普通高中教科书·数学必修 第二册.pdf

ISBN 978-7-5499-8666-89 787549 986668定价：16.63元书 书 书主编单墫李善良副 主 编葛军徐稼红石志群本册主编徐稼红编写人员陈光立樊亚东李善良徐稼红石志群葛军孙旭东张松年仇炳生于明单墫责任编辑田鹏 大自然这本书是用数学语言写成的 伽利略一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步 马克思致同学亲爱的同学，高中阶段的数学学习生活有趣吗？我们知道，数学是高中阶段的重要学科，不仅是学习物理、化学等学科的基础，而且可以帮助我们认识世界，改造世界，创造新的生活，对我们的终身发展有较大的影响怎样学习数学？第一，要学会发现问题、提出问题面对各种情境（生活的、数学的、科学的），我们需要学会观察、实验、归纳，学会从特殊到一般、从具体到抽象、从模糊到清晰，大胆地提出数学问题第二，要尝试分析并解决所提出的问题通过抽象、推理、建模、运算等多种活动，建立数学理论，并运用这些数学理论去解决问题 第三，要学会回顾反思在解决完问题之后，要思考：我们是如何解决这个问题的，从中可以得到哪些启发，还能提出哪些问题在数学学习过程中，我们要主动地学习数学基础知识、基本技能，自觉地感悟基本数学思想，不断积累数学活动经验，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养，并逐步学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界通过数学学习，我们会发现数学非常奇妙，非常有趣数学将给我们以新奇和动力，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展我们将快乐地成长 考虑广大同学的不同需要，本书提供了较大的选择空间书中的引言、正文、练习、习题中的“感受理解”部分、阅读、本章回顾、本章测试等内容构成一个完整的体系它体现了教科书的基本要求，是所有学生应当掌握的内容，相信你一定能学好这部分内容本书还设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、问题与探究、应用与建模，以及习题中的“思考运用”“探究拓展”等在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，相信你会更加喜欢数学书 书 书 目录第章平面向量 向量概念 向量运算 向量基本定理及坐标表示 向量应用 问题与探究由平面向量到空间向量的推广 阅读向量源自力学 第 章三角恒等变换 两角和与差的三角函数 二倍角的三角函数 几个三角恒等式 问题与探究正弦函数与余弦函数的叠加 阅读弦表与托勒密定理 第 章解三角形 余弦定理 正弦定理 余弦定理、正弦定理的应用 问题与探究海伦 秦九韶公式 阅读流星不是地球蒸发物 第 章复数 复数的概念 复数的运算 复数的几何意义 复数的三角形式 问题与探究复数的开方 阅读复数系是怎样建立的？第 章立体几何初步 基本立体图形 基本图形位置关系 空间图形的表面积和体积 应用与建模拟柱体体积公式 阅读几何学的发展 第 章统计 获取数据的基本途径及相关概念 抽样 统计图表 用样本估计总体 应用与建模阶梯电价的设计 阅读恩格尔系数 第 章概率 随机事件和样本空间 随机事件的概率 互斥事件和独立事件 问题与探究确定公平的规则 阅读制作杨辉三角形 专题数学建模与数学探究案例分析 课题研究 附录随机数表（部分）书 书 书本书部分常用符号犪向量犪 犃犅向量 犃犅犪向量犪的模（或长度）犃犅向量 犃犅的模（或长度）零向量犪犫向量犪与向量犫平行（共线）犪犫向量犪与向量犫垂直犪犫向量犪与犫的和犪犫向量犪与犫的差犪实数与向量犪的积犪犫向量犪与犫的数量积虚数单位，犆复数集狕复数狕的共轭复数狘狕狘，狘犪犫狘复数狕的模，犪犫的模犃犪点犃在直线犪上犃犪点犃不在直线犪上犃点犃在平面内犃点犃在平面外犪平面和平面的交线是犪犪直线犪在平面内犪直线犪不在平面内犪犫犃直线犪和直线犫相交于点犃犪犃直线犪和平面相交于点犃犪直线犪平行于平面平面和平面互相平行犪直线犪垂直于平面 犃犅（或犾）棱为犃犅，面为，的二面角（或棱为犾，面为，的二面角）平面和平面互相垂直狓样本平均数狀犻犪犻狀个实数犪，犪，犪狀的和犘（犃）事件犃的概率犃事件犃的对立事件第章平 面 向 量 深入地探索和研究自然界，乃是数学发展的最为丰富的源泉，也是数学发现的最有成效的一种方法 傅里叶冬天到了，大雪过后，白雪皑皑如果你穿上滑雪板，站在被雪覆盖的、平滑的斜坡上，你会感到有一个力拉着你向下滑行，而且斜坡越陡，这个力就越大，下滑的加速度也越大同样地，把木块放置在光滑的斜面上，木块将向下滑动斜面的坡度越大，木块下滑的加速度也越大这些运动中含有哪些物理量？