普通高中教科书·数学选择性必修 第二册.pdf

ISBN 978-7-5499-9164-89 787549 991648定价：10.55元书 书 书主编单墫李善良副 主 编葛军徐稼红石志群本册主编石志群编写人员陈光立孙旭东石志群徐稼红樊亚东李善良葛军张松年张乃达单墫责任编辑田鹏普通高中教科书书名数学（选择性必修第二册）主编单墫李善良责任编辑田鹏出版发行江苏凤凰教育出版社（南京市湖南路号楼邮编 ）照排南京展望文化发展有限公司印刷江苏省高淳印刷股份有限公司（电话：）厂址南京市高淳区开发区双高路 号（邮编：）开本 毫米 毫米 印张 版次 年月第版印次 年月第次印刷书号 定价 元盗版举报 苏教版图书若有印装错误可向出版社联系调换质量热线：大自然这本书是用数学语言写成的 伽利略一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步 马克思致同学亲爱的同学，高中阶段的数学学习生活有趣吗？我们知道，数学是高中阶段的重要学科，不仅是学习物理、化学等学科的基础，而且可以帮助我们认识世界，改造世界，创造新的生活，对我们的终身发展有较大的影响怎样学习数学？第一，要学会发现问题、提出问题面对各种情境（生活的、数学的、科学的），我们需要学会观察、实验、归纳，学会从特殊到一般、从具体到抽象、从模糊到清晰，大胆地提出数学问题第二，要尝试分析并解决所提出的问题通过抽象、推理、建模、运算等多种活动，建立数学理论，并运用这些数学理论去解决问题 第三，要学会回顾反思在解决完问题之后，要思考：我们是如何解决这个问题的，从中可以得到哪些启发，还能提出哪些问题在数学学习过程中，我们要主动地学习数学基础知识、基本技能，自觉地感悟基本数学思想，不断积累数学活动经验，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养，并逐步学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界通过数学学习，我们会发现数学非常奇妙，非常有趣数学将给我们以新奇和动力，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展我们将快乐地成长 考虑广大同学的不同需要，本书提供了较大的选择空间书中的引言、正文、练习、习题中的“感受理解”部分、阅读、本章回顾、本章测试等内容构成一个完整的体系它体现了教科书的基本要求，是所有学生应当掌握的内容，相信你一定能学好这部分内容本书还设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、问题与探究、应用与建模，以及习题中的“思考运用”“探究拓展”等在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，相信你会更加喜欢数学书 书 书 目录第章空间向量与立体几何 空间向量及其运算 空间向量的坐标表示 空间向量的应用 问题与探究平面方程 阅读向量的向量积 第章计数原理 两个基本计数原理 排列 组合 二项式定理 问题与探究算两次 阅读杨辉三角 第章概率 条件概率 离散型随机变量及其分布列 正态分布 问题与探究你的彩票被扔掉了吗？阅读高斯与概率统计 第章统计 线性回归分析 独立性检验 应用与建模区分蠓蚊 阅读世界一流的统计学家 许宝?专题数学建模与数学探究案例分析 课题推荐 附录标准正态分布犘（犣狕）数值表 书 书 书本书部分常用符号犗 狓 狔 狕 空间直角坐标系 犃犅以犃为起点、犅为终点的向量 犃犅向量 犃犅的模（或长度）犲，犲，犲空间的一个基底犻，犼，犽单位正交基底犪，犫向量犪与犫的夹角犿直线犿在平面内犿狀犅直线犿和直线狀相交于点犅犾直线犾平行于平面犾直线犾垂直于平面犿狀从狀个不同的元素中选出犿个不同元素的排列数狀！将狀个不同的元素进行全排列的排列数犿狀从狀个不同的元素中选出犿个不同元素的组合数犘（犡狓犻）随机变量犡取值为狓犻时对应的随机事件发生的概率犡犅（狀，狆）随机变量犡服从参数为狀，狆的二项分布犡犎（狀，犕，犖）随机变量犡服从参数为狀，犕，犖的超几何分布珡犃随机事件犃的对立事件犘（犃）随机事件犃发生的概率犘（犅狘犃）随机事件犃发生的条件下随机事件犅发生的概率犘（犃犅）随机事件犃，犅同时发生的概率犈（犡）（或）随机变量犡的均值或数学期望犇（犡）（或）随机变量犡的方差犇（犡槡）（或）随机变量犡的标准差犡犖（，）随机变量犡服从参数为，的正态分布分布犡犡数据的均值第章空间向量与立体几何 数无形时少直觉，形少数时难入微 华罗庚在数学（必修第二册）中，我们学习了平面向量，研究了平面向量的运算、平面向量基本定理及平面向量的坐标表示，运用平面向量知识解决了数学和物理中的一些问题然而，在现实生活中，许多涉及大小和方向的问题不仅出现在平面中，也经常出现在空间中例如，吊车吊载物体，飞机降落，火箭发射空间向量是如何进行运算的？