2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版17.docx

1997年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试 (10月5日上午8:00-10:00) 一、选择题(每题6分，共36分) 1．数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+L+xn，那么以下结论正确的选项是 (A)x100=-a，S100=2b-a (B)x100=-b，S100=2b-a (C)x100=-b，S100=b-a (D)x100=-a，S100=b-a 2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得==λ (0<λ<+∞)，记f(λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，那么 (A) f(λ)在(0，+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0，+∞)单调减少 (C) f(λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D) f(λ)在(0，+∞)为常数 3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，那么这样的数列共有 (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 4．在平面直角坐标系中，假设方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，那么m的取值范围为 (A)(0，1) (B)(1，+∞) (C)(0，5) (D)(5，+∞) 5．设f(x)=x2－πx，a = arcsin，β=arctan，γ=arcos(－)，d=arccot(－)，那么 (A)f(α)>f(β)>f(d)>f(γ) (B) f(α)> f(d)>f(β)>f(γ) (C) f(d)>f(α)>f(β)>f(γ) (D) f(d)>f(α)>f(γ)>f(β) 6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有 (A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条 二．填空题(每题9分，共54分) 1．设x，y为实数，且满足那么x+y = . 2．过双曲线x2－=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，假设实数λ使得|AB| =λ的直线l恰有3条，那么λ= . 3．复数z满足=1，那么z的幅角主值范围是 ． 4．三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，那么点O到平面ABC的距离为 ． 5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．假设在5次之内跳到D点，那么停止跳动；假设5次之内不能到达D点，那么跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种． 6．设a =logz+log[x(yz)-1+1]，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log[(xyz)-1+1]，记a，b，c中最大数为M，那么M的最小值为 ． 三、（此题总分值20分） 设x≥y≥z≥，且x+y+z =，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值． 四、(此题总分值20分) 设双曲线xy=1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上； (2)设P(-1，-1)在C2上， Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标． 五、(此题总分值20分) 设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足 其中S为实数且|S|≤2． 求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上． 第二试 (10月5日上午10:30-12:30) 一、（此题50分）如图，两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。 二、（此题50分）试问：当且仅当实数x0，x1，…，xn（n≥2）满足什么条件时，存在实数y0，y1，…，yn使得z=z+z+…+z成立，其中zk=xk+iyk，i为虚数单位，k=0，1，…，n。证明你的结论。 三、（此题50分）在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为xi , j（i=1，2，…，100；j=1，2，…，25）（如表1）。然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为x¢1 , j≥x¢2 , j≥…≥x¢100 , j（j=1，2，…，25）。（如表2） 求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足xi，j≤1（i=1，2，…，100）， 那么当i≥k时，在表2中就能保证x¢i，j≤1成立。 表1 表2 x1,1 x1,2 … x1,25 x¢1,1 x¢1,2 … x¢1,25 x2,1 x2,2 … x2,25 x¢2,1 x¢2,2 … x¢2,25 … … … … … … … … x100,1 x100,2 … x100,25 x¢100,1 x¢100,2 … x¢100,25 1997年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每题6分，共36分) 1．数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+L+xn，那么以下结论正确的选项是 (A)x100=-a，S100=2b-a (B)x100=-b，S100=2b-a (C)x100=-b，S100=b-a (D)x100=-a，S100=b-a 解：x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=－a， 又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2b－a．选A． 2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得==λ (0<λ<+∞)，记f(λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，那么 (A) f(λ)在(0，+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0，+∞)单调减少 (C) f(λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D) f(λ)在(0，+∞)为常数 解：作EG∥AC交BC于G，连GF，那么==，故GF∥BD．故∠GEF=αλ，∠GFE=βλ，但AC⊥BD，故∠EGF=90°．故f(λ)为常数．选D． 3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，那么这样的数列共有 (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 解：设首项为a，公差为d，项数为n，那么na+n(n－1)d=972，n[2a+(n－1)d]=2×972，即n为2×972的大于3的约数． ∴ ⑴ n=972，2a+(972－1)d=2，d=0，a=1；d≥1时a<0．有一解； ⑵n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解； ⑶n=2×97，n=2×972，无解．n=1，2时n<3.．选C 4．在平面直角坐标系中，假设方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，那么m的取值范围为 (A)(0，1) (B)(1，+∞) (C)(0，5) (D)(5，+∞) 解：看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线x－2y+3=0的距离的比： =<1Þm>5，选D． 5．设f(x)=x2－πx，a = arcsin，β=arctan，γ=arcos(－)，d=arccot(－)，那么 (A)f(α)>f(β)>f(d)>f(γ) (B) f(α)> f(d)>f(β)>f(γ) (C) f(i)>f(α)>f(β)>f(γ) (D) f(d)>f(α)>f(γ)>f(β) 解：f(x)的对称轴为x=， 易得， 0<α<<<β<<<γ<<<δ<．选B． 6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有 (A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条 解：在a、b、c上取三条线段AB、CC¢、A¢D¢，作一个平行六面体ABCD—A¢B¢C¢D¢，在c上取线段A¢D¢上一点P，过a、P作 一个平面，与DD¢交于Q、与CC¢交于R，那么QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交．由于可以取无穷多个点P．应选D． 二．填空题(每题9分，共54分) 1．设x，y为实数，且满足那么x+y = . 解：原方程组即 取 f(t)=t3+1997t+1，f ¢(t)=3t2+1987>0．故f(t)单调增，现x－1=1－y，x+y=2． 2．过双曲线x2－=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，假设实数λ使得|AB| =λ的直线l恰有3条，那么λ= ． 解：右支内最短的焦点弦==4．又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2，这样的弦由对称性有两条．故λ=4时 设AB的倾斜角为θ，那么右支内的焦点弦λ==≥4，当θ=90°时，λ=4． 与左支相交时，θ=±arccos时，λ===4．故λ=4． 3．复数z满足=1，那么z的幅角主值范围是 ． 解：=1Û4r4+(4cos2θ－1)r2+1=0，这个等式成立等价于关于x的二次方程4x2+(4cos2θ－1)x+1=0有正根．△=(4cos2θ－1)2－16≥0，由x1x2=>0，故必须x1+x2=－>0． ∴cos2θ≤－．∴ (2k+1)π－arccos≤2θ≤(2k+1)π+arccos． ∴ kπ+－arccos≤θ≤kπ++arccos，(k=0，1) 4．三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，那么点O到平面ABC的距离为 ． 解：SA=SB=SC=2，ÞS在面ABC上的射影为AB中点H，∴ SH⊥平面ABC． ∴ SH上任意一点到A、B、C的距离相等． ∵ SH=，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，那么O为SABC的外接球球心．SM=1，∴SO=，∴ OH=，即为O与平面ABC的距离． 5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．假设在5次之内跳到D点，那么停止跳动；假设5次之内不能到达D点，那么跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种． 解：青蛙跳5次，只可能跳到B、D、F三点(染色可证)． 青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1〞，在□中填“+〞号或“－〞号： □1□1□1□1□1 规那么可解释为：前三个□中如果同号，那么停止填写；假设不同号，那么后2个□中继续填写符号． 前三□同号的方法有2种；