2023年高考数学复习第八章圆锥曲线的方程理北师大版.docx

第八章 圆锥曲线的方程 1、F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形，假设双曲线恰好平分正三角形的另两边，那么双曲线的离心率是 〔 〕 A、 B、 C、 D、 M x y N F2 1、D 【思路分析】法一：F2 (c , 0)，M (0 ,c) 依MF2中点N ()在双曲线上，得=1 即=1=1. 注意到e >1，解得e =+1. 法二：连NF1，那么| NF1| =c，| NF2| = c. 根据双曲线的第一定义，有| NF1| - | NF2| = 2a. 即c – c = 2a ∴e ==+1. 2．以下命题中假命题是〔 〕 A．离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直 B．过点〔1，1〕且与直线x－2y+=0垂直的直线方程是2x + y－3=0 C．抛物线y2 = 2x的焦点到准线的距离为1 D．+=1的两条准线之间的距离为 2．解答：A：e = ，a = b，渐近线y = ±x 互相垂直，真命题。 B：设所求直线斜率为k，那么k=－2，由点斜式得方程 为2x+y－3＝0 也为真命题 C：焦点F〔，0〕准线x = － d = 1真命题 D： a = 5 ，b = 3 ，c = 4 ，d = 2· 假命题，选D 评析：考察圆锥曲线的根本知识，考察熟练程度。 3.双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为该双曲线在第一象限的点，△PF1F2面积为1，且那么该双曲线的方程为 A． B． C． D． 3. A【思路分析】：设，那么， 【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算 4、点为椭圆上且位于在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，假设点到直线的距离不大于3，那么实数的取值范围是( ) A.[-7 ，8] B.[，] C.[，] D.(，)∪[8 ，] 4、A ，设，那么 ， ， ∴ , ， ，得 . 5、在中，B(-2 ，0)，C(2 ，0)，A(x ，y)，给出满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边满足的条件及相应的右边A点的轨迹方程连起来：(错一条连线得0分) ①△ABC周长为10 ②△ABC面积为10 ③△ABC中∠A=90° ④△ABC中AB=AC (b) x2+y2=4 (y≠0) (c) x=0 (y≠0) (a) y2=25 (d) ① ② ③ ④ (a) (b) (c) (d) 5、 [ ① → (d) ，② → (a) ， ③ → (b) ④ → (c) ] 6．点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,那么d1+d2的最不值为 〔 〕 A．5 B．4 C． 〔D〕 6、 C 【思路分析】：由于点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，所以过焦点F到直线x+2y+10=0的距离即是 【命题分析】：考察抛物线的几何性质及距离的转化思想 7、双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线上，且，那么此双曲线的离心率的最大值为 〔 〕 A、 B、 C、 D、2 { 7、〔分析：，由 〔〕 又 ∴ 应选B项〕 8．动圆C恒过定点(0，1)并总与y=-1相切，那么此动圆圆心的轨迹方程为〔 〕 A．y2=4x B．x2=4y C．y2=2x D．x2=2y 8．B [思路分析]：圆心到〔0，1〕的距离等于到y=-1的距离，那么其轨迹为抛物线。 [命题分析]：考查圆的知识及抛物线定义和四种方程形式。 9．假设、为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右准线上，且满足，那么该双曲线的离心率为〔 〕 A． B． C． D．3 9．C【思路分析】：由知四边形是平行四边形，又 知平分，即是菱形，设，那么. 又，∴，由双曲线的第二定义知：,且，∴，应选. 【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性. 10.以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，那么动点P的轨迹为椭圆； ②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，假设那么动点P的轨迹为椭圆； ③到定直线和定点的距离之比为的点的轨迹是双曲线的左半支； ④方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 其中真命题的序号为 〔写出所有真命题的 10.④ 11．P分的比是－x，B分的比是y，那么p〔x,y〕所在的曲线是 〔选填直线、抛物线、椭圆、双曲线〕 A B P · · · 11．解答：将AP分为x份，BP占1份， ∴y = 填双曲线 评析：考察定比分点概念与公式。难点是函数y = 的图象为双曲线。 M B C P Q A 12．