2023年相似三角形与圆综合题.doc

相似三角形与圆综合题 相似三角形与圆的综合考题 1、：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G． 求证：BG•AG=DF•DA． 2、：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F． (1)求证：DE为⊙O的切线． (2)求证：AB：AC=BF：DF． 3、(南通)：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足． (1)求证：∠ADE=∠B； (2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE． 4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE． (1)直接写出AE与BC的位置关系； (2)求证：△BCG∽△ACE； (3)假设∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长． 5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF． (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？ (3)在(2)的条件下，假设OH=1，AH=2，求弦AC的长． 6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF． (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？ (3)在(2)的条件下，假设OH=1，AH=2，求弦AC的长． 7、如是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC； (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF． 8、：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE⊥ AC，垂足是点E．过点B作BE⊥AB，交ED延长线于点F，连结OF。 求证：(1)EF是⊙O的切线； (2)△OBF∽△DEC。 9、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O 切线，交OD的延长线于点E，连结BE． (1)求证：BE与⊙O相切； (2)连结AD并延长交BE于点F，假设OB＝6，且sin∠ABC＝，求BF的长． 10、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。 (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)假设，求的值； (3)在(2)的条件下，假设⊙O直径为10，求△EFD的面积． 11、：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F． 求证： (1)DE为⊙O的切线． (2)AB•DF=AC•BF． 12、如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC． (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)假设AE=3，AB=4，求图中阴影局部的面积． 13、知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G。 (1)求证：CE2=FG·FB； (2)假设tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径。 14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E. 求证：①AE∥BD； ②AD 2 = DF·AE 15、：□ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点. 求证：ET = ED 16、如图，△ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D. 求证：〔1〕∠DAC = 2∠B； 〔2〕CA 2 = CD·CO 相似三角形与圆的综合考题〔教师版〕 1、：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G． 求证：BG•AG=DF•DA． 证明：连接BC，FC，CO， ∵过E作⊙O的切线ED， ∴∠DCF=∠CAD， ∠D=∠D， ∴△CDF∽△ADC， ∴=， ∴CD2=AD×DF， ∵CG⊥AB，AB为直径， ∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°， ∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°， ∴∠GBC=∠ACG， ∴△BGC∽△CGA， ∴=， ∴CG2=BG×AG， ∵过E作⊙O的切线ED，∴OC⊥DE， ∵AD⊥DE，∴CO∥AD， ∴∠OCA=∠CAD， ∵AO=CO， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OAC=∠CAD， 在△AGC和△ADC中， ， ∴△AGC≌△ADC〔AAS〕， ∴CG=CD， ∴BG×AG=AD×DF． 2、：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F． (1)求证：DE为⊙O的切线． (2)求证：AB：AC=BF：DF． 3、(南通)：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足． (1)求证：∠ADE=∠B； (2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE． 解：〔1〕方法一： 证明：连接OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC． 又∵AB=AC， ∴AD平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD． ∴∠ODA=∠DAE=∠OAD． ∵∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠ADE+∠ODA=90°，即∠ODE=90°，OD⊥DE． ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线． ∴∠ADE=∠B． 方法二： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，又DE⊥AC， ∴∠DEA=90°， ∴∠ADB=∠DEA， ∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠BAD． ∴△DAE∽△BAD． ∴∠ADE=∠B． 〔2〕证明：∵OF∥AD， ∴∠F=∠ADE． 又∵∠DEA=∠FDO〔已证〕， ∴△FDO∽△DEA． ∴FD：DE=FO：DA，即FD•DA=FO•DE． 点评：此题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质；〔2〕题乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明． 4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上， BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE． (1)直接写出AE与BC的位置关系； (2)求证：△BCG∽△ACE； (3)假设∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长． 解：〔1〕如图1， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． ∴AE⊥BC． 〔2〕如图1， ∵BF与⊙O相切， ∴∠ABF=90°． ∴∠CBF=90°-∠ABE=∠BAE． ∵∠BAF=2∠CBF． ∴∠BAF=2∠BAE． ∴∠BAE=∠CAE． ∴∠CBF=∠CAE． ∵CG⊥BF，AE⊥BC， ∴∠CGB=∠AEC=90°． ∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC， ∴△BCG∽△ACE． 〔3〕连接BD，如图2所示． ∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF， ∴∠DBE=∠CBF． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∴BD⊥AF． ∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF， ∴CD=CG． ∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°， ∴tan∠F==CG=tan60°= ∵CG=， ∴CD=． ∵∠AFB=60°，∠ABF=90°， ∴∠BAF=30°． ∵∠ADB=90°，∠BAF=30°， ∴AB=2BD． ∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC， ∴∠ABE=∠ACE． ∴AB=AC． 设⊙O的半径为r，那么AC=AB=2r，BD=r． ∵∠ADB=90°， ∴AD=r． ∴DC=AC-AD=2r-r=〔2-〕r=． ∴r=2+3． ∴⊙O的半径长为2+3． 解析： 〔1〕由AB为⊙O的直径即可得到AE与BC垂直． 〔2〕易证∠CBF=∠BAE，再结合条件∠BAF=2∠CBF就可证到∠CBF=∠CAE，易证∠CGB=∠AEC，从而证到△BCG∽△ACE． 〔3〕由∠F=60°，GF=1可求出CG=；连接BD，容易证到∠DBC=∠CBF，根据角平分线的性质可得DC=CG=；设圆O的半径为r，易证AC=AB，∠BAD=30°，从而得到AC=2r，AD=r，由DC=AC-AD=可求出⊙O的半径长． 5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF． (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？ (3)在(2)的条件下，假设OH=1，AH=2，求弦AC的长． 分析：〔1〕连接OC，证明∠OCP=90°即可． 〔2〕乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出． 〔3〕可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长． 解答：〔1〕证明：连接OC． ∵PC=PF，OA=OC， ∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC， ∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB， ∴∠AHF=90°， ∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°， ∴PC是⊙O的切线． 〔2〕解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下： 连接AE． ∵点D在劣弧AC中点位置， ∴∠DAF=∠DEA， ∵∠ADE=∠ADE， ∴△DAF∽△DEA， ∴AD：ED=FD：AD， ∴AD2=DE•DF． 〔3〕解：连接OD交AC于G． ∵OH=1，AH=2， ∴OA=3，即可得OD=3， ∴DH===2． ∵点D在劣弧AC中点位置， ∴AC⊥DO， ∴∠OGA=∠OHD=90°， 在△OGA和△OHD中， ， ∴△OGA≌△OH