数系的扩充和复数的相关概念PPT课件.ppt

3 31 1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 3 31.11.1 数系的扩充和复数的相关概念数系的扩充和复数的相关概念 1了解引入复数的必要性，了解数系的扩充过程 2理解复数的基本概念 3理解复数相等的充要条件 4了解“虚数不能比较大小”的确切含义 5了解复数的代数表示法 1虚数单位i.(1)它的平方等于1，即 .(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立 2复数的代数形式(1)形如 (a，bR)的数叫做复数，abi叫做复数的代数形式，a和b分别叫做复数z的 和 (2)复数zabi(a，bR)的分类 i21 zabi 实部 虚部 复数 实数b0虚数b0 纯虚数a0，且b0非纯虚数a0，b0 3复数相等的充要条件 复数abicdi(a，b，c，dR)ac，且bd(把复数问题化归为实数问题)注意：根据复数相等的定义，在ac，bd两式中，只要有一个不相等，则abicdi.若两个复数全是实数，则可以比较大小反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数(如abi0 )若两个数不全是实数，则不能比较大小 a0b0 1虚数单位i及其性质 为了解决x210这样的方程在实数集中无解的问题，人们引进了一个新数i，叫做虚数单位，它的平方等于1，它可以与实数进行四则运算 2复数的代数形式和复数的分类(1)复数的代数形式z abi要求a和b必须是实数，否则不是代数形式(2)若z是纯虚数，可设zbi(b0，bR)；若z是虚数，可设zabi(b0，bR)；若z是复数，可设zabi(a，bR)(3)形如zbi的数不一定是纯虚数，只有b0，bR时，才是纯虚数，否则不是纯虚数 3复数相等的概念(1)两个复数相等的充要条件是两个复数的实部和虚部分别相等，它是把复数问题转化为实数问题的主要手段(2)应用复数相等的充要条件时，首先要把“”左右两边的复数形式写成代数形式，即分离实部和虚部，然后列出方程求解 复数的基本概念复数的基本概念 若z1、z2为复数，则下列结论中正确的是()A若z1z20，则z1z2 B若 z1 z10，则 z1为纯虚数 C若 z21z220，则 z1z20 D若 z1z2，则 z1z20 解析：A 中若两个复数不全是实数时，不能比较大小；B中若 z1 z10，也使 z1 z10；C 中若 z11，z2i 也使z21z220 成立 答案：D 点评：两个复数不全是实数时，不能比较大小；在实数集内成立的性质，在复数集内不一定成立 跟踪训练 1下列命题中：若aR，则(a1)i是纯虚数；若a，bR，且ab，则aibi；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1；两个虚数不能比较大小 其中，正确命题的序号是()A B C D 解析：a1时，(a1)i是实数；中两个虚数不能比较大小；中x1时，虚部为0.答案：D 复数的分类复数的分类 m取何实数时，复数z m2m6m3(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?(m22m15)i，解析：根据复数的分类(1)z 为实数时，则有 m22m150m30 m5，或m3m3 m5 时，z 为实数(2)z 为虚数时，则有 m22m150m30 m5且m3m3 m5 且 m3 时，z 为虚数(3)z 为纯虚数时，则有 m22m150m30m2m60 m5且m3m3m3，或m2 m3，或 m2 时，z 为纯虚数 点评：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数，首先保证复数的实部和虚部有意义本题分母不为零的条件容易忽略纯虚数要求实部为零的条件也易考虑不周本题“或”和“且”等逻辑用语的使用会模糊应重点分析 跟踪训练 2实数a为何值时，复数z (a25a6)i(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?a27a6a21 解析：(1)z 为实数时，则有 a25a60a210 a1或a6，a 1 a6 时，z 为实数(2)z 为虚数时，则有 a25a60a210 a1且a6a 1 a6 且 a 1 时，z 为虚数(3)z 为纯虚数时，则有 a25a60a210a27a60 a1且a6a 1a1或a6 则 a 不存在，z 不可能为纯虚数 复数相等的充要条件复数相等的充要条件 已知集合M1,4，(m23m1)(m216i，N1,3，MN3，求实数m的值 解析：MN3，得(m23m1)(m216)i3，由复数相等的充要条件，得 m23m13m2160 m4，或m1m 4m4.m4 点评：利用复数相等的充要条件，把复数问题化归为实数问题是解复数问题常用的办法 跟踪训练 3已知实数x，纯虚数y满足(2x1)(3y)iyi，求x，y的值 解析：根据复数相等的充要条件 y 是纯虚数，可设 ybi(b0)，则(2x1)b3ibii 即(2x1b)3i(b1)i，得 2x1b03b1 b4x32，则 x32y4i.