2023年新课标省市高三数学模拟题分类第四节立体几何空间向量高中数学.docx

2023年新课标省市高三数学模拟题分类 第四节 立体几何、空间向量 1.〔2023陕西省一模〕 在平面直角坐标系xoy中，四点A(2，0)，B(－2，0)，C(0，－2)，D(－2，－2)，把坐标系平面沿y轴折为直二面角. 〔1〕求证：BC⊥AD； 〔2〕求二面角C—AD—O的大小； 〔3〕求三棱锥C—AOD的体积. 2.〔2023银川二中二模〕 A B C D P A1 B1 C1 D1 C1 如图，在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱，P是侧棱上的一点，. 〔Ⅰ〕试问直线与AP能否垂直？并说明理由； 〔Ⅱ〕试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º； 〔Ⅲ〕假设m=1，求平面PA1D1与平面PAB所成角的大小. 3.〔2023北京海淀区一模〕 如图，三棱柱中，侧面底面，，， 且，为中点． ⑴证明：平面； ⑵求直线与平面所成角的正弦值； ⑶在上是否存在一点，使得平面，假设不存在，说明理由；假设存在，确定点的位置． 4.〔2023辽宁丹东二模〕 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点． 〔I〕求证：EF平面PAD； 〔II〕求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小； 〔III〕假设M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？ 5.〔2023吉林实验中学模拟〕 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 ,, 〔Ⅰ〕求证: 〔Ⅱ〕求二面角的大小． 6.〔2023东北师大附中最后一模〕 如图，在直三棱柱中，，是棱上的动点，是中点 ，，. 〔Ⅰ〕求证：平面； 〔Ⅱ〕假设二面角的大小是，求的长. 7.〔2023北京丰台区一模〕 如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点． ⑴求证：； ⑵确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由． ⑶当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值． 8.〔2023福建泉州一中最后模拟〕 右图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，//，且=。 〔1〕求证：//平面； 〔2〕假设为线段的中点， 求证：平面； 〔3〕假设，求平面与平面所成的二面角的大小。 9.〔2023吉林农安中学高三冲刺卷〕 如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图2的位置，使． 〔Ⅰ〕求证：平面； 〔Ⅱ〕求四棱锥的体积； 〔Ⅲ〕求面与面所成锐二面角的余弦值． 图1 图2 10.〔2023浙江省考前预测卷〕 如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB． 〔1〕求证：AB平面PCB； 〔2〕求异面直线AP与BC所成角的大小； 〔3〕求平面PAC和平面PAB所成锐二面角的余弦值. 11.〔2023北京朝阳区一模〕 如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点． ⑴求证：平面； ⑵求证：平面； ⑶求直线与平面所成角的正弦值． 2023年新课标省市高三数学模拟题分类 第四节 立体几何、空间向量详解答案 1. 解法一：〔1〕∵BOCD为正方形， ∴BC⊥OD，折起后OD为AD在面BOCD上的射影，由三垂线定理知：BC⊥AD ……(3分) 〔2〕设BC交OD于E点，过E作EF⊥DA于F，连接CF，那么CF⊥AD， 那么∠CFE为所求二面角的平面角。 显然CE=，在RtΔAOD中，OA=2，OD=2，那么AD=2， ， ∴tan∠CFE=，∴∠CFE= ………(8分) 〔3〕 ……〔12分〕 解法二：建立空间坐标系如以下图， 此时A(0,2,0)，B(0,0,2)，C(2,0,0)，D(2,0,2) 〔1〕=(2,0,-2)，=(2,-2,2)，∵4-4=0，∴BC⊥AD……(3分) 〔2〕取平面OAD的法向量，由于，取平面CAD的法向量 那么，∴所求二面角为60° ………(8分) 〔3〕 ………………………〔12分〕 2. 〔Ⅰ〕以D为原点，DA、DC、DD1分别为 x、y、z轴，建立如以下图的空间直角坐标系O-xyz. A B C D P A1 B1 C1 D1 C1 x y z 那么D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0), D1 (0,0,2)，A1 (1,0,2)，B1 (1,1,2)，C1 (0,1,2)， P(0,1,m)， 所以， .………4分 〔Ⅱ〕∵ 又∵， ∴的一个法向量. 设直线与平面所成的角为， 那么=，解得. 故当时，直线AP与平面所成角为60º.………………8分 〔Ⅲ〕∵m=1，∴P(0,1,1)，∴. 设平面PA1D1的法向量为，可求得， 设平面PAB的法向量为，可求得. ∴， 故平面PA1D1与平面PAB所成角为600. ………………12分 3. ⑴证明：因为，且为的中点，所以． 