如图，B地在A地正东方向6km处，C地在 B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ 〔曲线〕上任一点到A的距离比到B的距离远 4km，现要在曲线PQ上选一处M，建一码头， 向BC两地转运货物，经测算，从M到B、M 到C修建公路费用分别是20万元/km、30万元/km， 那么修建这条路的总费用最低是 M B C P Q A y x o 12．解答：以AB为X轴，AB的中垂线为Y轴，建立平面直角坐标系。 那么c=3，a=2，b= 曲线PQ的方程为 〔x≥2〕 点C〔4，〕 焦点B对应的 准线l：x = 由双曲线第二定义 ∴30|MC|+20|MB|=30〔|MC|+dm－l〕 ≥30〔4－〕 =80〔万元〕 填80〔万元〕 评析：用双曲线第一定义求方程，巧用第二定义将|MB|转化为 dm－l， 求出当且仅当MC∥AB时，dm－l+|MC|最短，使这条路造价最低。 13．点是抛物线上一动点，那么点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 . 13． 【思路分析】：的准线是. ∴到的距离等于到焦点的距离，故点到点的距离与到=的距离之和的最小值为. 【命题分析】：考查圆锥曲线的定义及数形结合，化归转化的思想方法. 14．〔本小题总分值12分〕 过点的直线与又曲线的下半支交于不同的两点、， （1） 求直线斜率的取值范围； （2） 过点与中点的直线在轴上的截距为，求的取值范围。 14． 解：〔1〕设直线斜率为，方程为，代入双曲线方程得 其方程两根都为负数 解之得 5分 (2)设中点，那么 即 那么直线的方程为： 化简得 7分 即，而在上为单调减函数 12分 15．〔12分〕圆A的圆心为(，0)，半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，且与圆A相切，双曲线C的一个顶点A'与点A关于直线y＝x对称． ⑴ 求双曲线C的方程； ⑵ 设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时点B的坐标． 15. ⑴ 设双曲线的渐近线为y＝kx，那么，解得k＝±1． 即渐近线为y＝±x． 又点A关于y＝x的对称点A'的坐标为(0，)， 所以，a＝b＝，双曲线的方程为． …………4分 ⑵ 直线l：y＝k(x－)，(0＜k＜1)． 依题意设B点在与l平行的直线l'上，且l与l'间的距离为，设直线l'：y＝kx＋m，那么 ＝，即m2＋2km＝2 ① …………6分 把l'代入双曲线方程得：(k2－1)x2＋2mkx＋m2－2＝0 ∵ 0＜k＜1，∴ k2－1≠0． ∴ △＝4(m2＋2k2－2)＝0，即m2＋2k2＝2 ②……8分 解①②，得m＝，k＝． ……10分 此时，x＝2，y＝，所以B(2，)． …………12分 16、〔此题总分值12分〕：如图，双曲线，B是右焦点，F是左顶点，点A在轴正半轴上，且满足成等比数列，过F作双曲线C，在第一，第三象限的渐近线的垂线，垂足是。〔1〕求证：；〔2〕假设与双曲线的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线的离心率的取值范围。 { 16、解：〔1〕证法一： 解得 ∵成等比数列 ∴ ∴，， ∴， ∴ 证法二：同上得， ∴轴， ∴ { 〔2〕 ∴ 即 ∵ ∴即 ∴ 〔此题主要考查圆锥曲线和向量知识的综合运用，将解析几何的问题与平面向量的问题有机地结合起来，进一步考查综合解题的年能力〕 17．(此题总分值12分)点N〔1，2〕，过点N的直线交双曲线于A、B两点，且 〔1〕求直线AB的方程； 〔2〕假设过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？ 17、【思路分析】：〔1〕设直线AB：代入得 〔x〕……………2’ 令A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1、x2是方程的两根 ∴ 且 ……………………………3’ ∵ ∴ N是AB的中点 ∴ ………4’ ∴ k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1 ……………6’ 〔2〕将k = 1代入方程〔x〕得 或 ……………7’ 由得， ∴ ， ……………………………………………………8’ ∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为 即代入双曲线方程整理得 ………9’ 令，及CD中点 那么，， ∴， |CD| =， ，即A、B、C、D到M距离相等 ∴ A、B、C、D四点共圆 12分 18．〔12分〕设R，i，j为直角坐标系的单位向量，a=xi+〔y+2〕j，b=xi+〔y－2〕j，|a|+|b|=8 〔1〕求动点M〔x，y〕的轨迹C的方程 〔2〕过A〔0，3〕作直线L与曲线C交于A、B两点，假设是否存在直线L使得OAPB为矩形，假设存在，求出直线L的方程，假设不存在，说明理由 18．解〔1〕∵a=xi+〔y+2〕j b=xi+〔y+2〕j |a|+|b|=8 ∴动点M〔x，y〕是到定点F1〔0，－2〕，F2〔0，2〕的距离之和8 ∴曲线C的轨迹方程为 〔2〕直线L过N〔0，3〕，假设L是y轴，那么A，B是椭圆的顶点 ∵=+=0，∴P与O重合与OAPB为矩形矛盾 ∴直线L的斜率存在，设L：y=kx+3 A〔x1，y1〕B〔x2，y2〕 由得〔4+3k2〕x2+8kx－21=0 ∵△=64k2+845〔4+3k2〕＞0恒成立 ∴由韦达定理得x1+x2= x1·x2= ∵=+ ∴OAP