2023年中考数学一轮复习第十二讲分式初中数学.docx

2023年中考数学一轮复习第十二讲：分式 知识梳理 知识点1、分式的概念 重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件 难点：分式有意义、分式值为0的条件 分式的概念：形如 ，其中分母B中含有字母，分数是整式而不是分式. 分式 中的字母代表什么数或式子是有条件的. (1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义. (2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可. (3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零. 例1. 1. 假设代数式 有意义，那么x的取值范围为________________ 解题思路：分式有意义，就是分式里的分母不为零，答案：x≠－2且 x≠－3且x≠－4 例2 如果分式的值为零,那么x等于( ) A.-1 B.1 C.-1或1 D.1或2 解题思路：要使分式的值为零,只需分子为零且分母不为零, ∴. 解得x=-1. 答案:A. 练习1. 假设分式　　　　的值为零，那么 的值为〔　〕 2.〔1〕当x=_______时，分式无意义； 〔2〕当x=_______时，分式有意义。 答案：1. 2. 〔1〕x=3；〔2〕 知识点2、分式的根本性质 重点：正确理解分式的根本性质. 难点：运用分式的根本性质，将分式约分、通分 分式的根本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB=，AB=.(其中M是不等于零的整式) 　　分式中的A，B，M三个字母都表示整式，其中B必须含有字母，除A可等于零外，B，M都不能等于零.因为假设B=0，分式无意义；假设M=0，那么不管乘或除以分式的分母，都将使分式无意义. 分式的约分和通分[来源:学科网ZXXK] (1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的根本性质． (3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． (4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 例1：  约分： 解题思路：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分 〔1〕解： (2).请学生分析如何约分：由于，所以，分子和分母的公因式是：，约分可得： 解： 小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的根本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边． 例2 求分式与的最简公分母。 解题思路：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即 4x-2x2=-2x〔x-2〕，x2-4=〔x+2〕〔x-2〕， 把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它的积，即2x〔x+2〕〔x-2〕就是这两个分式的最简公分母。 求几个分式的最简公分母的步骤： 1．取各分式的分母中系数最小公倍数； 2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3．相同字母〔或因式〕的幂取指数最大的； 4．所得的系数的最小公倍数与各字母〔或因式〕的最高次幂的积〔其中系数都取正数〕即为最简公分母。 例3 通分： ， 解题思路：各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。 解 〔2x-4〕2=［2〔x-2〕］2=4〔x-2〕2， 6x-3x2=-3x〔x-2〕，x2-4=〔x+2〕〔x-2〕。 所以，最简公分母是12x〔x+2〕〔x-2〕2，故 ， 。 练习1. 分式与的最简公分母是_________。 2.〔1〕如果把分式中x和y都扩大10倍，那么分式的值〔 〕 A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 扩大2倍 D. 不变 〔2〕下面各式正确的选项是〔 〕 答案：1 2. 〔1〕D；〔2〕D[来源:学科网ZXXK] 知识点3、分式的运算 重点：掌握分式的运算法那么 难点：熟练进行分式的运算[来源:Zxxk.Com] 1.分式加减法法那么 〔1〕通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分[来源:学。科。网Z。X。X。K] 〔2〕同分母分式的加减法法那么：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减． 〔3〕异分母分式的加减法法那么：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母分式后再加减． 2．分式的化简[来源:学。科。网Z。X。X。K] 分式的化简与分式的运算相同，化简的依据、过程和方法都与运算一样，分式的化简题，大多是分式的加、减、乘、除、乘方的混合题，化简的结果保存最简分式或整式． 3.分式的四那么混合运算 分式的四那么混合运算运算顺序与分数的四那么运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些． 例1．先化简，再求值：．其中x＝2 解题思路：分式混合运算法那么口诀：分式四那么运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变〔乘〕：乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同．分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处．结果要求最简． 解法一： ＝ ＝ ＝。 