全国乙卷数学（理科）高考真题（含答案）.docx

2023年普通高等学校招生全国统一考试 数学〔理科〕 参考答案 考前须知： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上． 2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1. A 2. A 3. C. 4. D 5. B 6. B 7. A 8. D 9. C 10.D 11. C 12. D 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分． 13. 14. 或或或； 15. 16. 三、解答题：共0分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 〔一〕必考题：共60分． 17. 〔1〕 证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； 〔2〕 解：因为， 由〔1〕得， 由余弦定理可得， 那么， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 18. 〔1〕 因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 〔2〕 连接，由〔1〕知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小. 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以. 以为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系， 那么，所以， 设平面的一个法向量为， 那么，取，那么， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角的正弦值为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 19. 〔1〕 样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为， 平均一棵的材积量为 〔2〕 那么 〔3〕 设该林区这种树木的总材积量的估计值为， 又树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得，解之得． 那么该林区这种树木的总材积量估计为 20. 〔1〕 解：设椭圆E的方程为，过， 那么，解得，， 所以椭圆E的方程为：. 〔2〕 ，所以， ①假设过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②假设过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 21. 〔1〕 的定义域为 当时,,所以切点为,所以切线斜率为2 所以曲线在点处的切线方程为 〔2〕 设 假设,当,即 所以在上单调递增, 故在上没有零点,不合题意 假设,当,那么 所以在上单调递增所以,即 所以在上单调递增, 故在上没有零点,不合题意 假设 (1)当,那么,所以在上单调递增 所以存在,使得,即 当单调递减 当单调递增 所以 当 当 所以在上有唯一零点 又没有零点,即在上有唯一零点 (2)当 设 所以在单调递增 所以存在,使得 当单调递减 当单调递增, 又 所以存在,使得,即 当单调递增,当单调递减 有 而,所以当 所以在上有唯一零点,上无零点 即在上有唯一零点 所以,符合题意 所以假设在区间各恰有一个零点,求的取值范围为 〔二〕选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 〔1〕 因l：，所以， 又因为，所以化简为， 整理得l的直角坐标方程： 〔2〕 联立l与C的方程，即将，代入 中，可得， 所以， 化简为， 要使l与C有公共点，那么有解， 令，那么，令，， 对称轴为，开口向上， 所以， ， 所以 m的取值范围为. [选修4-5：不等式选讲] 23. 〔1〕 证明：因为，，，那么，，， 所以， 即，所以，当且仅当，即时取等号． 〔2〕 证明：因为，，， 所以，，， 所以，， 当且仅当时取等号．