用怎样的数学模型刻画这些物理量？怎样运用这样的数学模型去解决问题？书 书 书 向量概念 图 把木块放置在光滑的斜面上，根据物理学知识知道，斜面上的木块受到两个力的影响：重力犌与斜面的支持力犖重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直（图 ）木块在重力与支持力的合力作用下，会沿斜面向下运动，其运动的加速度为正，下滑的速度越来越快木块滑动后就会产生位置的变化，物理上用“位移”来刻画这种变化力、速度、加速度、位移这些量有什么共同特征？在现实生活中，有些量（如距离、身高、质量等）只有大小，而另外一些量（如力、速度、加速度、位移等）既有大小又有方向我们把既有大小又有方向的量叫作向量（）用小写字母犪表示向量时，印刷用粗体犪，书写用犪向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向以犃为起点、犅为终点的向量记为 犃犅向量也可用小写字母犪，犫，犮来表示（图 ）图 向量 犃犅的大小称为向量的长度（或称为模），记作 犃犅我们规定，长度为的向量称为零向量（），记作，零向量的方向是任意的长度等于个单位长度的向量，叫作单位向量（）思考平面上起点在定点犗的单位向量，其终点的集合是什么图形？方向相同或相反的非零向量叫作平行向量（）在图 中，向量犪，犫，犮是一组平行向量向量犪与向量犫平行，记作犪犫我们规定零向量与任一向量平行所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它们的起点位置如何向量犪与犫是相同的向量，也称犪与犫相等，记作犪犫如图 ，在犃犅犆犇中，向量 犃犅和 犇犆长度相等且方向必修第二册数学 相同，所以 犃犅 犇犆图 图 本章学习的向量都是平面内的自由向量它们仅由方向和大小确定，而与起点位置无关由此可知，将一个向量平移后所得的向量与原向量是相同的向量图 中，向量犪，犫，犮两两平行，可以通过平移使得犪，犫，犮落在同一直线上，所以，任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上因此平行向量又称为共线向量（）图 图 对于两个非零向量犪和犫，在平面内任取一点犗，作 犗犃犪，犗犅犫，犃犗犅（）叫作向量犪与犫的夹角（图 ）当 时，犪与犫同向；当 时，犪与犫反向；当 时，则称向量犪与犫垂直，记作犪犫例已知犗为正六边形犃犅犆犇犈犉的中心，在图 所标出的向量中：图 （）试找出与 犉犈共线的向量；（）确定与 犉犈相等的向量；（）犗犃与 犅犆相等吗？解（）与 犉犈共线的向量有 犅犆和 犗犃（）犅犆与 犉犈长度相等且方向相同，则 犅犆 犉犈（）虽然 犗犃 犅犆，且狘 犗犃狘狘 犅犆狘，但它们方向相反，所以这两个向量并不相等我们把与向量犪长度相等，方向相反的向量叫作犪的相反向量，记作犪，犪与犪互为相反向量并且规定零向量的相反向量仍是零向量于是，对任意一个向量犪，总有（犪）犪例在图 （）中的方格纸中有一个向量 犃犅，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与 犃犅相等的向量有多少平面向量第章 个？与 犃犅长度相等的共线向量有多少个（犃犅除外）？图 分析与 犃犅相等的向量应当满足“等长且同向”，首先要确定这些向量的起点在方格纸的格点中，除去点犃外，符合题意的起点还有个（图 （）与 犃犅长度相等的共线向量除了与 犃犅方向相同的向量外，还有与 犃犅方向相反的向量解当向量 犆犇的起点犆是图 （）中所圈的格点时，可以作出与 犃犅相等的向量这样的格点共有个，除去点犃外，还有个，所以共有个向量与 犃犅相等与 犃犅长度相等的共线向量（除 犃犅外）共有（个）练习在下列命题中，哪些是正确的？