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2023
江苏省
常州市
武进
高中
数学
中文
2023—2023学年度第一学期 中学高三年级 数学试题 (2023.11.文科)
考生注意:
1.本试卷共4页,包括填空题(第1题—第14题)、解答题(第15题—第20题)两局部.本试卷总分值160分,考试时间120分钟.
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置.
3.作答各题时,必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置,在其它位置作答一律无效.
4.如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.
一、填空题:本大题共14小题,每题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1、假设,那么___▲___.
2、存在实数,使得成立,那么的取值范围是___▲___.
3、数列为等差数列,且,那么= ___▲___.
4、向量,假设与垂直,那么___▲___.
5、△中,三内角、、所对边的长分别为、、,,
不等式的解集为,那么___▲___.
6、函数和的图象的对称中心
完全相同,假设,那么的取值范围是___▲___.
7、设为互不重合的两个平面,为互不重合的两条直线,给出以下四个命题:
①假设,那么;②假设∥,∥,那么∥
③假设,那么
④假设,∥,那么∥
其中所有正确命题的序号是___▲___.
8、假设函数,点在曲线上运动,作轴,垂足为,
那么△(为坐标原点)的周长的最小值为___▲___.
9、函数在内至少有个最小值点,那么正整数的最小值
为___▲___.
10、如果实数,那么的最大值为___▲___.
11、,且关于的函数在上有极值,
那么与的夹角范围为___▲___.
12、集合|是棱长为1的正方体外表上的点,且,那么集合中所有点的轨迹的长度是___▲___.
13、如图放置的边长为的正三角形沿的纵坐标与横坐标的函数关系式是,那么的最小正周期为;在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为,那么=___▲___.
14、数列满足:(为正整数),假设,那么所有可能的取值为___▲___.
二、解答题:本大题共六小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(此题总分值14分)
向量=(,),=(,),定义函数=
(1)求的最小正周期;
(2)假设△的三边长成等比数列,且,求边所对角以及
的大小.
16.(此题总分值14分)
在所有棱长都相等的斜三棱柱中,,,且,连接
(1)求证:平面
(2)求证:四边形为正方形
17.(此题总分值14分)
如图,在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点,作扇形的内接矩形,使点在上,点在上,设矩形的面积为,
(1)按以下要求写出函数的关系式:
①设,将表示成的函数关系式;
②设,将表示成的函数关系式,
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出的最大值.
18.(此题总分值16分)
函数,(),
A=
(Ⅰ)求集合;
(Ⅱ)如果,对任意时,恒成立,求实数的范围;
(Ⅲ)如果,当“对任意恒成立〞与“在内必有解〞同时成立时,求 的最大值.
19.(此题总分值16分)
设为数列的前项之积,满足.
(1)设,证明数列是等差数列,并求和;
(2)设求证:.
20.(此题总分值16分)
函数.
(1)试求的单调区间;
(2)当时,求证:函数的图像存在唯一零点的充要条件是;
(3)求证:不等式对于恒成立.
2023—2023学年度第一学期××中学高三年级数学试题参考答案(2023.11.文科)
一、填空题:
二、解答题:
15.解:(1)f(x)=p·q=(sin x,cos x)·(cos x,cos x)=sin xcos x+cos2x………………2分
=sin 2x+·=sin 2x+cos 2x+
=sin(2x+)+.………………………………………………………………………………4分
∴f(x)的最小正周期为T==π.………………………………………………………………6分
(2)∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac,………………………………………………………7分
又c2+ac-a2=bc.
∴cos A====.…………………………………………………10分
又∵0<A<π,∴A=.…………………………………………………………………………12分
f(A)=sin(2×+)+=sin π+=.……………………………………………………14分
16.(1)【证明】因为是菱形,所以……………………………………1分
又,所以.………………………………………………………3分
所以。………………………………………………………………………………4分
因为,所以……………………………………………6分
所以…………………………………………………………………………7分
所以,………………………………………………… 2分
所以.……………………………………… 4分
②因为,,,
所以………………………………… 6分
所以,
即,…………………………… 8分
(2)选择,…………… 12分
……………………………………… 13分
所以.……………………………………………………………… 14分
18.(本小题总分值16分)
解:(Ⅰ)令,那么
即即,
,所以,所以,
即 …………………………………………………………5分
因为,所以. ……………………11分
(Ⅲ)对任意,恒成立,
得,
由有解,有解,即,
,,. ……………………………………14分
满足条件所表示的区域,设,根据可行域求出当时取得.
所以的最大值为. …………………………………………16分
19.本小题主要考察等差数列定义、通项、数列求和、不等式等根底知识,考察综合分析问题的能力和推理论证能力.
解:(1)∵,
∴数列是以2为首项,以1为公差的等差数列,
∴,……………………………………………………6分
∴,
∴………………………………………………………… 8分
(2),
∵
………………………………………………………………11分
∴ ………………………………………………………………12分
当时,
,………………………………………………………14分
当时,,……………………………………………15分
∴.……………………………………………………………………16分
20.(1).…………………………………………………… 2分
当时,,在上单调递增;……………………………………………3分
当时,时,,在上单调递减;
时,,在上单调递增.……………………………………5分
综上所述,当时,的单调递增区间为;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.………………… 6分
(2)充分性:a=1时,由(1)知,在x=1处有极小值也是最小值,
即.而(0,1)在上单调递减,在上单调递增,
在上由唯一的一个零点x=1.……………………………………………………9分
必要性:=0在上有唯一解,且a>0, 由(1)知,在x=a处有极小值也是最小值f(a), f(a)=0,即.
令, .
当时,,在(0,1)上单调递增;当a>1时,,
在上单调递减.,=0只有唯一解a=1.
∴.∴.…………………… 16分