复数全是实数时可比较大小复数全是实数时可比较大小 如果m2(m23m)i4，求实数m的取值范围 解析：当两个复数全是实数时，才能比较它们的大小 所以 m24m23m0 2m2m0或m3m0.m0.点评：(1)挖掘题目的隐含条件两个复数能比较大小，则两个数都是实数(2)两个复数能比较大小，只需比较它们的实部的大小即可 4已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，若z1z2，求a的取值范围 跟踪训练 解析：当两个复数全是实数时，才能比较它们的大小 所以 2a23a0a2a04a12a a0或a32a0或a1a16a0.a0.1虚数单位i具有两条性质：(1)它的平方等于1，即i21.(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立 2关于复数的代数形式zabi(a，bR)，注意以下几点：(1)a，bR，否则不是代数形式(2)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数 反之，若z是纯虚数，可设zbi(b0，bR)；若z是虚数，可设zabi(b0，bR)；若z是复数，可设zabi(a，bR)(3)形如bi的数不一定是纯虚数，只有b0且bR时，才是纯虚数 3两个复数只能说相等或不相等，不一定能比较大小 关于这一点的理解要注意以下几点：(1)根据复数abi与cdi(a，b，c，dR)相等的定义，可知在ac，bd两式中，只要有一个不成立，那么就有abicdi.(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的 基础训练 1.如果C，R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，那么有()ACRI BRI CRCI DRI 0 解析：复数系的构成是：复数 zabi(a，bR)实数b0时虚数b0时 纯虚数a0时非纯虚数a0时 由此不难得到答案应为 D.答案：D 2.（2013 广州一模）已知 i 是虚数单位，则复数1-2i的虚 A.2 B.1 C.-1 D.-2 D 3对于复数abi(a，bR)，下列结论正确的是()Aa0，则abi为纯虚数 Ba(b1)i32i，则a3，b3 Cb0，则abi为实数 D1的平方等于i C 4(2011 惠州二模)若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1 B0 C1 D1或1 A 5(2011 江门一模理科)已知集合Ax|xa(a21)i，aR，i是虚数单位，若AR，则a()A1 B1 C1 D.0 C 6设复数zabi(a，bR)，则z为纯虚数的必要不充分条件是()Aa0 Ba0且b0 Ca0且b0 Da0且b0 解析：根据纯虚数的定义我们可知，当zabi(a，bR)为纯虚数时必有a0；而a0时，zabi(a，bR)不一定为纯虚数，如 z00i，所以应选A.答案：A 7m_时，复数lg(m22m1)(m23m2)i是实数 2 8若x，yR，且3xy3(xy3)i，则x_，y_.解析：由题意，得 3xy30，yx30，解得 x0，y3.答案：0 3 9若log2(x23x2)ilog2(x22x1)1，则实数x_.解析：由于含有虚部的复数不能比较大小，所以虚部必须为0且x有定义，故有x23x20，x22x11得x2，有log2831，显然成立，故x2.答案：2 10已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1，1,4i，若MPP，求实数m.解析：MPP，MP.(m22m)(m2m2)i1 或(m22m)(m2m2)i4i.若(m22m)(m2m2)i1，则m1.若(m22m)(m2m2)i4i，则m2.经检验，m1或m2都符合题意 m1或m2.11如果(m21)(m22m)i0，求实数m的值 解析：因为当两个复数都是实数时，才能比较大小故有 m210m22m0 m1或m1m0或m2m2.m2 时，(m21)(m22m)i0.12已知，关于实数x，y的方程组：2x1iy3yi 12xay4xybi98i 2有实数解，求实数 a，b.将(3)代入(2)，得 54a(6b)i98i，且 a，bR，所以有 54a96b8，解得 a1，b2.解析：根据复数相等的充要条件有 2x1y13y，解得 x52y4，(3)真题再现 1(2011 福建卷)i是虚数单位，1i3等于()Ai Bi C1i D1i 2下列n的取值中，使in1(i是虚数单位)的是()An2 Bn3 Cn4 Dn5 C D 3(2012 陕西卷)设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a 为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 bi 解析：“ab0”则a0或b0，“复数a 为纯虚数”则a0且b0，那么“ab0”是“复数a 为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.答案：B bi bi