又由题意可知，平面平面，交线为，且平面， 所以平面． ⑵如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由题意可知，，又 ∴． 所以得：，，，，，，那么有： ，，． 设平面的一个法向量为，那么有 ，令，得， 所以． ． 因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余， 所以． ⑶设， 即，得． 所以，得 令平面，得，即，得， 即存在这样的点，为的中点． 4. 方法1：〔I〕证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，， ∴平面PAD， …………〔2分〕 ∵E、F为PA、PB的中点， ∴EF//AB，∴EF平面PAD； …………〔4分〕 〔II〕解：过P作AD的垂线，垂足为O， ∵，那么PO平面ABCD． 连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系， …………〔6分〕 ∵PA=PD，∴， 得， ，故， 设平面EFG的一个法向量为那么， ， …………〔7分〕 平面ABCD的一个法向量为 平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是： ，锐二面角的大小是； …………〔8分〕 〔III〕解：设，M〔x，，0〕，那么， 设MF与平面EFG所成角为， 那么， 或，∵M靠近A，∴ …………〔10分〕 ∴当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于．………〔12分〕 方法2：〔I〕证明：过P作P OAD于O，∵， 那么PO平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系， …………〔2分〕 ∵PA=PD，∴， 得， ， 故， ∵， ∴EF平面PAD； …………〔4分〕 〔II〕解：， 设平面EFG的一个法向量为 那么， ，…………〔7分〕 平面ABCD的一个法向量为……【以下同方法1】 方法3：〔I〕证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，， ∴平面PAD， …………〔2分〕 ∵E、F为PA、PB的中点， ∴EF//AB，∴EF平面PAD； …………〔4分〕 〔II〕解：∵ EF//HG，AB//HG，∴HG是所二面角的棱， …………〔6分〕 ∵HG // EF，∴平面PAD， ∴DHHG，EHHG ， ∴EHA是锐二面角的平面角，等于； ………〔8分〕 〔III〕解：过M作MK⊥平面EFG于K，连结KF， 那么KFM即为MF与平面EFG所成角， ………〔10分〕 因为AB//EF，故AB/平面EFG，故AB/的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离，∵平面PAD，∴平面EFGH平面PBD于EH， ∴A到平面EFG的距离即三角形EHA的高,等于，即MK， ∴，，在直角梯形中，， ∴或∵M靠近A，∴ …………〔11分〕 ∴当时， MF与平面EFG所成角正弦值等于．…………〔12分〕 5. 解法一：〔Ⅰ〕平面，平面．． A E D P C B 又，． ，， ，即． 又．平面． …………………．．6分 〔Ⅱ〕连接． 平面．，． 为二面角的平面角． 在中，， ，， 二面角的大小为． ………………………．．12分 解法二：〔Ⅰ〕如图，建立坐标系， 那么，，，，， ，，， ．，， 又，面． A E D P C B y z x 〔Ⅱ〕设平面的法向量为， 设平面的法向量为， 那么n, n 解得 ． ，n>．二面角的大小为． 6. 〔Ⅰ〕证明：∵三棱柱是直棱柱，∴平面. 又∵平面，∴ . ∵，，是中点，∴. 又∵∩， ∴平面. 〔Ⅱ〕解：以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如以下图的空间直角坐标系， 那么,,. 设，平面的法向量， 那么,. 且，.于是 所以取，那么 ∵ 三棱柱是直棱柱，∴ 平面.又∵ 平面， ∴ .∵ ，∴ .∵ ∩， ∴ 平面.∴ 是平面的法向量，. ∵二面角的大小是， ∴. 解得. ∴. 7. ⑴∵面，四边形是正方形，其对角线，交于点， ∴，． ∴平面， ∵平面， ∴ ⑵当为中点，即时，平面，理由如下： 连结，由为中点，为中点，知， 而平面，平面， 故平面． ⑶作于，连结， ∵面，四边形是正方形， ∴， 又∵，，∴， ∴，且， ∴是二面角的平面角， 即， ∵⊥面，∴就是与底面所成的角 连结，那么，， ∴， ∴，∴， ∴ ∴与底面所成角的正切值是． 另解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如以下图， 设正方形的边长为，那么，，，，，，，． ⑴，， ∴ ⑵要使平面，只需，而， 由可得，解得，， ∴，∴ 故当时，平面 设平面的一个法向量为， 那么，而，， ∴，取，得， 同理可得平面的一个法向量 设所成的角为，那么， 即，∴，∴ ∵面，∴就是与底面所成的角， ∴． 18. 8. 解：〔I〕证明：， ，同理可得BC//平面PDA， 又，…………………………………………4分 〔II〕如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，PD=a，