义务教育教科书（五•四学制）·数学九年级下册.pdf

数学九年级 下册数学数学SHUXUEYIWU JIAOYU JIAOKESHU义务教育教科书（五四学制）义务教育教科书（五四学制）九年级下册下册九年级3绿 色 印 刷 产 品 数学九年级下(五四)封面.indd 12014.9.24 2:07:39 PM九年级下册数学义 务 教 育 教 科 书（五 四学制）人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著北 京义务教育教科书（五四学制）数学 九年级 下册人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著出 版 （北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）网 址 http:/重 印 出版社发 行 新华书店印 刷 印刷厂版 次 2014 年 10 月第 1 版 印 次 年 月第 次印刷开 本 787 毫米 1092 毫米 1/16印 张 6字 数 98 千字印 数 册书 号 ISBN978-7-107-29044-2定 价 元版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 联系调换。电话：-主 编：林 群副 主 编：田载今 薛 彬 李海东本册主编：章建跃主要编写人员：宋莉莉 李龙才 刘长明 邓泾河责任编辑：张劲松美术编辑：王俊宏封面设计：吕 旻 王俊宏插 图：王俊宏 文鲁工作室（封面）本册导引亲爱的同学，新学期又开始了。这是你在初中阶段要学习的最后一册数学教科书。日常生活中，我们常常会见到一些形状相同的图形。它们具有什么共同的特征？怎样从数学的角度去认识这种现象？在“相似”一章，你将会得到答案。类似于全等，相似是图形之间的一种特殊关系。与平移、轴对称、旋转一样，它还是图形之间的一种基本变化。学完了这一章，你将会对上述问题有更深刻的理解，并利用相似去解决一些实际问题。测量长度或角度是我们日常生活中经常遇到的问题。在前面的学习中，我们学习了一些利用全等或相似来测量的方法，但都要用到两个三角形。“锐角三角函数”将带我们去研究直角三角形中的边角关系，利用它，就可以很方便地解决与直角三角形有关的测量问题了。在建筑施工和机械制造中，常常要使用三视图。在七年级上册，我们已初步了解了从不同方向看立体图形可以得到不同的平面图形。在“投影与视图”一章，我们将了解投影的基础知识，借助投影来认识视图，并进一步利用视图来认识立体图形与平面图形的关系。学完了本章，相信你对空间图形的认识一定会有进一步的提高。过了这个学期，你就要初中毕业了，我们这套义务教育教科书（五四学制）数学伴你走过了四年的初中学习生活。回忆一下，在这四年里，你学到了哪些数学知识？对数学有了进一步的认识吗？今后，无论你是继续学习还是参加工作，都希望你能用数学的眼光去观察世界，用数学的头脑去思考问题，用所学的数学知识去解决问题。愿你今后取得更大的进步。书 书 书目录第三十三章相似 图形的相似 相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形 位似 信息技术应用探索位似的性质 数学活动 小结 复习题 第三十四章锐角三角函数 锐角三角函数 阅读与思考一张古老的“三角函数表”解直角三角形及其应用 阅读与思考山坡的高度 数学活动 小结 复习题 第三十五章投影与视图 投影 三视图 阅读与思考视图的产生与应用 课题学习制作立体模型 数学活动 小结 复习题 部分中英文词汇索引 书 书 书第三十三章相似在现实生活中，我们经常见到形状相同的图形如国旗上大小不同的五角星、不同尺寸同底版的相片等下图中两张大小不同的万里长城图片，它们的各部分都是按一定比例对应的在“全等三角形”一章中，我们研究了形状和大小完全相同的两个三角形的性质和判定方法类似地，两个形状相同、大小不同的三角形，它们的边和角有什么关系？对应线段（如高、中线和角平分线等）和面积有什么关系？如何判断两个三角形的形状是否相同？如何按要求放大或缩小一个图形呢？要回答上面的问题，就进入这一章的学习吧！在实验、探索和论证之后，你就能得到问题的答案?图形的相似你能再举出一些相似图形的例子吗？