下两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色． (1)假设n＝6，那么为甲图着色的不同方法共有________种； (2)假设为乙图着色时共有120种不同方法，那么n＝________. 解析：(1)由分步乘法计数原理，对区域①②③④按顺序着色，共有6×5×4×4＝480种方法． (2)与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由2块变成了3块．同样利用分步乘法计数原理，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.所以(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，所以n2－3n－10＝0，n2－3n＋12＝0(舍去)，解得n＝5，n＝－2(舍去)． 答案：(1)480　(2)5 题组三 两个计数原理的综合应用 8.(2023·淮阴模拟)集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，那么这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是 (　　) A．18 B．10 C．16 D．14 解析：M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个．N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．所求不同的点的个数是2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14(个)． 答案：D 9．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，那么称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数个数为 (　　) A．240 B．204 C．729 D．920 解析：分8类，当中间数为2时，有1×2＝2种； 当中间数为3时，有2×3＝6种； 当中间数为4时，有3×4＝12种； 当中间数为5时，有4×5＝20种； 当中间数为6时，有5×6＝30种； 当中间数为7时，有6×7＝42种； 当中间数为8时，有7×8＝56种； 当中间数为9时，有8×9＝72种． 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种． 答案：A 10．如以下图，在A，B间有四个焊接点，假设焊接点脱落， 那么可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，那么焊 接点脱落的不同情况有______种． 解析：每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比拟复杂．但电路通的情况却只有3种，即2或3脱落或全不脱落．因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，故共有24－3＝13种情况． 答案：13 11．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A、B、C、D、E、F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，那么不同的安排方案共有________种． 解析：假设A上第一节课，那么第四节课只能由C上，其余两节课由其他人上，有种安排方法；假设B上第一节课，那么第四节课有2种安排方法，其余两节课由其他人上，有2×种安排方法．所以不同安排方法的种数为＋2×＝36. 答案：36 12．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注．假设这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？ 解：第1步：从01到17中选3个连续号有15种选法； 第2步：从19到29中选2个连续号有10种选法； 第3步：从30到36中选1个号有7种选法． 由分步计数原理可知： 满足要求的注数共有15×10×7＝1 050注， 故至少要花1 050×2＝2 100.