2023年创新方案高考数学复习精编人教新课标52等差数列及其前n项和doc高中数学.docx

第五章 第二节 等差数列及其前n项和 题组一 等差数列的判定与证明 1.设命题甲为“a，b，c成等差数列〞，命题乙为“＋＝2”，那么 (　　) A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：由＋＝2，可得a＋c＝2b，但a、b、c均为零时，a、b、c成等差数列，但＋≠2. 答案：B 2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n. (1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)证明：由an＋1＝2an＋2n得 bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1. 又b1＝a1＝1， 因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知＝n，即an＝n·2n－1. Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1， 两边乘以2得，2Sn＝2＋2×22＋…＋n×2n. 两式相减得 Sn＝－1－21－22－…－2n－1＋n·2n ＝－(2n－1)＋n·2n ＝(n－1)2n＋1. 题组二 等差数列的根本运算 3.(2023·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，那么公差d等于 (　　) A．1 B. C．2 D．3 解析：∵S3＝＝6，而a3＝4，∴a1＝0， ∴d＝＝2. 答案：C 4．(2023·广州模拟)数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，那么k等于 (　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：an＝ ＝＝2n－10， ∵5＜ak＜8，∴5＜2k－10＜8， ∴<k<9，又∵k∈Nx，∴k＝8. 答案：B 5．等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，假设bn＝a2n，那么数列{bn}的前5项和等于________． 解析：由⇒∴an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a2n＝6n，∴S5＝×5＝90. 答案：90 6．数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈Nx)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝6n＋(－1)n－1λ·2an(λ为正整数，n∈Nx)，试确定λ的值，使得对任意n∈Nx，都有bn＋1＞bn成立． 解：(1)∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d， 由a3＝5，S6＝36得，解得a1＝1，d＝2. ∴an＝2n－1. (2)由(1)知bn＝6n＋(－1)n－1·λ·22n－1，要使得对任意n∈Nx都有bn＋1＞bn恒成立， ∴bn＋1－bn＝6n＋1＋(－1)n·λ·22n＋1－6n－(－1)n－1·λ·22n－1＝5·6n－5λ·(－1)n－1·22n－1＞0恒成立， 即λ·(－1)n－1＜()n. 当n为奇数时， 即λ＜2·()n，而()n的最小值为， ∴λ＜3. 当n为偶数时，λ＞－2()n， 而－2()n的最大值为－，∴λ＞－. 由上式可得－＜λ＜3，而λ为正整数， ∴λ＝1或λ＝2. 题组三 等差数列的性质 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设S3＝9，S6＝36，那么a7＋a8＋a9等于 (　　) A．63 B．45 C．36 D．27 解析：由{an}是等差数列，那么S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 由2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)得到 S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45. 答案：B 8．在等差数列{an}中，log2(a5＋a9)＝3，那么等差数列{an}的前13项的和S13＝________. 解析：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8. ∴S13＝＝＝＝52. 答案：52 9．(2023·辽宁高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，那么a4＝________. 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么由6S5－5S3＝5，得6(a1＋3d)＝2，所以a4＝. 答案： 题组四 等差数列的前n项和及最值问题 10.设数列{an}是等差数列，且a4＝－4，a9＝4，Sn是数列{an}的前n项和，那么 (　　) A．S5＜S6 B．S5＝S6 C．S7＝S5 D．S7＝S6 解析：因为a4＝－4，a9＝4，所以a4＋a9＝0，即a6＋a7＝0，所以S7＝S5＋a6＋a7＝S5. 答案：C 11．(文)在等差数列{an}中，假设a1<0，S9＝S12，那么当n等于________时，Sn取得最小值． 解析：设数列{an}的公差为d，那么由题意得 9a1＋×9×(9－1)d＝12a1＋×12×(12－1)d， 即3a1＝－30d，∴a1＝－10d. ∵a1<0，∴d>0. ∴Sn＝na1＋n(n－1)d＝dn2－dn ＝2－. ∴Sn有最小值，又n∈Nx， ∴n＝10，或n＝11时，Sn取最小值． 答案：10或11 (理)假设数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈Nx)，{bn}的前n项和用Sn表示，假设{an}满足3a5＝8a12＞0，那么当n等于________时，Sn取得最大值． 解析：(先判断数列{an}中正的项与负的项) ∵3a5＝8a12＞0，∴3a5＝8(a5＋7d)＞0， 解得a5＝－d＞0，∴d＜0，∴a1＝－d， 故{an}是首项为正数的递减数列． 由⇒⇒15≤n≤16， ∴n＝16. 答案：16 12．(2023·株州模拟)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)，满足f(0)＝f()＝0，且f(x)的最小值是－.设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈Nx，点(n，Sn)在函数f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)通过bn＝构造一个新的数列{bn}，是否存在非零常数c，使得{bn}为等差数列； (3)令cn＝，设数列{cn·2cn}的前n项和为Tn，求Tn. 解：(1)因为f(0)＝f()＝0，所以f(x)的对称轴为x＝＝，又因为f(x)的最小值是－，由二次函数图象的对称性可设f(x)＝a(x－)2－. 又f(0)＝0，所以a＝2，所以f(x)＝2(x－)2－＝2x2－x. 因为点(n，Sn)在函数f(x)的图象上，所以Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3(n＝1时也成立)，所以an＝4n－3(n∈Nx)． (2)因为bn＝＝＝，令c＝－(c≠0)，即得bn＝2n，此时数列{bn}为等差数列，所以存在非零常数c＝－，使得{bn}为等差数列． (3)cn＝＝＝2n，那么cn·2cn＝2n×22n＝n×22n＋1. 所以Tn＝1×23＋2×25＋…＋(n－1)22n－1＋n×22n＋1， 4Tn＝1×25＋2×27＋…＋(n－1)22n＋1＋n×22n＋3， 两式相减得：－3Tn＝23＋25＋…＋22n＋1－n×22n＋3＝－n·22n＋3， Tn＝＋＝.