义务教育教科书（五•四学制）·数学八年级上册.pdf

八年级 上册数学数学SHUXUEYIWU JIAOYU JIAOKESHU上册八年级数学义务教育教科书（五四学制）义务教育教科书（五四学制）八年级上册3定价：8.20元绿 色 印 刷 产 品 数学八年级上封面.indd 12014.3.20 3:07:53 PM八年级上册数学义 务 教 育 教 科 书（五 四学制）人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著北 京主 编：林 群副 主 编：田载今 薛 彬 李海东本册主编：俞求是主要编写人员：刘长明 李海东 李龙才 章建跃 王 冰责任编辑：李海东美术编辑：王俊宏插图：王俊宏 文鲁工作室（封面）义务教育教科书（五四学制）数学 八年级 上册人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著出网版（北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）址 http:/ 版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 联系调换。电话：-本册导引亲爱的同学，八年级的数学学习就要开始了。你将要学习的这本书是我们根据义务教育数学课程标准（年版）编写的教科书，这是你在六九年级要学习的八册数学教科书中的第五册。在我们周围的世界，你会看到许多美丽的轴对称图形，在“轴对称”一章中，我们将对轴对称图形作专门的研究，并学习画出各种轴对称图形，了解轴对称图形的知识在实践中的广泛应用。另外，在这一章，你会对等腰三角形这种重要的几何图形有进一步的认识。我们知道，可以用字母表示数，用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系。在“整式的乘法与因式分解”一章中，通过对整式的乘法运算的讨论，你将学到许多常用的重要运算性质和公式，知道更多的数量关系，加深对“从数到式”这个由具体到抽象的过程的认识。数有整数与分数之分，式也有整式与分式之别。在“分式”一章你将看到，分式与分数就像姐妹一样，有很多共同的特征，在分式的身上你能很容易地找到分数的影子。学习了分式，你会认识到它是我们研究数量关系并用来解决问题的重要工具。我们已经学过整式与分式，知道实际问题中的很多数量关系可以用它们表示。本册我们再来学习“二次根式”掌握二次根式的内容，我们就能够解决更多的数量关系问题。数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功，让我们一起随着这本书，继续畅游神奇、美妙的数学世界吧！目录第二十章轴对称 轴对称 画轴对称图形 信息技术应用用轴对称进行图案设计 等腰三角形 实验与探究三角形中边与角之间的不等关系 课题学习最短路径问题 数学活动 小结 复习题 第二十一章整式的乘法与因式分解 整式的乘法 乘法公式 阅读与思考杨辉三角 因式分解 阅读与思考狓（狆狇）狓狆 狇型式子的因式分解 数学活动 小结 复习题 第二十二章分式 分式 分式的运算 阅读与思考容器中的水能倒完吗 分式方程 数学活动 小结 复习题 第二十三章二次根式 二次根式 二次根式的乘除 二次根式的加减 阅读与思考海伦秦九韶公式 数学活动 小结 复习题 部分中英文词汇索引 书 书 书第二十章轴对称我们生活在一个充满对称的世界中：许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性对称给我们带来多少美的感受！轴对称是一种重要的对称本章我们将从生活中的对称出发，学习几何图形的轴对称，并利用轴对称来研究等腰三角形，进而通过推理论证得到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法，由此可以体会图形变化在几何研究中的作用让我们一起探索轴对称的奥秘吧！?轴对称 轴对称对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，人们都可以找到对称的例子（图 ）图 图 如图 ，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（），这条直线就是它的对称轴（）这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称你能举出一些轴对称图形的例子吗？?下面的每对图形有什么共同特点？ABC图 请你标出图 中点犃，犅，犆的对称点犃，犅，犆 把图 中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（）你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称BACBACPMN图 如图 ，犃犅犆和犃 犅 犆 关于直线犕犖对称，点犃，犅，犆 分别是点犃，犅，犆的对称点，线段犃犃，犅犅，犆犆 与直线犕犖有什么关系？书 书 书?图 中，点犃，犃 是对称点，设犃犃 交对称轴犕犖于点犘，将犃犅犆或犃 犅 犆 沿犕犖折叠后，点犃与犃 重合于是有犃犘犘犃，犕犘犃犕犘犃 对于其他的对应点，如点犅与犅，点犆与犆 也有类似的情况因此，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（）这样，我们就得到图形轴对称的性质：BBAAl图 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线例如图 中，犾垂直平分犃犃，犾垂直平分犅犅（）（）（）（）（）（第题）（）（）（）（第题）如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴 如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点?线段的垂直平分线的性质3PB1P2PAl图 如图 ，直线犾垂直平分线段犃犅，犘，犘，犘，是犾上的点，分别量一量点犘，犘，犘，到点犃与点犅的距离，你有什么发现？