义务教育教科书·数学七年级下册.pdf

书 书 书?新时代数学编写组编著上海科学技术出版社书 书 书主编吴之季苏淳副 主 编杜先能徐子华本册主编徐子华策划编辑苏德敏责任编辑朱先锋李刚美术编辑陈蕾义务教育教科书数学七年级下册新时代数学编写组编著上海世纪出版（集团）有限公司上 海 科 学 技 术 出 版 社出版（上海市闵行区号景路弄座邮政编码）新华书店发行合肥义兴印务有限责任公司印刷开本 印张 字数 年月第版 年月第次印刷 定价：元如发现印装质量问题或对内容有意见建议，请与本社联系电话：，邮箱：审批编号：皖费核（年春季）第号举报电话：目录目录第章实数 平方根、立方根 实数阅读与思考无理数漫谈小结 评价复习题第章一元一次不等式与不等式组 不等式及其基本性质 一元一次不等式 一元一次不等式组 综合与实践 排队问题小结 评价复习题第章整式乘法与因式分解 幂的运算 整式乘法数学活动求最大乘积 完全平方公式与平方差公式 目录 因式分解阅读与欣赏巧用因式分解 综合与实践 纳米材料的奇异特性数学史话杨辉三角小结 评价复习题第章分式 分式及其基本性质阅读与思考类比推理 分式的运算 分式方程阅读与思考两个等式的研究小结 评价复习题第章相交线、平行线与平移 相交线 平行线的判定 平行线的性质 平移 目录信息技术应用用“几何画板”软件作图形的平移数学活动钥匙复制原理小结 评价复习题附录部分中英文词汇索引后记书 书 书 平方根、立方根实数平方根、立方根实数“?”?，?，?，?槡（?，?）?？?、?，?第章实数平方根、立方根 平方根问题?装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖块正好铺，如图，问这种地砖一块的边长是多少？设一块正方形地砖的边长为，根据题意，有这是已知一个数的平方，求这个数的问题一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根（），也叫做二次方根例如，由于，（），所以的平方根是和（可以合写为）的平方根是什么？的平方根是什么？有没有平方根？一个正数的平方根有两个，它们互为相反数我们用槡表示的正的平方根，读作“根号”，其中叫做被开方图 平方根、立方根数（）这个根也叫做的算术平方根（），另一个负的平方根记为槡 的平方根是，的算术平方根也是，即槡 负数没有平方根求一个数的平方根的运算叫做开平方（）图 由上可知，开平方是平方的逆运算根据这种关系，我们可以求出一些数的平方根例判断下列各数是否有平方根，为什么？；解因为正数和零都有平方根，负数没有平方根，所以，都有平方根；没有平方根例求下列各数的平方根和算术平方根：（）；（）；（）；（）（）解（）因为（），所以的平方根是，即槡 ；的算术平方根是（）因为（），所以的平方根是，即槡 ；的算术平方根是（）因为（），所以的平方根是，即槡 ；的算术平方根是 第章实数（）（）因为（），所以的平方根是，也就是（）的平方根是，即（）槡；（）的算术平方根是利用计算器我们可以求一个正数的算术平方根或它的近似值例利用计算器求下列各式的值（精确到）：（）槡；（）槡；（）槡；（）槡解（）在计算器上依次键入：槡，显示结果是 ，精确到，得槡 （）槡 （）槡（）在计算器上依次键入：槡（），即可得槡 本章引言中提到的速度是第二宇宙速度，槡，其中取 ，取，用计算器可求得 槡（）（）例如图，跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间与下落的高度之间应遵循下面的公式：，其中的单位是，的单位是，假设跳板的第二宇宙速度是指使人造卫星脱离地球引力作用范围飞向太阳，并围绕太阳运动所需的最小发射速度图 平方根、立方根高度是，运动员在跳板上跳起至高出跳板 处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间？解设运动员下落到水面约需，根据题意，得 ，因而，运动员下落到水面约需 填空：（）一个正数有两个平方根，而且这两个平方根 ；（）有且只有一个平方根，它的平方根就是 ；（）数没有平方根判断是非：（）是的算术平方根（）（）是的一个平方根（）（）（）的平方根是（）（）的算术平方根是（）下列各式是否有意义，说明理由：（）槡；（）槡；（）（）槡；（）槡求下列各数的平方根、算术平方根，并用式子表示：（）；（）用计算器求下列各式的值（精确到）：（）槡；（）槡；（）槡；（）槡 第章实数 立方根问题?