2023年赣州市第二学期高三理科数学期中试题及答案2.docx

2023—2023学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考 高三年级数学（理科）试卷 命题学校：会昌中学 寻乌中学 命题人：黄小锋 审题人：陈兴盛、蓝元伦 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．） 1．设集合，集合，那么 （ 　） A． B． （﹣∞，1] C． D． 2．向量是两个不共线的向量，假设与共线，那么λ的值为 ( ) A. B. C. 1 D. 3．直线与圆相交于A，B两点，那么“△OAB的面积为〞是“〞 的 （ ） 4．设随机变量服从正态分布N（0，1），假设 （ ） A． B． C． D． 5．设满足约束条件，那么目标函数的取值范围为 （　 　） 　 A． B． C． D． 6．在中，的对边分别为，且，， 那么的面积为 ( ) A． B． C． D． 7．定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有.那么 （ ） A． B． C． D． 8．的展开式中不含的项的系数和为 ( ) A．32 B． C．64 D． 9．抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，那么双曲线的离心率为 ( ) A．＋2 B．＋1 C．＋1 D．＋1 正视图 侧视图 俯视图 5 3 4 3 （11题图） 的所有正的零点从小到大依次为. 设，那么的值是 （ ） A.0 B. C. 11．假设某几何体的三视图(单位：)如下列图，那么该几何体的体积等于(　 　) A． B． C． D． 12．函数和函数，假设的反函数为，且与两图象只有3个交点，那么的取值范围是 （　 　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．） 13．假设复数为纯虚数，那么的值为 14．设，，那么 ． 15．当输入的实数时，执行如下列图的程序框图，那么输出的 不小于103的概率是 。 16．假设，那么的最小值为 。 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题总分值12分） 公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足成等比数列，。 求数列{an}的通项公式； 令，是否存在正整数M，使不等式恒成立，假设存在，求出M的最小值；假设不存在，说明理由． 18．（本小题总分值12分） 某大学自主招生分笔试和面试两局部，老师把参加笔试的 40 名学生的成绩分组： 第1组[75,80），第2组 [80,85），第3组[85, 90），第4组 [90, 95），第5组[95,100），得到频率分布直方图如下列图： 分别求成绩在第4，5组的人数； 假设该教师决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试， ①甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率； ②假设决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官 D 的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望． 19、（本小题总分值12分） 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，，． 求证：； 求二面角的余弦值． 20、（本小题总分值12分） 设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点. （I）求椭圆的方程； （II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值. 21．（本小题总分值12分） 函数。 （Ⅰ）函数的单调增区间和最小值； （Ⅱ）设函数，假设对任意恒成立，求实数的取值范围. 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22、（本小题总分值10分） 如图，设AB为⊙O的任一条不与直线垂直的直径，P是⊙O与的公共点，AC⊥，BD⊥，垂足分别为C，D，且PC=PD． （Ⅰ）求证：是⊙O的切线； （Ⅱ）假设⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长． 23、（本小题总分值10分） 直线的参数方程是（是参数），⊙C的极坐标方程为． （Ⅰ）求圆心C的直角坐标； （Ⅱ）试判断直线与⊙C的位置关系． 24．（本小题总分值10分） 函数． （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）假设关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围． 2023—2023学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考 高三年级数学（理科）参考答案 一、选择题 1—5:ABBCD 6—10：CABDA 11—12：BC 二、填空题 13、 14、-2 15、 16、 三、解答题 17．（本小题总分值12分） 解　(1)设公差为d,由，得 ，………………………………2分 由得 …………………………………………………………5分 (2)由(1)得，……………………………….