（）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（）模相等的两个平行向量是相同的向量；（）若犪和犫都是单位向量，则犪犫；（）两个相同的向量的模相等；（）若犪犫，则犪与犫的夹角是 设点犗是正三角形犃犅犆的中心，则向量 犃犗，犅犗，犆犗是（）相同的向量模相等的向量共线向量共起点的向量写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为）（第题）（第题）（第题）如图，在直线犾上，找出与 犃犅平行的向量如图，四边形犃犅犆犇是正方形，找出与 犃犅垂直的向量必修第二册数学 习题 感受理解已知点犗是正方形犃犅犆犇的两条对角线的交点，在以点犗，犃，犅，犆，犇这点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（）与 犅犆相等的向量；（）与 犗犅长度相等的向量；（）与 犇犃共线的向量长度相等的向量是相同的向量吗？相同的向量是共线向量吗？平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量吗？请举例说明（第题）如图，点犗为正方形犃犅犆犇的两条对角线的交点，四边形犗犃犈犇，犗犆犉犅都是正方形在图中所示的向量中：（）分别写出与 犃犗，犅犗相等的向量；（）写出与 犃犗共线的向量；（）写出与 犃犗的模相等的向量；（）判断向量 犃犗与 犆犗是否相等；（）写出与 犃犗垂直的向量（第题）如图，四边形犃犅犆犇与四边形犃犅犇犈都是平行四边形试回答下列问题：（）与 犃犅相等的向量是；（）若狘 犃犅狘，则狘 犈犆狘下列命题中，正确的是（填序号）若狘犪狘狘犫狘，则犪犫；若狘犪狘狘犫狘，则犪犫；若犪犫，则犪犫；若狘犪狘，则犪判断下列说法是否正确：（）若犪犫，犫犮，则犪犮；（）单位向量均相等；（）任一向量与它的相反向量不相等思考运用（第题）在如图所示的向量犪，犫，犮，犱，犲中（小正方形的边长为），是否存在：（）共线向量？（）相反向量？（）相同的向量？（）模相等的向量？若存在，分别写出这些向量在四边形犃犅犆犇中，已知 犃犅 犇犆，求证：四边形犃犅犆犇为平行四边形探究拓展如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？（第题）向量运算 把木块放置在光滑的斜面上，重力犌与斜面的支持力犖的合力是一个沿斜面向下的力，因而，木块向下滑动（图 （）如果斜面并不光滑，斜面就对木块产生摩擦力犳这时，木块的运动状态就取决于犌，犖，犳的合力（图 （）图 从运算角度看，求几个力的合力就可以看作是对几个向量实施某种运算的结果换句话说，向量与实数一样也能进行运算那么，向量如何进行运算呢？向量的加减法类比实数的加法，我们联想到，物理中位移的合成，以及速度的合成和力的合成，都可以看成向量的加法已知向量犪和犫（图 ），在平面内任取一点犗，作 犗犃犪，犃犅犫，则向量 犗犅叫作犪与犫的和，记作犪犫即犪犫 犗犃 犃犅 犗犅求两个向量和的运算叫作向量的加法图 如果犪犫，怎样作出犪犫呢？根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则任一向量与其相反向量的和是零向量，即必修第二册数学 犪（犪）（犪）犪对于零向量和任一向量犪，我们规定犪犪犪向量的加法满足交换律、结合律，即犪犫犫犪，（犪犫）犮犪（犫犮）下面我们通过作图方式加以验证如图，作犗犃犅犆，使 犗犃犪，犗犆犫，则 犆犅 犗犃犪，犃犅 犗犆犫因为 犗犅 犗犃 犃犅犪犫，犗犅 犗犆 犆犅犫犪，所以犪犫犫犪图 图 图 还表明，对于任意两个不共线的非零向量犪，犫，我们还可以通过作平行四边形来求这两个向量的和分别作 犗 犃犪，犗犆犫，以犗 犃，犗犆为邻边作犗犃犅犆，则以犗为起点的对角线表示的向量 犗 犅就是向量犪与犫的和我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则同样，根据图 可以验证，向量的加法也满足结合律思考如果平面内有狀个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，这狀个向量的和是什么？图 例如图 ，犗为正六边形犃犅犆犇犈犉的中心，作出下列向量：（）犗犃 犗犆；（）犅犆 犉犈；（）犗犃 犉犈解（）因为四边形犗犃犅犆是以犗犃，犗犆为邻边的平行四边形，犗犅为其对角线，所以 犗犃 犗犆 犗犅（）因为 犅犆与 犉犈方