要做一个容积是 的正方体木箱，如图，问它的棱长是多少？设正方体木箱的棱长为，根据题意，有 这是已知一个数的立方，求这个数的问题一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根（），也叫做三次方根，记作槡，读作“三次根号”，其中叫做被开方数，叫做根指数（）求一个数的立方根的运算叫做开立方（）在上面问题中，因为，所以是的立方根，即槡 开立方与立方互为逆运算根据这种关系，可求出一些数的立方根例求下列各数的立方根：（）；（）；（）解（）因为，所以的立方根是，即槡 （）因为（），所以 的立方根是，即槡 （）因为，所以的立方根是，图 平方根、立方根即槡 利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值例用计算器求下列各数的立方根（精确到）：（）；（）；（）；（）解（）在计算器上依次按键：槡，显示结果是 ，精确到，得槡 （）槡 请同学们自己算出第（）（）题的结果判断是非：（）是的立方根（）（）的立方根是（）（）是的立方根（）填表：槡求下列各数的立方根：（）；（）；（）；（）用计算器计算（精确到）：（）槡；（）槡；（）槡；（）槡从上面例题及练习题可以归纳得到：正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；的立方根是 一 般 地，槡 槡对吗？第章实数习题判断下列各式的正误，错的请改正：（）槡 （）（）（）槡（）（）（槡）（）（）槡 （）求下列各数的平方根、算术平方根：（）（）；（）用计算器求下列各数的平方根（精确到）：（）；（）；（）；（）用计算器求下列各式的值（精确到）：（）槡；（）槡；（）槡；（）槡一个正方形的面积扩大到原来的倍，问它的边长是原来的多少倍？估计：槡在哪两个相邻整数之间？求下列各数的立方根：（）（）；（）（）用计算器求下列各式的值（精确到）：（）槡；（）槡；（）槡；（）槡如图，如果一个正方体的体积变为原来的倍，那么它的棱长发生了怎样的变化？（第 题）（第 题）如图，已知一球形储气罐的容积为，球的体积公式为（是球半径），求这个球形储气罐的半径（精确到 ）实数实数 图是由条横线，条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是从这些纵横线相交得出的个点（称为格点）中，我们可以选择其中个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？图（）有面积分别是，的格点正方形吗？（）有面积是的格点正方形吗？把它画出来我们看到四个边长为的相邻正方形的对角线就围成一个面积为的格点正方形（图），这种正方形的边长应是多少？设这种正方形的边长为，则 因为 ，所以 槡 还有与这些面积不相同的格点正方形吗？图 第章实数槡是一个怎样的数呢？我们用下面的方法来研究它因为 ，所以 槡 这说明槡不可能是整数在和之间的一位小数有，那么槡在哪两个一位小数之间呢？因为 ，所以 槡 同样，在 与 之间的两位小数有，那么槡在哪两个两位小数之间呢？因为 ，所以 槡 类似地，可得 槡 像上面这样一直（无限）做下去，我们可以得到：槡 ，我们知道，有理数包括整数和分数，整数和分数可统一写成分数的形式（整数可以看作分母为的分数）也就是说，有理数总可写成（，是整数，且）的形式例如，实数 ；任何整数、分数都可以化为有限小数或无限循环小数反过来，任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，因此有理数是有限小数或无限循环小数槡是一个无限不循环小数，它不是有理数此外，槡 ，槡 ，这些数都是无限不循环小数无限不循环小数叫做无理数（）无理数可分为正无理数与负无理数，如槡，槡，是正无理数；槡，槡，是负无理数有理数和无理数统称为实数（）这样，我们认识的数的范围又一次扩大了，我们可以将实数按如下方式分类：实数有理数正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数循环小数如何化为分数呢？