2023年工程问题方法总结一.doc

工程问题方法总结一 一：根本数量关系： 工效×时间=工作总量 二：根本特点： 设工作总量为“1〞，工效=1/时间三：根本方法： 算术方法、比例方法、方程方法。四：根本思想： 分做合想、合做分想。五：类型与方法： 一：分做合想： 1.合想， 2.假设法， 3.巧抓变化〔比例〕， 4.假设法。 二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。 三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配 四：休息请假： 方法： 1.分想。划分工作量。 2.假设法。假设不休息。 五：休息与周期： 1.条件的顺序。①先工效，再周期，②先周期，再天数。 2.天数。①近似天数，②准确天数。 3.列表确定工作天数。 六：交替与周期：估算周期，注意顺序。 七：注水与周期： 1.顺序， 2.池中原来是否有水， 3.注满或溢出。 八。工效变化。 九：比例： 1.分比与连比， 2.归一思想， 3.正反比例的运用， 4.假设法思想〔周期〕。 十：牛吃草问题： 1.新生草量， 2.原有草量， 3.解决问题。 一、两个人的问题 ●例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作。 解一。把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的1/3。 乙每天可完成这件工作的六分之一，〔1-1/3〕÷1/6=4〔天〕 答：乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 〔18-2×3〕÷3=4〔天〕. 解三：甲与乙的工作效率之比是 6∶9=2∶3. 甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4〔天〕. ●例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天。 解：共做了6天后， 原来，甲做24天，乙做24天， 现在，甲做0天，乙做40=〔24+16〕天. 这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做，所需时间是50天 如果甲独做，所需时间是75天 答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.1 ●例3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天。 解：先比照方下： 甲做63天，乙做28天； 甲做48天，乙做48天. 就知道甲少做63-48=15〔天〕，乙要多做48-28=20〔天〕，由此得出甲的 甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21〔天〕，相当于乙要做 因此，乙还要做 28+28=56〔天〕. 答：乙还需要做56天. ●例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天〔不存在两队同一天休息〕.问开始到完工共用了多少天时间。 解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 2+8+1=11〔天〕. 答：从开始到完工共用了11天. 解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作 〔30-3×8-1×2〕÷〔3+1〕=1〔天〕. 解三：甲队做1天相当于乙队做3天. 在甲队单独做8天后，还余下〔甲队〕10-8=2〔天〕工作量.相当于乙队要做2×3=6〔天〕.乙队单独做2天后，还余下〔乙队〕6-2=4〔天〕工作量. 4=3+1， 其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天. 解四： 方法：分休合想〔题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息.〕 甲队每天工作量为1/10，乙为1/30，因为甲休息了2天，而乙休息了8天，因为8>2，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6〔天〕那么这6天内甲单独完成了这项工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量为1-6/10=4/10，而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10需要甲乙合作：〔4/10〕÷〔1/10+1/30〕=3天。所以从开始到完工共需：8+3=11〔天〕 ●例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了假设干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天。 解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是〔1÷20〕×16+〔1÷30〕×16=4/3 由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3 乙队休息期间未做的工作量是1/3-1/20×3=11/60 乙队休息的天数是11/60÷〔1/30〕=11/2 答：乙队休息了5天半. 解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两队休息期间未做的工作量是 〔3+2〕×16-60=20〔份〕. 因此乙休息天数是 〔20-3×3〕÷2=5.5〔天〕. 解三：甲队做2天，相当于乙队做3天. 甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天. 如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是 16-6-4.5=5.5〔天〕. ●例6有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天。 解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60份〔15与20的最小公倍数〕，张每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作〔60-4×8〕份.由张、李合作需要 〔60-4×8〕÷〔4+3〕=4〔天〕. 8+4=12〔天〕. 答：这两项工作都完成最少需要12天. ●例7一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他 要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天。 解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两人合作，共完成 3×0.8+2×0.9=4.2〔份〕. 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是 〔30-3×8〕÷〔4.2-3〕=5〔天〕. 很明显，最后转化成“鸡兔同笼〞型问题. ●例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快 如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时。 解：乙6小时单独工作完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作6小时，甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要33小时. 二、多人的工程问题 我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的根本思路还是差不多. ●例9一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成。 解：设这件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人独做需要90天完成.3 例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些。 ●例10一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了假设干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天。 解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6〔天〕. 说明甲做了2天，乙做了2×3=6〔天〕，丙做2×6=12〔天〕，三人一共做了 2+6+12=20〔天〕. 答：完成这项工作用了20天. 此题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了 ●例11一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天。 解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2〔倍〕，甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要 答：甲独做需要26天. 事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成. ●例12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作。 解一：设这项工作的工作量是1. 甲组每人每天能完成 乙组每人每天能完成 甲组2人和乙组7人每天能完成 答：合作3天能完成这项工作. 解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成. 现在已不需顾及人数，问题转化为： 甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成。 小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数. ●例13制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件。 解一：仍设总工作量为1. 甲每天比乙多完成 因此这批零件的总数是 丙车间制作的零件数目是