图 中有汽车和它的模型，也有大小不同的足球，还有同一张底版洗出的不同尺寸的照片，以及排版印刷时使用不同字号排出的相同文字所有这些，都给我们以形状相同的形象我们把形状相同的图形叫做相似图形（）图 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到例如，放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上图形的放大；用复印机把一个图形放大或缩小后所得的图形，都与原来的图形相似图 中有对图形，每对图形中的两个图形相似其中较大（小）的图形可以看成是由较小（大）的图形放大（缩小）得到的图?图 是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象，这些镜中的形象相似吗？图 0123456789101112（第题）(c)(f)(e)(d)(b)(a)(1)(2)（第题）如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？如图，图形（）（）中，哪些与图形（）或（）相似？?对于四条线段犪，犫，犮，犱，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如犪犫犮犱（即犪 犱犫 犮），我们就说这四条线段成比例下面我们研究特殊的相似图形 相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形（）相似多边形对应边的比叫做相似比（）例如，图 中的两个大小不同的四边形犃犅犆犇和四边形犃犅犆犇中，犃犃，犅犅，犆犆，犇犇，两个大小不同的正方形相似吗？为什么？犃犅犃犅犅犆犅犆犆犇犆犇犇犃犇犃，因此四边形犃犅犆犇与四边形犃犅犆犇相似ABCDA1B1C1D1图 由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例例如图 ，四边形犃犅犆犇和犈犉犌犎相似，求角，的大小和犈犎的长度狓ABC182178e83eDH24EFG118ex图 解：因为四边形犃犅犆犇和犈犉犌犎相似，所以它们的对应角相等，由此可得犆 ，犃犈 在四边形犃犅犆犇中，（）因为四边形犃犅犆犇和犈犉犌犎相似，所以它们的对应边成比例，由此可得?犈犎犃犇犈犉犃犅，即狓 解得狓 在比例尺为 的地图上，量得甲、乙两地的距离是，求两地的实际距离 如图所示的两个三角形相似吗？为什么？1010553cd52ba697.5（第题）（第题）如图所示的两个五边形相似，求犪，犫，犮，犱的值习题 Ay7CB128xEF4D（第题）两地的实际距离是 ，在地图上量得这两地的距离为，这幅地图的比例尺是多少？任意两个矩形相似吗？为什么？如图，犃犅犆与犇犈犉相似，求狓，狔的值 如图，试着在方格纸中画出与原图形相似的图形你用的是什么方法？与同学交流一下（第题）书 书 书?如图，犇犈犅犆，（）求犃犇犃犅，犃犈犃犆，犇犈犅犆的值；（）证明犃犇犈与犃犅犆相似ACB9ED52.5234（第题）（第题）如图，矩形草坪长、宽 沿草坪四周有宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由 如果两个多边形仅有角分别相等，它们相似吗？如果仅有边成比例呢？若不一定相似，请举出反例 如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？将这张纸如此再对折下去，得到的矩形都相似吗？（第题）?相似三角形CABBCA图 相似三角形的判定在相似多边形中，最简单的就是相似三角形（）如图 ，在犃犅犆和犃 犅 犆 中，如果如果犽，这两个三角形有怎样的关系？犃犃，犅犅，犆犆，犃犅犃 犅 犅犆犅 犆 犃犆犃 犆 犽，犃 犅 犆 与犃犅犆的相似比为犽即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说犃犅犆与犃 犅 犆 相似，相似比为犽相似用符号“”表示，读作“相似于”犃犅犆与犃 犅 犆 相似记作“犃犅犆犃 犅 犆”判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法（，）类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？