2023年海淀区高三二模数学试题及答案理科2.docx

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理科） 2023.5 陈亮 校对：张浩 一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1．集合，，那么 A． B． C． D． 2．函数图象的对称轴方程可以为 A． B． C． D． 3．如图，是⊙O的直径，切⊙O于点， 连接，假设，那么的大小为 A. B. C. D. 4．函数在定义域内零点的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 开始 S=0 M S=S+k 结束 输出S 是 否 k=1 5．不等式组所表示的平面区域的面积为4，那么的值为 A．1 B． C．1或 D．0 6．，是不同的直线，，是不同的平面，那么以下条件能 使成立的是 A．， B．， C．， D．， 7．按照如图的程序框图执行，假设输出结果为15，那么M处条件为 A． B． C． D． 8．动圆C经过点(0，1),并且与直线相切，假设直线与圆C有公共点，那么圆C的面积 A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9．在极坐标系中，假设点()是曲线上的一点，那么 . 10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙 两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如 右图）.，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的 标准差，那么 .（填“〞、“〞或“＝〞） 11．向量a=，b=，假设，那么 ； . 12. 数列满足，（N），那么的值为 . 13．在中，角,,所对应的边分别为,,，假设，那么的最大值为 . 14．给定集合，映射满足： ①当时，； ②任取假设，那么有. .那么称映射：是一个“优映射〞.例如：用表1表示的映射：是一个“优映射〞. 表1 表2 1 2 3 2 3 1 1 2 3 4 3 （1）表2表示的映射： 是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）； （2）假设映射：是“优映射〞，且方程的解恰有6个，那么这样的“优映射〞的个数是_____. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解容许写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题总分值13分） 记等差数列的前n项和为，. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，求数列的前n项和. 16．（本小题总分值14分） 四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如下列图. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值. 17．（本小题总分值13分） 为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立. （Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率； （Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望． 18．（本小题总分值13分） 函数，其中a为常数，且. （Ⅰ）假设，求函数的极值点； （Ⅱ）假设函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 19．（本小题总分值13分） 椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A,B两点. （Ⅰ）写出抛物线的标准方程； （Ⅱ）假设，求直线的方程； （Ⅲ）假设坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值. 20．（本小题总分值14分） 函数的图象在上连续不断，定义： ， ． 其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．假设存在最小正整数，使得对任意的成立，那么称函数为上的“阶收缩函数〞． （Ⅰ）假设，，试写出，的表达式； （Ⅱ）函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数〞，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由； （Ⅲ），函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围. 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 2023．5 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 第一卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共8小题,每题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C A B A D 第二卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题,每题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．1 10． 11．2 ； 12．48 13． 14． ；84. 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题总分值13分） 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由， 可得 ， ………………………2分 即， 解得， ………………………4分 ∴， 故所求等差数列的通项公式为. ………………………5分 （Ⅱ）依题意，， ∴ ， ………………………7分 又， …………………9分 两式相减得 ………………………11分 ， ………………………12分 ∴. ………………………13分 16．（本小题总分值14分） （Ⅰ）证明：连结交于，连结 ， ， ， ………… 1分 ， ， ， ………… 3分 ， . ………… 4分 （Ⅱ）如下列图，以为原点，建立空间直角坐标系， 那么，，，， ，，, , ………………………5分 , ………………………7分 异面直线与所成角的余弦值为 . ………………………8分 （Ⅲ）侧棱, , ………………………9分 设的法向量为, ，并且, ，令得，, 的一个法向量为 . ………………………11分 , ………………………13分 由图可知二面角的大小是锐角, 二面角大小的余弦值为 . .………………………14分 17． （本小题总分值13分） 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园〞为事件A. ………………1分 每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有种等可能的情况 . …………………2分 事件A所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分 所以，. 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为. ………………5分 （Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园〞为事件C，那么. .………………………6分 4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量服从二项分布. 可取的值为0，1，2，3，4. .………………………8分 ， . .………………………10分 的分布列为: 0 1 2 3 4 .………………………12分 的期望为． .………………………13分 18.（本小题总分值13分） 解法一：（Ⅰ）依题意得，所以， .………………………1分 令，得， .………………………2分 ，随x的变化情况入下表： x － 0 + 0 － 极小值 极大值 ………………………4分 由上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点. ………………………5分 （Ⅱ） , .………………………6分 由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， .………………………7分 当时，，显然对任意恒成立； .…………………8分 当时，等价于， 因为，不等式等价于, .………………………9分 令， 那么，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增， 所以在上的最小值为， .………………………11分 由于对任意恒成立等价于对任意恒成立， 需且只需，即，解得，因为，所以. 综合上述，假设函数在区间上单调递减，那么实数a的取值范围为. .………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）, .………………………6分 由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， …………………7分 当时，，显然对任意恒成立； …………………8分 当时，令，那么函数图象的对称轴为， .………………………9分 假设，即时，函数在单调递增，要使对任意恒成立，需且只需，解得，所以; ..………………………11分 假设，即时，由于函数的图象是连续不间断的，假设对任意恒成立，那么有，解得，与矛盾，所以不能对任意恒成立. 综合上述，假设函数在区间上单调递减，那么实数a的取值范围为. .………………………13分 19．（本小题总分值13分） 解：（Ⅰ）由题意，抛物线的方程为：， …………2分 （Ⅱ）设直线的方程为：. 联立，消去，得 ， ………………3分 显然，设， 那么 ① ② …………………4分 又，所以 ③ …………………5分 由①② ③消去，得 ， 故直线的方程为或 . …………………6分 （Ⅲ）设，那么中点为， 因为两点关于直线对称， 所以，即，解之得， …………………8分 将其代入