解法二：[来源:学科网] ＝ ＝ 当x=2时，原式＝一＝4。 例2． 先化简 ，然后请你给a选取一个适宜的值，再求此时原式的值． 解题思路：此题有三个步骤：〔1〕化简；〔2〕取值；〔3〕求值．此类题以开放题的形式出现，字母的取值范围很广，比方，在此题中，为a选取适宜的值时．存在许多种选法，一般地，取易于计算的值，但要考虑分式的分母不为零．即a≠±2． 解：原式＝[来源:学|科|网] 当a=1时，原式=1+2=3． 练习1.化简:()÷(1-). 2.化简: . 答案：1. 2.1 知识点4、分式方程 重点：掌握分式方程的解法与步骤 难点：解分式方程的思想转化以及验根 分式方程是方程中的一种，且分母里含有字母的方程叫做分式方程。　　 分式方程的解法 　　①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①最小公倍数②相同字母的最高次幂③只在一个分母中含有的照写〕,将分式方程化为整式方程;假设遇到互为相反数时.不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤〔移项，假设有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1〕求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 　　验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否那么这个根就是原分式方程的根。假设解出的根是增根，那么原方程无解。 　解分式方程的根本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母〞，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。 例1解方程：．　 解题思路：解分式方程的根本思路是：先确定最简公分母，再通过去分母把分式方程转化成整式方程，从而求得其解． 要注意的是解分式方程必须检验，假设为增根，须舍去 解：两边同乘以， 得； 整理，得； 解得 ． 经检验，是原方程的根． 例2解方程：． 解题思路：此题在去分母把分式方程转化成整式方程时，方程中的整数项3，也应乘最简公分母〔x-2〕, 不要漏乘. 解：方程两边同乘，得． 　　　　 解这个方程，得． 　　　　检验：当时，， 所以是增根，原方程无解 例3假设方程无解，那么m=______． 解题思路：分式方程的无解，就是分式方程中未知数的取值使分母的值为0，导致分式无意义.此题当x=2时分母x-2=0. 分式方程无解，实质就是指对应整式方程的解是原分式方程的增根，其整式方程的解会使最简公分母的值为零. 解：方程两边同乘以(x-2)，化去分母， 得x-3=-m, 因为分式方程无解， 所以x=2, 2-3=-m, 故m=1. 练习1.解方程． 2.假设关于的分式方程在实数范围内无解，那么实数___________. 答案:1.解：方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x2-4)=1， 化简，得2x=-3 x=-3/2， 经检验，x=-3/2是原方程的根． 2.a=1 知识点5、分式方程的应用 重点：掌握解分式方程应用题的步骤 难点：审题弄清题目中的等量关系 列分式方程与列整式方程解应用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程． 与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题意． 例某书店老板去图书批发市场购置某种图书．第一次用1200元购书假设干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了〔不考虑其它因素〕？假设赔钱，赔多少？假设赚钱，赚多少？ 　　解题思路：此题的等量关系为： 第二次购该书数量比第一次多10本，即〔第一次购置的数量〕＋10＝〔第二次购置的数量〕．  　　解：设第一次购书的进价为x元，那么第二次购书的进价为〔1+20%〕x元． 　　 根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解．  　　所以第一次购书为〔本〕， 第二次购书为〔本〕， 第一次赚钱为〔元〕， 第二次赚钱为： 〔元〕  　　所以两次共赚钱〔元〕．　 练习某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原方案提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原方案每小时修路的长度．假设设原方案每小时修路x m，那么根据题意可得方程 .[来源:Z+xx+k.Com] 答案： 最新考题 中考试题考查的是分式的根本性质及其运算，题型以填空、选择或计算为主，试题中渗透方程思想或高一年级数学知识，预计2023年中考这类试题比例会加大，理解分式的概念，分母中含有字母的式子，掌握分式分母的取值范围，分式方程的求解一类问题近年主要考查根本的解方程， 着重考查学生的实际应用能力，同时分式方程的验根仍作为考查重点。 考查目标一分式的概念 例1〔2023年天津市〕假设分式的值为0，那么的值等于 ． 解题思路：要使分式的值为零,只需分子为零且分母不为零, 答案：2 例2〔09湖北宜昌〕当x= 时，分式没有意义． 解题思路：分式没有意义那么分式的分母为0，x=3 考查目标二分式的运算 例1〔2023年新疆乌鲁木齐市〕化简： ． 解题思路：约分与通分，分式运算中分子分母能分解因式的先分解，答案： 例2〔2023年枣庄市〕15．a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，那么P Q〔填“＞〞、“＜〞或“＝〞〕． 解题思路：分式的比拟大小，可以通分化为同分母，答案：= 例3〔2023年内蒙古包头〕化简，其结果是〔 〕 A． B． C． D． 解题思路：此题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算，要注意