数形结合思想复习PPT课件.ppt

理解数形结合是高中数学的重要思想方法会运用数形结合思想方法解决问题 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决数学问题，往往事半功倍数形结合的重点是研究“以形助数”，其中主要有两种主要的应用方向：第一是直接将代数问题转化为几何问题，解决几何问题后将其还原为代数问题的答案；第二是在解题过程中，画出图形，并依据图形信息的直观启示，探索修正解题思路与解题过程 数形结合作为一种重要的思想方法，已经渗透至数学的每一分支中在高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法，无论是选择题、填空题还是解答题它属于高考重点考查的内容，2012年的高考仍将会作为重要的数学思想方法加以考查 高考试题对数形结合的考查主要涉及：(1)考查集合及其运算问题韦恩图与数轴；(2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式问题)；(3)考查运用向量解决有关问题；(4)考查三角函数图象及应用；(5)数轴及直角坐标系的广泛应用；(6)数学概念及数学表达式几何意义的应用；(7)解析几何中的数形结合 1数形结合思想的含义 (1)所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 这种思想方法体现在解题中，就是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决 (2)数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 2数形结合的途径 (1)通过坐标系“形”“题”“数”解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义如等式(x2)2(y1)24.(2)通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化例如，将a0与距离互化，将a2与面积互化，将a2b2aba2b22|a|b|cos(60或120)与余弦定理沟通，将abc0且bca中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)另外，函数的图象也是实现数形化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用 例1(1)已知函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1,1时，f(x)x2，则方程f(x)lgx解的个数是()A5 B7 C9 D10(2)设奇函数 f(x)在(0，)上为增函数，且 f(1)0，则不等式fxfxx10时，无交点由图象可知共9个交点 (2)f(x)为奇函数，f(x)f(x)2f(x)画出y2f(x)的大致图象 如图，则f(x)与x异号的区间 如图阴影所示，解集为(1,0)(0,1)，故选D.评析(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数 (2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答 (3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标 已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0 x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是()A(3，2)(0,1)(2，3)B(2，1)(0,1)(2，3)C(3，1)(0,1)(1,3)D(3，2)(0,1)(1,3)答案 B 解析 不等式 f(x)cosx0，cosx0，或 fx0.画出 f(x)在(3,3)上的图象，cosx 的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在 x 轴上、下部分的对应“数”的区间为(2，1)(0,1)(2，3)例 2 (2011 广 东 中 山 第 三 次 检 测)y f(x)3x6 x263x x0，f10.b0，a2b10.由 a2b10，ab20.解得 A(3,1)由 ab20，b0.解得 B(2,0)，由 a2b10b0.解得 C(1,0)在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为ABC(不包括边界)(1)ABC 的面积为 SABC12|BC|h12(h 为 A 到 Oa轴的距离)(2)b2a1几何意义是点(a，b)和点 D(1,2)连线的斜率 kAD211314，kCD20111，由图可知 kADb2a1kCD，14b2a10，解得 a23 65，b6 65，因此 zmin2 633.综上可知函数的值域为2 633，5.(2)所求问题的几何意义是：求过半圆域 x2y24(x0)内或边界上任一点到 P(1，3)的距离的最大值与最小值，由数形结合可知 wmax|PO|r 102，wmin 12232 2，即最大值为 102，最小值为 2.例 4 已知 x，y 满足x216y2251，求 y3x 的最大值和最小值 解析 令 y3xb，则 y3xb，原问题转化为在椭圆x216y2251 上找一点，使过该点的直线斜率为 3，且在 y 轴上有最大截距或最小截距 由图可知，当直线 y3xb 与椭圆x216y2251 相切时，有最大或最小的截距 将 y3xb 代入x216y2251，得 169x296bx16b24000，令 0，解得 b 13.故 y3x 的最大值为 13，最小值为13.设P是抛物线yx2上的点，若P点到直线2xy40的距离最小，求P点的坐标 解析 解法一：设 P 点坐标为(x0，x20)，由点到直线的距离公式得：d|2x0 x204|555|x202x04|55|(x01)23|3 55，由上式可知，当 x01 时，dmin3 55.点 P 的坐标为(1,1)解法二：如图平移2xy40这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短 设P(x0，y0)，y2x，过P点的切线斜率 ky|xx02x02.x01，y0 x1.故P点坐标为(1,1)