2023年高考数学一轮复习第十二章第二节直线与圆的位置关系高中数学.docx

第十二章 第二节 直线与圆的位置关系 1．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是劣弧ACB上 任一点，(点C不与A、B重合)，求∠ACB. 解：连结OA、OB，过O作OE⊥AB，E为垂足，那么AE＝BE. 在Rt△AOE中，OA＝2，AE＝AB＝×2＝， ∴sin∠AOE＝＝， ∴∠AOE＝60°， ∴∠AOB＝2∠AOE＝120°，在优弧上任取一点D(不与A、B重合)， ∴∠ADB＝∠AOB＝60°， ∴∠ACB＝180°－∠ADB＝120°. 2．如以下图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点， 过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作 两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE 与AC相交于点P. (1)求证：AD∥EC； (2)假设AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长． 解：(1)证明：连结AB， ∵AC是⊙O1的切线， ∴∠BAC＝∠D. 又∵∠BAC＝∠E， ∴∠D＝∠E.∴AD∥EC. (2)设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12. ① ∵AD∥EC，∴＝⇒＝. ② 由①②可得或(舍去) ∴DE＝9＋x＋y＝16.∵AD是⊙O2的切线， ∴AD2＝DB·DE＝9×16.∴AD＝12. 3．如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于 点E，EF垂直BA的延长线于点F. 求证：∠DEA＝∠DFA. 证明：连结AD，因为AB为圆的直径， 所以∠ADB＝90°，又EF⊥AB，∠EFA＝90°， 所以A、D、E、F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA. 4．如图，AB是圆O的直径，P为圆外一点，PB是圆O的切线， PA是圆O的割线且与圆O相交于点C.过点C作圆O的切线与 PB交于D点．求证： (1)OD∥AP； (2)PD·PB＝PC·OD. 证明：(1)连结OC，BC， 在△OCD和△OBD中 ∠OCD＝∠OBD＝90°， OB＝OC，OD＝OD， ∴△OCD≌△OBD， ∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC. ① 又∠BOC与∠BAC分别是所对的圆心角和圆周角 ∴∠BOC＝∠BAC， ② 由①②得∠BOD＝∠BAC， ∴OD∥AP. (2)∵PB2＝PC·PA， ③ 由(1)知OD∥AP，O为AB中点， ∴DO是△BPA的中位线， ∴PA＝2OD，PB＝2PD，代入③得 2PD·PB＝PC·2OD， 即PD·PB＝PC·OD. 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，＝， 过A点的切线交CB的延长线于E点． 求证：AB2＝BE·CD. 证明：连结AC，因为EA切⊙O于A， 所以∠EAB＝∠ACB. 因为＝， 所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD. 于是∠EAB＝∠ACD. 又四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ABE＝∠D. 所以△ABE∽△CDA. 于是＝，即AB·DA＝BE·CD. 所以AB2＝BE·CD. 6．如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD 于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P， PC＝ED＝1，PA＝2. (1)求AC的长； (2)求证：EF＝BE. 解：(1)∵PA2＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴PD＝4， 又∵PC＝ED＝1，∴CE＝2. ∵∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB， ∴△PAC∽△CBA， ∴＝，∴AC2＝PC·AB， 又∵AB∥CE，AC∥BE， ∴四边形ABEC为平行四边形， ∴AB＝CE＝2，∴AC＝. (2)证明：∵CE·ED＝BE·EF，BE＝AC＝. ∴EF＝＝，∴EF＝BE. 7．如图，△ABC是圆O的内接三角形，AC＝BC，D为圆O中 上一点，延长DA至点E，使得CE＝CD. (1)求证：AE＝BD； (2)假设AC⊥BC，求证：AD＋BD＝CD. 证明：(1)在△ABC中，∠CAB＝∠CBA. 在△ECD中，∠CED＝∠CDE. ∵∠CBA＝∠CDE，∴∠ACB＝∠ECD. ∴∠ACB－∠ACD＝∠ECD－∠ACD. ∴∠ACE＝∠BCD. 又CE＝CD，AC＝BC， ∴△ACE≌△BCD. ∴AE＝BD. (2)假设AC⊥BC， ∵∠ACB＝∠ECD， ∴∠ECD＝90°，∠CED＝∠CDE＝45°. ∴DE＝CD. 又∵AD＋BD＝AD＋EA＝ED， ∴AD＋BD＝CD. 8．如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E 分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，AC＝4， BE＝10，且BC＝AD，求DE的长． 解：设CB＝AD＝x，那么由割线定理，得CA·CD＝CB·CE， 即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12，因为CA为直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，那么由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，那么CD2＋DE2＝CE2，∴62＋DE2＝122， ∴DE＝6.