2023年江苏省常州市武进区横山桥高级高三数学上学期期中考试试题文.docx

横山桥高级中学2023—2023学年度第一学期期中考试高三年级 数学试题 考生注意： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两局部.本试卷总分值160分，考试时间120分钟. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置. 3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效. 4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1、假设，那么___▲___. 2、存在实数，使得成立，那么的取值范围是___▲___. 3、数列为等差数列，且，那么= ___▲___. 4、向量，假设与垂直，那么___▲___. 5、△中，三内角、、所对边的长分别为、、，， 不等式的解集为，那么___▲___. 6、函数和的图象的对称中心 完全相同，假设，那么的取值范围是___▲___. 7、设为互不重合的两个平面，为互不重合的两条直线，给出以下四个命题： ①假设，那么；②假设∥，∥，那么∥ ③假设，那么 ④假设，∥，那么∥ 其中所有正确命题的序号是___▲___. 8、假设函数，点在曲线上运动，作轴，垂足为， 那么△（为坐标原点）的周长的最小值为___▲___. 9、函数在内至少有个最小值点,那么正整数的最小值 为___▲___. 10、如果实数，那么的最大值为___▲___. 11、，且关于的函数在上有极值， 那么与的夹角范围为___▲___. 12、集合|是棱长为1的正方体外表上的点，且，那么集合中所有点的轨迹的长度是___▲___. 13、如图放置的边长为的正三角形沿的纵坐标与横坐标的函数关系式是，那么的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为，那么=___▲___. 14、数列满足：（为正整数），假设，那么所有可能的取值为___▲___. 二、解答题：本大题共六小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（此题总分值14分） 向量＝(，)，＝(，)，定义函数＝ (1)求的最小正周期； (2)假设△的三边长成等比数列，且，求边所对角以及 的大小. 16．（此题总分值14分） 在所有棱长都相等的斜三棱柱中，，，且，连接 （1）求证：平面 （2）求证：四边形为正方形 17．（此题总分值14分） 如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为, （1）按以下要求写出函数的关系式： ①设，将表示成的函数关系式； ②设，将表示成的函数关系式， （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值. 18．（此题总分值16分） 函数，()， A= （Ⅰ）求集合； （Ⅱ）如果，对任意时，恒成立，求实数的范围； （Ⅲ）如果，当“对任意恒成立〞与“在内必有解〞同时成立时，求 的最大值． 19．(此题总分值16分) 设为数列的前项之积，满足． (1)设，证明数列是等差数列，并求和； (2)设求证：． 20．（此题总分值16分） 函数． （1）试求的单调区间； （2）当时，求证：函数的图像存在唯一零点的充要条件是； （3）求证：不等式对于恒成立． 二、解答题： 15.解：(1)f(x)＝p·q＝(sin x，cos x)·(cos x，cos x)＝sin xcos x＋cos2x………………2分 ＝sin 2x＋·＝sin 2x＋cos 2x＋ ＝sin(2x＋)＋.………………………………………………………………………………4分 ∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.………………………………………………………………6分 (2)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，………………………………………………………7分 又c2＋ac－a2＝bc. ∴cos A＝＝＝＝.…………………………………………………10分 又∵0<A<π，∴A＝.…………………………………………………………………………12分 f(A)＝sin(2×＋)＋＝sin π＋＝.……………………………………………………14分 16．（1）【证明】因为是菱形，所以……………………………………1分 又，所以.………………………………………………………3分 所以。………………………………………………………………………………4分 因为，所以……………………………………………6分 所以…………………………………………………………………………7分 （2）【证明】因为,所以,………………………9分 所以………………………………… 6分 所以， 即，…………………………… 8分 （2）选择，…………… 12分 ……………………………………… 13分 所以.……………………………………………………………… 14分 18．（本小题总分值16分） 解：（Ⅰ）令，那么 即即， ，所以，所以， 即 …………………………………………………………5分 （Ⅱ）恒成立也就是恒成立， （Ⅲ）对任意，恒成立， 得， 由有解，有解，即， ，，． ……………………………………14分 满足条件所表示的区域，设，根据可行域求出当时取得． 所以的最大值为． …………………………………………16分 19．本小题主要考察等差数列定义、通项、数列求和、不等式等根底知识，考察综合分析问题的能力和推理论证能力． 解：(1)∵， ∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴，……………………………………………………6分 ∴， ∴………………………………………………………… 8分 (2)， ∵ ………………………………………………………………11分 ∴ ………………………………………………………………12分 当时， ，………………………………………………………14分 当时，，……………………………………………15分 ∴.……………………………………………………………………16分 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．………………… 6分 （2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值， 即.而（0，1）在上单调递减，在上单调递增， 在上由唯一的一个零点x=1．……………………………………………………9分 必要性：=0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即． 令， ． 当时，，在（0，1）上单调递增；当a>1时，， 在上单调递减.，=0只有唯一解a=1． =0在上有唯一解时必有a=1．…………………………………………………12分 综上：在a>0时， =0在上有唯一解的充要条件是a=1． （3）证明：∵1<x<2,∴. 令，∴，……14分 由（1）知，当a=1时，，∴，∴． ∴，∴F（x）在（1，2）上单调递增，∴， ∴.∴．…………………… 16分