2023年高考数学一轮复习第四章第1节平面向量的概念及其线性运算高中数学.docx

第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 题组一 向量的根本概念 1.给出以下六个命题： ①两个向量相等，那么它们的起点相同，终点相同； ②假设|a|＝|b|，那么a＝b； ③假设＝，那么四边形ABCD为平行四边形； ④在▱ABCD中，一定有＝； ⑤假设m＝n，n＝p，那么m＝p； ⑥假设a∥b，b∥c，那么a∥c， 其中不正确的个数是 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：两向量起点相同，终点相同，那么两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，假设b＝0，那么a与c不一定平行，故⑥不正确．正确的选项是③④⑤. 答案：B 2．以下四个命题，其中正确的个数有 (　　) ①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb ②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na ③假设ma＝mb(m∈R)，那么有a＝b ④假设ma＝na(m，n∈R，a≠0)，那么有m＝n A．1个　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：只有③不正确，∵a≠b，m＝0时，ma＝mb也成立，其余①②④均成立． 答案：C 题组二 向量的线性运算 3.假设A、B、C、D是平面内任意四点，给出以下式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有 (　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等； ②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立； ③式的等价式是－＝＋，＝成立． 答案：C 4．如以下图，D是△ABC的边AB的中点，那么向量＝ (　　) A．－＋ 　B．－－ C．－　　 　 D. ＋ 解析：＝＋＝－＋. 答案：A 5．(2023·安徽高考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．假设＝λ＋μ，其中，λ，μ∈R，那么λ＋μ＝________. 解析：如图，∵ABCD为▱，且E、F分别为CD、BC中点． ∴＝＋ ＝(－)＋(－) ＝(＋)－(＋) ＝(＋)－， ∴＝(＋)， ∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. 答案： 6．如图，假设四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、 N分别是DC，AB的中点，＝a，＝b，＝ c，试用a，b，c表示，，＋. 解：＝＋＋＝－a＋b＋c. ∵＝＋＋， ＝＋＋， ∴2＝＋＋＋＋＋＝＋＝－＋ ＝－b－(－a＋b＋c)＝a－2b－c， ∴＝a－b－c. ＋＝＋＋＋ ＝2＝a－2b－c. 题组三 向量的共线问题 7.(2023·湖南高考)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b〞的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由a＋b＝0知道a与b互为相反向量，从而a∥b，充分性成立. 由a∥b知a＝λb.λ≠－1时，a＋b≠0，∴必要性不成立． 答案：A 8．设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e1、b＝－e1＋e2，那么向量e1＋e2可以表示另一组基向量a、b的线性组合，那么e1＋e2＝________a＋________b. 解析：设e1＋e2＝xa＋yb， 即e1＋e2＝(x－y)e1＋(2x＋y)e2. ∴∴x＝，y＝－. 答案：　－ 题组四 向量线性运算的综合应用 9.平面上不共线的四点O、A、B、C.假设－4＋3＝0，那么＝________ A. B. C．2 D．3 解析：∵－4＋3＝0，∴(－)－3＋3＝0，即－＝3(－)，∴＝3，∴＝3. 答案：D 10．非零不共线向量、，且2＝x＋y，假设＝λ (λ∈R)，那么点Q(x，y)的轨迹方程是 (　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：＝λ，得－＝λ(－)， 即＝(1＋λ) －λ. 又2＝x＋y， ∴消去λ得x＋y＝2. 答案：A 11．(2023·湖南高考)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．假设＝x＋y，那么x＝________，y＝________. 解析：法一：以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图， 令AB＝2.那么＝(2,0)，＝(0,2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线为F， 由得DF＝BF＝， 那么＝(2＋，)． ∵＝x＋y，∴(2＋，)＝(2x,2y)． 即有解得 法二：过D作DF⊥AB交DB的延长线为F.由可求得BF＝DF＝AB， ＝＋ ＝(1＋)＋， 所以x＝1＋，y＝. 答案：1＋　 12．(文)如图，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC， 在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取 点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值． 解：∵＝－＝(－) ＝(＋)＝， ＝－＝＋λ， 又∵＝，∴＋λ＝， 即λ＝，∴λ＝. (理)如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD 的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于 M、N两点，假设＝x，＝y，求＋的值． 解：设＝a，＝b，那么＝xa，＝yb， ＝＝(＋)＝(a＋b)． ∴＝－＝(a＋b)－xa＝(－x)a＋b， ＝－＝yb－xa＝－xa＋yb. ∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ. ∴(－x)a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb. ∵a与b不共线，∴ 消去λ，得＋＝4，∴＋为定值．