纯循环小数每个循环节有几位数字，分数的分母中就有几个；分子则 见本章“阅读与思考”第章实数是一个循环节的数如，混循环小数每个循环节有几位数字，分数的分母中就有几个，不循环的部分有几位数字，分母中的后面就有几个；分子则是第一个循环节及它前面的数减去不循环部分如 ，（第 题）把下列各数分类填入图中：，槡，槡，槡，槡，槡，槡把下列各数写成分数形式：，判断是非：（）无限小数都是无理数（）（）无限不循环小数是无理数（）（）无理数是带根号的数（）（）分数是无理数（）有理数、无理数都有正、负之分，实数也可以作如下分类：实数正实数零负实数 实数 每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，无理数（如槡）能用数轴上的点表示吗？如图，以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心、这个正方形对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作，那么，点表示什么数？图 一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数所以，把数从有理数扩充到实数以后，实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样例如，槡与槡互为相反数，有槡（槡）槡与槡互为倒数，有槡 槡 任一个实数的绝对值仍然用表示，如槡槡，槡槡实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立 点是画圆弧时与数轴的另一交点，它表示什么数？第章实数方运算而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用例近似计算：（）槡 （精确到）；（）槡 槡（精确到）解（）槡 （）槡 槡 两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数在实数范围内也有：正数大于零，负数小于零，正数大于负数两个正数，绝对值大的数较大两个负数，绝对值大的数反而小例在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“”连接它们，槡，槡，槡，解图 由数轴上各点的位置，得槡 槡 槡 你会比较槡 与的大小吗？在实数运算中，如果遇到无理数，并且需求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数，再进行计算 实数有位同学是这样比较的：用计算器求得槡 ，所以槡 你是怎样比较的，与上述方法是否相同？（口答）下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？，槡，槡，槡，槡，（两个之间依次增加一个）近似计算（精确到）：（）槡 槡；（）槡 槡 比较下列各组数中两个数的大小：（）槡，槡；（）槡，槡；（）槡，在槡，槡，槡，槡和槡中，介于和之间的无理数有 习题选择：（）下列实数中，无理数的个数有（），槡，槡，（）个（）个（）个（）个 第章实数（）与数轴上的点建立一一对应关系的是（）（）全体有理数（）全体整数（）全体自然数（）全体实数写出两个介于和之间的无理数求下列各数的相反数和绝对值：槡，槡，槡，槡 槡，槡 比较下列各组数的大小：（）和；（）和；（）槡和槡；（）槡和 近似计算（精确到）：（）槡 槡 槡；（）（槡 槡）无理数漫谈（一）公元前世纪左右，在古希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯（）的领导下，成立了一个秘密会社，也就是后人所称的毕达哥拉斯学派，这个学派的基本信条是“万物皆数”他们所说的数仅仅指整数，分数是被看成两个整数之比这个学派的成员希帕索斯（，公元前年左右）发现一个既不是整数，又不是整数之比的数，它就是边长为的正方形的对角线的长度这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的基本信条，引起数学史上第一次基础理论的危机希帕索斯成了毕达哥拉斯学派的“叛逆者”，被投入了大海图 毕达哥拉斯 实数在此后的 多年里，人们对无理数进行了孜孜不倦的探索，直到世纪才真正地对无理数有一个全面的认识“有理数”“无理数”两名词是由英文翻译过来的，有理数一词的英文是“”，其中“”有两层含义：一是“比率”，二是“合理”从数学含义来说应该取前者，所以有