2023年高三数学一轮热身AB组125《空间直角坐标系》doc高中数学.docx

第五节 空间直角坐标系 A组 1．(2023年高考安徽卷)在空间直角坐标系中，点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，那么M的坐标是________． 解析：设M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0) 2．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么实数x的值为________． 解析：因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么有|AB|＝|AC|，∴＝，化简得(x－4)2＝4，∴x＝2或6.答案：2或6 3．x、y、z满足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，那么x2＋y2＋z2的最小值是________． 解析：x2＋y2＋z2可看成球面上的点到原点距离的平方，其最小值为(－)2＝(4)2＝32.答案：32 4．(2023年广州调研)与A(3,4,5)、B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是________． 解析：由|MA|＝|MB|，即(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0.答案：10x＋2y＋10z－37＝0 5．(原创题)A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，点A在x轴上的射影为A′，点B在z轴上的射影为B′，那么线段A′B′的长为________． 解析：可知A′(3,0,0)，B′(0,0,3)，∴|A′B′|＝＝3. 6．如下列图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，P、Q分别是D′B，B′C的中点，求PQ的长． 解：以D为坐标原点，DA、DC、DD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得，B(a，a,0)，D′(0,0，a)，∵P(，，)．又C(0，a,0)，B′(a，a，a)，∴Q(，a，)． ∴|PQ|＝ ＝. B组 1．△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)，那么△ABC的重心坐标为______． 解析：三角形三个顶点分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，那么其重心为M，故所求重心为(4，，2)． 答案：(4，，2) 2．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，那么|AB|等于______． 解析：点A关于xOy面的对称点为B(2，－3，－5)，∴||＝|5－(－5)|＝10. 3．正方体不在同一外表上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，那么正方体的体积为______． 解析：设棱长为a，那么a＝，∴a＝4，∴V＝64. 4．(2023年江苏宜兴模拟)B是点A(3,7，－4)在xOy平面上的射影，那么2等于______． 解析：A在xOy平面上射影为B(3,0，－4)，那么＝(3,0，－4)，2＝25. 5．在z轴上与点A(－4,1,7)和点B(3,5，－2)等距离的点C的坐标为 ______. 解析：设z轴上的点为(0,0，z)，那么根据题意有 ＝， 那么17＋49－14z＝9＋25＋4＋4z，∴z＝.故该点是(0,0，)． 6．在空间直线坐标系中，方程x2－4(y－1)2＝0表示的图形是__________． 解析：x2－4(y－1)2＝0化为[x－2(y－1)][x＋2(y－1)]＝0，∴x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0，表示两个平面．答案：两个平面 7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，那么该正方体的棱长为__________． 解析：由A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)所以C1(－3,3,2)．正方体的体对角线长为AC1＝＝2，所以正方体棱长为＝.答案： 8．ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，那么顶点D的坐标为________． 解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点O(，4，－1)，设D(x，y，z)，那么＝，4＝，－1＝， ∴x＝5，y＝13，z＝－3，故D(5,13，－3)． 9．如下列图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1与BO1的交点，那么M点的坐标是______． 解析：∵OA＝2，AB＝3，AA1＝2， ∵A(2,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,3,0)，故B1(2,3,2)．∴M点的坐标为(，，)，即M(1,1.5,1)． 答案：(1,1.5,1) 10．如下列图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D、E分别是棱AB、B1C1的中点，F是AC的中点，求DE、EF的长度． 解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如下列图的空间直角坐标系． ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得， D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)， ∴|DE|＝＝， |EF|＝＝. 11．A(1,2，－1)，B(2,0,2)． (1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|； (2)在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点的轨迹． 解：(1)设P(a,0,0)，那么由，得＝， 即a2－2a＋6＝a2－4a＋8.解得a＝1.所以P点坐标为(1,0,0)． (2)设M(x,0，z)，那么有＝. 整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0. 故M点的轨迹是xOz平面内的一条直线． 12．在正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如下列图的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P、Q两点间的最小距离． 解：由于S－ABCD是正四棱锥，所以P点在底面上的射影R在OC上，又底面边长为a，所以OC＝a， 而侧棱长也为a，所以SO＝OC，于是PR＝RC，故可设P点的坐标为(－x，x，a－x)(x>0)，又Q点在底面ABCD的对角线BD上，所以可设Q点的坐标为(y，y,0)，因此P、Q两点间的距离PQ＝ ＝ ，显然当x＝，y＝0时d取得最小值，d的最小值等于，这时，点P恰好为SC的中点，点Q恰好为底面的中心．