可以发现，点犘，犘，犘，到点犃的距离与它们到点犅的距离分别相等如果把线段犃犅沿直线犾对折，线段犘犃与犘犅、线段犘犃与犘犅、线段犘犃与犘犅都是重合的，因此它们也分别相等由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质如图 ，直线犾犃犅，垂足为犆，犃犆犆犅，点犘在犾上求证犘犃犘犅PBClA图 证明：犾犃犅，犘犆犃犘犆犅又犃犆犆犅，犘犆犘犆，犘犆犃犘犆犅（）犘犃犘犅反过来，如果犘犃犘犅，那么点犘是否在线段犃犅的垂直平分线上呢？通过证明可以得到：你能证明这个结论吗？与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上从上面两个结论可以看出：在线段犃犅的垂直平分线犾上的点与犃，犅的距离都相等；反过来，与犃，犅的距离相等的点都在犾上，所以直线犾可以看成与两点犃，犅的距离相等的所有点的集合?ABCDKFE图 例尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知：直线犃犅和犃犅外一点犆（图 ）求作：犃犅的垂线，使它经过点犆作法：（）任意取一点犓，使点犓和点犆在犃犅的两旁想一想，为什么直线犆犉就是所求作的垂线？（）以点犆为圆心，犆犓长为半径作弧，交犃犅于点犇和犈（）分别以点犇和点犈为圆心，大于犇犈的长为半径作弧，两弧相交于点犉（）作直线犆犉直线犆犉就是所求作的垂线BCAMBCDEA（第题）（第题）如图，犃犇犅犆，犅犇犇犆，点犆在犃犈的垂直平分线上犃犅，犃犆，犆犈的长度有什么关系？犃犅犅犇与犇犈有什么关系？如图，犃犅犃犆，犕犅犕犆直线犃犕是线段犅犆的垂直平分线吗？有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴?例如图 （），点犃和点犅关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？BCDABA（）（）图 分析：我们只要连接点犃和点犅，作出线段犃犅的垂直平分线，就可以得到点犃和点犅的对称轴为此作出到点犃，犅距离相等的两点，即线段犃犅的垂直平分线上的两点，从而作出线段犃犅的垂直平分线这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图我们也可以用这种方法确定线段的中点作法：如图 （）（）分别以点犃和点犅为圆心，大于犃犅的长为半径作弧（想一想为什么），两弧相交于犆，犇两点；（）作直线犆犇犆犇就是所求作的直线同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就AAl图 得到此图形的对称轴例如，对于图 中的五角星，我们可以找出它的一对对应点犃和犃，连接犃犃，作出线段犃犃 的垂直平分线犾，则犾就是这个五角星的一条对称轴类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗？?（第题）ACBD（第题）（第题）作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？如图，与图形成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴习题 下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它的对称轴吗？（第题）下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的一条对称轴（第题）?图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？123BABACCl（第题）（第题）如图，犃犅犆和犃 犅 犆 关于直线犾对称，犅 ，犃 犅 求犃 犅 犆 的度数和犃犅的长 如图，犃犅犆和犃 犅 犆 关于直线犾对称，这两个三角形全等吗？一般地，如果两个三角形全等，那么它们一定关于某条直线对称吗？lBABACCABDCE（第题）（第题）如图，在犃犅犆中，犇犈是犃犆的垂直平分线，犃犈，犃犅犇的周长为，求犃犅犆的周长 平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？abcdefBCDEAO（第题）（第题）?如上页图，犃犇与犅犆相交于点犗，犗犃犗犆，犃犆，犅犈犇犈求证：犗犈垂直平分犅犇 如图，某地由于居民增多，要在公路犾上增加一个公共汽车站，犃，犅是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？ABl（第 题）lBABACC（第 题）如图，犃犅犆与犃 犅 犆 关于直线犾对称，对应线段犃犅和犃 犅 所在的直线相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴犾有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴犾有什么关系？再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？如图，电信部门要在犛区修建一座电视信号发射塔按照设计要求，发射塔到两个城镇犃，犅的距离必须相等，到两条高速公路犿和狀的距离也必须相等发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置BSAnmO（第 题）PBCA（第 题）如图，在犃犅犆中，边犃犅，犅犆的垂直平分线相交于点犘（）求证犘犃犘犅犘犆；（）点犘是否也在边犃犆的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？?画轴对称图形PPl图 如图 ，在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论由一个平面图形可以得到与它关于一条直线犾对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线犾的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？例如图 （），已知犃犅犆和直线犾，画出与犃犅犆关于直线犾对称的图形分析：犃犅犆可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出