怎样用向量解决空间图形的相关问题？空间向量与立体几何第章 空间向量及其运算在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫作空间向量（）我们已经学习过平面向量的运算及其性质，那么，空间向量如何进行运算？空间向量具有什么性质？空间向量的线性运算与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示相同的向量类比平面向量的运算，空间向量也有加法、减法和数乘运算如图 ，已知空间向量犪，犫，在空间任取一点犗，作 犗犃犪，犃犅犫由犗，犃，犅三点确定一个平面或三点共线可以知道，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段来表示图 与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为（图 ）：犗犅 犗犃 犃犅犪犫，犅犃 犗犃 犗犅犪犫，犗犘 犪（犚）图 选择性必修第二册数学 同样，空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：（）犪犫犫犪；（）（犪犫）犮犪（犫犮）；（）（犪犫）犪 犫（犚）如图 ，我们可以借助空间四边形来验证空间向量的加法满足结合律图 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算共线向量的方向相同或相反如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量向量犪与犫平行，记作犪犫我们规定零向量与任意向量共线平面向量共线的充要条件在空间也是成立的，即有共线向量定理对空间任意两个向量犪，犫（犪），犫与犪共线的充要条件是存在实数，使犫 犪例如图 ，在三棱柱犃犅犆 犃犅犆中，犕是犅犅的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（）犆犅 犅犃；（）犃犆 犆犅 犃犃；（）犃犃 犃犆 犆犅解（）犆犅 犅犃 犆犃（）因为犕是犅犅的中点，所以 犅犕 犅犅又 犃犃 犅犅，所以 犃犆 犆犅 犃犃 犃犅 犅犕 犃犕空间向量与立体几何第章 （）犃犃 犃犆 犆犅 犆犃 犆犅 犅犃向量 犆犃，犃犕，犅犃如图 所示图 图 例如图 ，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，点犕，犖分别在线段犃犅，犇犅上，且犅犕犅犃，犅犖犅犇，犘为棱犅犆的中点求证：犕犖犅犘证明 犕犖 犕犅犅犅 犅 犖因为犅犕犅犃，犅犖犅犇，所以 犕犖犅犃 犅犅 犅犇 （犅犅 犅犃 ）犅犅（犅犃 犃犇 ）犅犅 犃犇 犅犅 犅犆 又因为犘为犅犆的中点，所以 犅犘犅犅 犅 犘犅犅 犅犆 犅犅 犅犆（）犕犖，从而 犅犘与 犕犖为共线向量因为直线犕犖与犅犘不重合，所以犕犖犅犘练习化简：（）犃犅 犅犆；（）犃犅 犃犆如图，在空间四边形犃犅犆犇中，犈是线段犃犅的中点，犆犉犉犇，连接犈犉，犆犈，犃犉，犅犉化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（）犃犆 犆犅 犅犇；（）犃犉 犅犉 犃犆；选择性必修第二册数学 （）犃犅 犅犆 犆犇（第题）（第题）如图，在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，点犈，犉分别是上底面犃犅犆犇和侧面犆犇犇犆的中心，求下列各题中犿，狀的值：（）犃犈犿 犃犅狀 犃犇犃犃；（）犃犉犿 犃犅 犃犇狀 犃犃已知四棱锥犘 犃犅犆犇的底面犃犅犆犇是平行四边形，犃犅犪，犃犇犫，犃犘犮，犈为犘犆的中点，试用犪，犫，犮表示向量 犆犈已知犲，犲是两个不共线的空间向量，犃犅犲犽 犲，犆犅犲犲，犆犇犲犲，且犃，犅，犇三点共线，求实数犽的值 空间向量的数量积前面，我们讨论了空间向量的线性运算，同样，空间向量也有数量积运算如图 ，犪，犫是空间两个非零向量，过空间任意一点犗，作 犗犃犪，犗犅犫，犃犗犅（）叫作向量犪与向量犫的夹角，记作犪，犫图 根据两个向量夹角的定义，容易知道犪，犫犫，犪如果犪，犫，那么向量犪与犫同向；如果犪，犫，那么向量空间向量与立体几何第章 犪与犫反向；如果犪，犫，那么称犪与犫互相垂直，并记作犪犫设犪，犫是空间两个非零向量，我们把数量狘犪犫狘 犪，犫叫作向量犪，犫的数量积，记作犪犫，即犪犫狘犪犫狘 犪，犫我们规定：零向量与任一向量的数量积为由此可见，空间两个非零向量犪，犫的夹角犪，犫可以由 犪，犫犪犫狘犪犫狘求得根据定义，可以得到犪犫犪犫（犪，犫是两个非零向量），狘犪狘犪犪犪与平面向量一样，空间向量的数量积也满足下列运算律：（）犪犫犫犪；（）（犪）犫（犪犫）（犚）；（）（犪犫）犮犪犮犫犮由空间向量的数量积的定义不难验证运算律（）（）的正确性对比平面向量中向量犪向向量犫投影的概念对于运算律（），我们可以通过“投影向量”的概念进行证明对于空间任意两个非零向量犪，犫，设向量 犗犃犪，犗犅犫（图 ），过点犃作犃犃犗犅，垂足为犃上述由向量犪得到向量犗犃 的变换称为向量犪向向量犫投影，向量犗犃 称为向量犪在向量犫上的投影向量（）图 与平面向量的情形类似，我们有犪犫犗犃 犫，即向量犪，犫的数量积就是向量犪在向量犫上的投影向量与向量犫的数量积选择性必修第二册数学 思考试运用上述空间向量向某个向量投影的概念，仿照平面向量的相关内容证明运算律（）例如图 ，犃，犅为平面外两点，点犃，犅在平面上的射影分别为点犃，犅，犿为平面内的向量求证：犃犅犿 犃 犅 犿图 证明由犃犃，且犿在内可知 犃犃 犿同理 犅 犅犿因此，犃犅犿（犃犃 犃 犅 犅 犅）犿 犃犃 犿 犃 犅 犿 犅 犅犿 犃 犅 犿 犃 犅 犿故命题成立如图 ，设向量犿 犆犇，过犆，犇分别作平面的垂线，垂足分别为犆，犇，得向量犆犇 我们将上述由向量犿得到向量犆犇 的变换称为向量犿向平面投影，向量犆犇 称为向量犿在平面上的投影向量图 由例可知，对于平面内的任一向量狀，有犿狀犆犇 狀，也就是说，空间向量犿，狀的数量积就是向量犿在平面上的投影向量与向量狀的数量积空间向量与立体几何第章 例如图 ，在棱长为的正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犕为棱犆犆上任意一点图 （）确定向量 犃犕在平面犃犅犆上的投影向量，并求 犃犕 犅犆；（）确定向量 犃犕在直线犅犆上的投影向量，并求 犃犕 犅犆解（）在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犆犆平面犃犅犆，因此，犃犆即为 犃犕在平面犃犅犆上的投影向量又因为 犅犆在平面犃犅犆内，所以 犃犕 犅犆 犃犆 犅犆槡 （）在正方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犃犅犅犆，且犆犆犅犆，因此，犅犆即为 犃犕在直线犅犆上的投影向量，从而 犃犕 犅犆 犅犆 犅犆狘 犅犆狘练习若狘犪狘，狘犫狘，犪，犫，则犪犫若犪，犫是空间两个非零向量，则（）当犪犫狘犪狘 狘犫狘时，犪，犫；（）当犪犫时，犪，犫；（）当犪犫狘犪狘 狘犫狘时，犪，犫证明空间向量数量积的运算律（）已知犪，犫均为单位向量，如果它们的夹角为 ，那么犪犫已知犿，狀是空间两个单位向量，它们的夹角为 ，设向量犪犿狀，犫犿狀求：（）犪犫；（）向量犪与犫的夹角如图，在三棱锥犘 犃犅犆中，犘犃平面犃犅犆，犆犅犃犅，犃犅犅犆犪，犘犃犫（第题）选择性必修第二册数学 （）确定 犘犆在平面犃犅犆上的投影向量，并求 犘犆 犃犅；（）确定 犘犆在直线犃犅上的投影向量，并求 犘犆 犃犅 共面向量定理如图 ，在长方体犃犅犆犇 犃犅犆犇中，犃犅 犃犅，犃犇 犃犇，而 犃犅，犃犇，犃犆在同一平面内，此时，我们称犃犅 ，犃犇 ，犃犆是共面向量图 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量（）显然，任意两个空间向量都是共面向量我们知道，空间向量犫与向量犪（犪）共线的充要条件是存在实数，使得犫 犪，即空间向量满足共线向量定理同样，空间向量也满足共面向量定理与平面向量一样，对于空间向量狆，犪，犫，若狆狓犪狔犫成立，则称狆由犪，犫线性表示共面向量定理如果两个向量犪，犫不共线，那么向量狆与向量犪，犫共面的充要条件是存在有序实数组（狓，狔），使得狆狓 犪