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2023年江苏省常州市武进高中高三数学期中文.docx
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2023 江苏省 常州市 武进 高中 数学 中文
2023—2023学年度第一学期 中学高三年级 数学试题 (2023.11.文科) 考生注意: 1.本试卷共4页,包括填空题(第1题—第14题)、解答题(第15题—第20题)两局部.本试卷总分值160分,考试时间120分钟. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置. 3.作答各题时,必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置,在其它位置作答一律无效. 4.如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚. 一、填空题:本大题共14小题,每题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1、假设,那么___▲___. 2、存在实数,使得成立,那么的取值范围是___▲___. 3、数列为等差数列,且,那么= ___▲___. 4、向量,假设与垂直,那么___▲___. 5、△中,三内角、、所对边的长分别为、、,, 不等式的解集为,那么___▲___. 6、函数和的图象的对称中心 完全相同,假设,那么的取值范围是___▲___. 7、设为互不重合的两个平面,为互不重合的两条直线,给出以下四个命题: ①假设,那么;②假设∥,∥,那么∥ ③假设,那么 ④假设,∥,那么∥ 其中所有正确命题的序号是___▲___. 8、假设函数,点在曲线上运动,作轴,垂足为, 那么△(为坐标原点)的周长的最小值为___▲___. 9、函数在内至少有个最小值点,那么正整数的最小值 为___▲___. 10、如果实数,那么的最大值为___▲___. 11、,且关于的函数在上有极值, 那么与的夹角范围为___▲___. 12、集合|是棱长为1的正方体外表上的点,且,那么集合中所有点的轨迹的长度是___▲___. 13、如图放置的边长为的正三角形沿的纵坐标与横坐标的函数关系式是,那么的最小正周期为;在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为,那么=___▲___. 14、数列满足:(为正整数),假设,那么所有可能的取值为___▲___. 二、解答题:本大题共六小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(此题总分值14分) 向量=(,),=(,),定义函数= (1)求的最小正周期; (2)假设△的三边长成等比数列,且,求边所对角以及 的大小. 16.(此题总分值14分) 在所有棱长都相等的斜三棱柱中,,,且,连接 (1)求证:平面 (2)求证:四边形为正方形 17.(此题总分值14分) 如图,在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点,作扇形的内接矩形,使点在上,点在上,设矩形的面积为, (1)按以下要求写出函数的关系式: ①设,将表示成的函数关系式; ②设,将表示成的函数关系式, (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出的最大值. 18.(此题总分值16分) 函数,(), A= (Ⅰ)求集合; (Ⅱ)如果,对任意时,恒成立,求实数的范围; (Ⅲ)如果,当“对任意恒成立〞与“在内必有解〞同时成立时,求 的最大值. 19.(此题总分值16分) 设为数列的前项之积,满足. (1)设,证明数列是等差数列,并求和; (2)设求证:. 20.(此题总分值16分) 函数. (1)试求的单调区间; (2)当时,求证:函数的图像存在唯一零点的充要条件是; (3)求证:不等式对于恒成立. 2023—2023学年度第一学期××中学高三年级数学试题参考答案(2023.11.文科) 一、填空题: 二、解答题: 15.解:(1)f(x)=p·q=(sin x,cos x)·(cos x,cos x)=sin xcos x+cos2x………………2分 =sin 2x+·=sin 2x+cos 2x+ =sin(2x+)+.………………………………………………………………………………4分 ∴f(x)的最小正周期为T==π.………………………………………………………………6分 (2)∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac,………………………………………………………7分 又c2+ac-a2=bc. ∴cos A====.…………………………………………………10分 又∵0<A<π,∴A=.…………………………………………………………………………12分 f(A)=sin(2×+)+=sin π+=.……………………………………………………14分 16.(1)【证明】因为是菱形,所以……………………………………1分 又,所以.………………………………………………………3分 所以。………………………………………………………………………………4分 因为,所以……………………………………………6分 所以…………………………………………………………………………7分 所以,………………………………………………… 2分 所以.……………………………………… 4分 ②因为,,, 所以………………………………… 6分 所以, 即,…………………………… 8分 (2)选择,…………… 12分 ……………………………………… 13分 所以.……………………………………………………………… 14分 18.(本小题总分值16分) 解:(Ⅰ)令,那么 即即, ,所以,所以, 即 …………………………………………………………5分 因为,所以. ……………………11分 (Ⅲ)对任意,恒成立, 得, 由有解,有解,即, ,,. ……………………………………14分 满足条件所表示的区域,设,根据可行域求出当时取得. 所以的最大值为. …………………………………………16分 19.本小题主要考察等差数列定义、通项、数列求和、不等式等根底知识,考察综合分析问题的能力和推理论证能力. 解:(1)∵, ∴数列是以2为首项,以1为公差的等差数列, ∴,……………………………………………………6分 ∴, ∴………………………………………………………… 8分 (2), ∵ ………………………………………………………………11分 ∴ ………………………………………………………………12分 当时, ,………………………………………………………14分 当时,,……………………………………………15分 ∴.……………………………………………………………………16分 20.(1).…………………………………………………… 2分  当时,,在上单调递增;……………………………………………3分   当时,时,,在上单调递减; 时,,在上单调递增.……………………………………5分 综上所述,当时,的单调递增区间为; 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.………………… 6分 (2)充分性:a=1时,由(1)知,在x=1处有极小值也是最小值, 即.而(0,1)在上单调递减,在上单调递增, 在上由唯一的一个零点x=1.……………………………………………………9分 必要性:=0在上有唯一解,且a>0, 由(1)知,在x=a处有极小值也是最小值f(a), f(a)=0,即. 令, . 当时,,在(0,1)上单调递增;当a>1时,, 在上单调递减.,=0只有唯一解a=1. ∴.∴.…………………… 16分

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