我们先来探究下面的问题ABEFCDl1l2l3l4l5图 如图 ，任意画两条直线犾，犾，再画三条与犾，犾都相交的平行线犾，犾，犾分别度量犾，犾，犾在犾上截得的两条线段犃犅，犅犆和在犾上截得的两条线段犇犈，犈犉的长度，犃犅犅犆与犇犈犈犉相等吗？任意平移犾，犃犅犅犆与犇犈犈犉还相等吗？?可以发现，当犾犾犾时，有犃犅犅犆犇犈犈犉，犅犆犃犅犈犉犇犈，犃犅犃犆犇犈犇犉，犅犆犃犆犈犉犇犉等一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况（图 ）ABECDl1l2l3l4l5ABECDl1l2l3l4l5（）（）图 在图 （）中，把犾看成平行于犃犅犆的边犅犆的直线；在图 （）中，把犾看成平行于犃犅犆的边犅犆的直线，那么我们可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例ADEBC图 如图 ，在犃犅犆中，犇犈犅犆，且犇犈分别交犃犅，犃犆于点犇，犈，犃犇犈与犃犅犆有什么关系？直觉告诉我们，犃犇犈与犃犅犆相似，我们通过相似的定义证明它，即证明犃犃，犃犇犈犅，犃犈犇犆，犃犇犃犅犃犈犃犆犇犈犅犆由前面的结论可得，犃犇犃犅犃犈犃犆而犇犈犅犆中的犇犈不在犃犅犆的边犅犆上，不能直接利用前面的结论但从要证的犃犈犃犆犇犈犅犆可以看出，除犇犈外，犃犈，犃犆，犅犆都在犃犅犆的边上，因此?只需将犇犈平移到犅犆边上去，使得犅犉犇犈，再证明犃犈犃犆犅犉犅犆就可以了（图 ）只要过点犈作犈犉犃犅，交犅犆于点犉，犅犉就是平移犇犈所得的线段先证明两个三角形的角分别相等如图 ，在犃犇犈与犃犅犆中，犃犃犇犈犅犆，犃犇犈犅，犃犈犇犆再证明两个三角形的边成比例ADEBCF图 过点犈作犈犉犃犅，交犅犆于点犉犇犈犅犆，犈犉犃犅，犃犇犃犅犃犈犃犆，犅犉犅犆犃犈犃犆四边形犇犅犉犈是平行四边形，犇犈犅犉犇犈犅犆犃犈犃犆犃犇犃犅犃犈犃犆犇犈犅犆这样，我们证明了犃犇犈和犃犅犆的角分别相等，边成比例，所以犃犇犈犃犅犆因此，我们有如下判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似ABEFCDG（第题）ABCDE（第题）如图，犃犅犆犇犈犉，犃犉与犅犈相交于点犌，且犃犌，犌犇，犇犉，求犅犆犆犈的值 如图，在犃犅犆中，犇犈犅犆，且犃犇，犇犅写出图中的相似三角形，并指出其相似比?类似于判定三角形全等的 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的犽倍度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论可以发现，这两个三角形相似我们可以利用上面的定理进行证明如图 ，在犃犅犆和犃 犅 犆 中，犃犅犃 犅 犅犆犅 犆 犃犆犃 犆，求证犃犅犆犃 犅 犆 ABCDECAB图 证明：在线段犃 犅（或它的延长线）上截取犃 犇犃犅，过点犇作犇犈犅 犆，交犃 犆 于点犈根据前面的定理，可得犃 犇犈犃 犅 犆 犃 犇犈是证明的中介，它把犃犅犆与犃 犅 犆 联系起来犃 犇犃 犅 犇犈犅 犆 犃 犈犃 犆 又犃犅犃 犅 犅犆犅 犆 犃犆犃 犆，犃 犇犃犅，犇犈犅 犆 犅犆犅 犆，犃 犈犃 犆 犃犆犃 犆 犇犈犅犆，犃 犈犃犆犃 犇犈犃犅犆犃犅犆犃 犅 犆 相似三角形判定定理的证明都是选学内容?由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理（图 ）：ABCCAB图 犃犅犃 犅 犅犆犅 犆 犃犆犃 犆 犃犅犆犃 犅 犆 三边成比例的两个三角形相似类似于判定三角形全等的 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？事实上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理（图 ）：ABCCAB图 犃犅犃 犅 犃犆犃 犆，犃犃 犃犅犆犃 犅 犆 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似怎样证明这个定理呢？它的证明思路与证明前面定理的思路类似先用同样的方法作一个与犃 犅 犆 相似的三角形，再用相似三角形对应边成比例和已知条件证明所作三角形与犃犅犆全等对于犃犅犆和犃 犅 犆，如果犃犅犃 犅 犃犆犃 犆，犅犅