2023年高中数学竞赛标准讲义第四章几个初等函数的性质doc高中数学.docx

高中数学竞赛标准讲义：第四章：几个初等函数的性质 一、根底知识 1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，y=ax是减函数，当a>1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。 2．分数指数幂：。 3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0<a<1，y=logax为减函数，当a>1时，y=logax为增函数。 4．对数的性质（M>0, N>0）； 1）ax=Mx=logaM(a>0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N； 3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；， 5）loga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c1). 5. 函数y=x+（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明） 6．连续函数的性质：假设a<b, f(x)在[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，那么f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。 二、方法与例题 1．构造函数解题。 例1 a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0. 【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，那么f(x)是关于x的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1<a<1）. 因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0， 所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0. 例2 （柯西不等式）假设a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn∈R，那么（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使ai=, i=1, 2, …, n时成立。 【证明】 令f(x)= （）x2-2()x+=, 因为>0，且对任意x∈R, f(x)≥0， 所以△=4()-4（）()≤0. 展开得（）()≥()2。 等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=, i=1, 2, …, n。 例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=的最小值。 【解】u==xy+≥xy++2· =xy++2. 令xy=t，那么0<t=xy≤,设f(t)=t+,0<t≤ 因为0<c≤2，所以0<≤1，所以f(t)在上单调递减。 所以f(t)min=f()=+，所以u≥++2. 当x=y=时，等号成立. 所以u的最小值为++2. 2．指数和对数的运算技巧。 例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。 【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，那么p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以9 t +12 t =16 t，即1+ 记x=，那么1+x=x2，解得 又>0，所以= 例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，假设ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c. 【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70， 相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设， 所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70. 所以abc=70=2×5×7. 假设a=1，那么因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1. 又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c. 例6 x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab. 【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得 ， 因为ac>0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3．指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。 例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为=1。设f(x)= , 那么f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3. 例8 解方程组：（其中x, y∈R+）. 【解】 两边取对数，那么原方程组可化为 ①② 把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6， 代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0. 又y>0，所以y=2, x=4. 所以方程组的解为 . 例9 a>0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。 【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.①②③ 假设①、②同时成立，那么③必成立， 故只需解. 由①可得2kx=a(1+k2)， ④ 当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=，代入②得>k. 假设k<0，那么k2>1，所以k<-1；假设k>0，那么k2<1，所以0<k<1. 综上，当k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。 三、根底训练题 1．命题p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y〞是命题q:“x+y≥0”的_________条件。 2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，那么x1+x2=_________. 3．f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，那么不等式|f-1(log2x)|<1的解集为_________。 4．假设log2a<0，那么a 取值范围是_________。 5．命题p: 函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，那么p是q的_________条件。 6．假设0<b<1, a>0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7．f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，那么函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。 8．假设x=，那么与x最接近的整数是_________。 9．函数的单调递增区间是_________。 10．函数f(x)=的值域为_________。 11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数, n≥2, a∈R.假设f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。 12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？ 四、高考水平训练题 1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________. 2．不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立，那么m的取值范围是_________. 3．假设x∈{x|log2x=2-x}，那么x2, x, 1从大到小排列是_________. 4. 假设f(x)=ln，那么使f(a)+f(b)=_________. 5. 命题p: 函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，那么p是q的_________条件. 6．假设0<b<1, a>0且a1，比较大小：|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 7．f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，那么函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________. 8．假设x=，那么与x最接近的整数是_________. 9．函数y=的单调递增区间是_________. 10．函数f(x)=的值域为_________. 11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。假设f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。 12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？ 四、高考水平训练题 1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是__________. 2．不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立，那么m的取值范围是 ________. 3．假设x∈{x|log2x=2-x}，那么x2, x, 1从大到小排列是________. 4．假设f(x)=ln，那么使f(a)+f(b)=成立的a, b的取值范围是________. 5．an=logn(n+1)，设，其中p, q为整数，且(p ,q)=1，那么p·q的值为_________. 6．x>10, y>10, xy=1000，那么(lgx)·(lgy)的取值范围是________. 7．假设方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，那么实数k的取值范围是________. 8．函数f(x)=的定义域为R，假设关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，那么b, c应满足的充要条件是________. （1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。 9．f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，那么F(x)是________函数（填奇偶性）. 10．f(x)=lg，假设=1，=2，其中|a|<1, |b|<1，那么f(a)+f(b)=________. 11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。 12．设f(x)=|lgx|，实数a, b满足0<a<b, f(a)=f(b)=2f，求证： （1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3<b<4. 13．设a>0且a1, f(x)=loga(x+)(x≥1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）假设f-1(n)<(n∈N+)，求a的取值范围。 五、联赛一试水平训练题 1．如果log2[log(log2x)]= log3[log(log3x)]= log5[log(log5z)]=0，那么将x, y, z从小到大排列为___________. 2．设对任意实数x0> x1> x2> x3>0，都有log1993+ log1993+ log1993> klog1993恒成立，那么k的最大值为___________. 3．实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，那么的值为___________. 4．0<b<1, 00<α<450，那么以下三个数：x=(sinα)logbsina, y=(cosα) logbsina, z=(sinα) logbsina从小到大排列为___________. 5．用[x]表示不超过x的最大整数，那么方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________. 6．设a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，记a, b, c中的最大数为M，那么M的最小值为______