……….6分 ∴pn＝ ＝2＋－，…………………………………………………..…8分 ∴p1＋p2＋p3＋…＋pn－2n＝＋＋…＋－2n＝2＋1－－. 由n是整数可得p1＋p2＋p3＋…＋pn－2n<3……………………11分 故存在最小的正整数M＝3，使不等式p1＋p2＋p3＋…＋pn－2n≤M恒成立．…….12分 18．（本小题总分值12分） 解（Ⅰ）第4组学生人数为 ，第5组人数为 所以第4，5组的学生人数分别为8人，4人 -----------------------------------------4分 （Ⅱ）①因为第3组学生人数为，所以第3，4，5中抽取的人数分别是 3人，2人，1人，那么甲，乙同时进入面试的概率为 ---------------------8分 ②由①知，X的可能取值为0，1，2所以 X分布列为 X 0 1 2 P --------------------------------------------- 12分 19、（本小题总分值12分） A B C A1 B1 C1 z y x O 解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，那么 △ACC1和△B1CC1皆为正三角形． 取CC1中点O，连OA，OB1，那么 CC1⊥OA，且OA=OB1=，AB1＝ 由勾股定理可知OA⊥OB1， …5分 （Ⅱ）解：如下列图，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系， 那么C(0，－1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)， …6分 设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为＝(，0，－)，＝(0，－1，－)， 所以取m＝(1，－，1)． …8分 设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为＝(，0，－)，＝ (0，2，0)， 所以取n＝(1，0，1)． …10分 那么cosám，nñ＝＝＝，因为二面角C-AB1-A1为钝角， 所以二面角C-AB1-A1的余弦值为-． …12分 20．（本小题总分值12分） （I）由题意得， ∴，∴……………………………….1分 由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为 ， ∴，…………………………………………………………………………..3分 ∴ ∴椭圆C的方程为………………………………………………….4分 （II）当直线AB斜率不存在时，直线AB方程为，此时原点与直线AB的距离…..5分 当直线AB斜率存在时，设，直线AB的方程为 那么，， 直线AB的方程与椭圆C的方程联立得 消去得 整理得 那么是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴……………………………………….6分 ，∴ 整理得，∴， ∴O到直线AB的距离 综上：O到直线AB的距离定值. ……9分 ，当且仅当OA=OB时取“=〞号. ∴， 又，∴, 即弦AB的长度的最小值是　　………………………………………..12分 21．（本小题总分值12分） 解：（1）f′（x）=1+lnx，……………………………………………………….1分 令f′（x）=1+lnx＞0解得，x＞； 故f（x）的单调增区间为（，+∞）； f（x）的单调减区间为（0，）；………………………………………………..3分 故f（x）的最小值为f（）=﹣；………………………………………………4分 （2）由题可得……………………………………………………5分 设，即. …………………………………………6分 ① 假设，，这与题设矛盾…………7分 ②假设方程的判别式 当，即时，. 在上单调递减， ，即不等式成立…………………………………………9分 当时，方程，其两根满足：，， 当时， ，单调递增，，与题设矛盾…………………11分 综上所述，………………………………………………………………………………………12分 22、（本小题总分值10分） （Ⅰ）证明：连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l， 所以AC∥BD． 又OA=OB，PC=PD， 所以OP∥BD，从而OP⊥l． 因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．…………..5分 （Ⅱ）解：由上知OP=（AC+BD）， 所以BD=2OP﹣AC=6， 过点A作AE⊥BD，垂足为E，那么BE=BD﹣AC=6﹣4=2， 在Rt△ABE中，AE==4， ∴CD=4．………………………………………….10分 23、（本小题总分值10分） 解：（I）由⊙C的极坐标方程为，展开化为，即， 化为 ∴圆心C．………………………………………………………………………………………..5分 （II）由直线l的参数方程（t是参数），消去参数t可得x﹣y-4=0， ∴圆心C到直线的距离， 因此直线l与圆相离．…………………………………………………………………………………….10分 24．（本小题总分值10分） 解：（Ⅰ）由得 解得 ∴不等式的解集为．………………………………….4分 （Ⅱ）∵即的最小值等于4，….6分 由题可知|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5． 故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．…………………………………10分