普通高中教科书·数学（B版）必修 第三册.pdf

必 修数学第三册必 修普 通 高 中 教 科 书普通高中教科书数学B版第三册SHUXUEPUTONG GAOZHONG JIAOKESHU绿 色 印 刷 产 品 定价：元未命名-2 119-8-9 下午3:46普通高中教科书数学第三册必 修北京人民教育出版社 课程教材研究所中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组编著B版02高中物理必修第一册普通高中教科书 数学（B 版）必修 第三册人民教育出版社 课程教材研究所中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组 编著出网版（北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）址 http:/版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 联系调换。电话：-主 编：高存明副 主 编：王殿军 朱志勇 龙正武本册主编：闻 岩 黄 铎其他编者：王光明 王旭刚 李 梁 杨凤文 高雪松 曹春雷书 书 书前言?人们喜欢音乐，是因为它拥有优美和谐的旋律；人们喜欢美术，是因为它描绘了人和自然的美；人们喜欢数学，是因为它用空间形式和数量关系刻画了自然界和人类社会的内在规律，用简洁、优美的公式与定理揭示了世界的本质，用严谨的语言和逻辑梳理了人们的思维我国著名数学家华罗庚先生曾经指出：数学是一切科学的得力助手和工具；任何一门科学缺少了数学这一工具便不能确切地刻画出客观事物变化的状态，更不能从已知数据推出未知的数据来，因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的准确度事实上，任何一项现代科学技术的出现与发展，背后都一定有数学知识的支撑互联网的普及、共享经济的繁荣、网络支付的便利、物联网的兴起、人工智能的发展、大数据的应用，离开了数学知识都是不可能的！并且，现代生活中，类似“逻辑”“函数”“命题”“线性增长”“指数增长”“概率”“相关性”等数学术语，在政府文件、新闻报道中比比皆是正如普通高中数学课程标准（年版）（以下简称“课程标准”）所指出的：数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养高中生学习必需的数学知识，能为自身的可持续发展和终身学习奠定基础为了帮助广大高中生更好地学习相关数学知识，我们按照课程标准的要求编写了这套高中数学教材在编写过程中，我们着重做了以下几项工作?教材在选取内容的背景素材时，力图从学生熟悉的情境出发，着力体现时代特征，并为学生的成长提供支撑例如，以下内容在本套教材中都有所体现：利用数学知识破解魔术的“秘密”，用生活中的例子说明学习逻辑知识以及理性思考的重要性，从数学角度理解报刊上有关人工智能、新兴媒体等报道中出现的“线性增长”“爆炸式增长”等名词教材中还提到了“网络搜索”“人工智能”“自主招生”“环境保护”“大数据”“按揭贷款”“电子商务”“创业创新”等我们相信，这些能引起大家的共鸣此外，教材中多处出现了借助现代信息技术学习数学知识的内容，包括怎样借助数学软件解方程、不等式，怎样借助信息技术呈现统计结果、展示模拟过程，等等在体现时代特征的同时，我们也特别注重对中华优秀传统文化的展示例如，教材中精选了多道我国古代数学名题，启发大家从数学角度去理解“失败乃成功之母”“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”等语句的含义，呈现了与二十四节气、古典诗词等有关的调查数据，介绍了九章算术在代数上的成就以及我国古代的统计工作，等等?在教材编写过程中，编者认真学习和讨论了当前教育学、心理学等学科的先进理念，并通过改变教材呈现方式来加以体现，力图真正做到“以学习者为中心”前言例如，教材每一章都引用了一段名人名言，旨在为大家的数学学习提供参考和指引；通过“情境与问题”栏目，展示相关数学知识在现实生活等情境中的应用；利用“尝试与发现”栏目，鼓励大家大胆尝试，并在此基础上进行猜想、归纳与总结；通过填空的方式，培养大家学习数学的信心；选择与内容紧密联系的专题，设置拓展阅读，以拓宽大家的知识面，了解数学应用的广泛性；等等?数学学习必须循序渐进是一种共识基础不扎实是很多人学不好数学的重要原因，本套教材在编写时特别考虑了这一点事实上，教材一方面按照课程标准的要求，讲解和复习了高中数学必备的集合、等式、不等式等内容；另一方面，在呈现新知识时，教材注重从已有知识出发，在回顾的基础上通过实际例子逐步引入，尽力展现新旧知识的联系，以达到温故知新的效果例如，教材在复习了变量以及初中函数概念的基础上介绍了函数中的对应关系，在回顾了整数指数幂、二次根式等后引入了分数指数幂，等等正因为如此，即使是初中数学基础比较薄弱的同学，使用本套教材也能顺利地进行学习，并最终达到理想的效果这在本套教材试教过程中已得到印证?数学知识具有客观性，但数学知识的理解有多种方式与途径揭示内容本质，培养大家对数学内容的直观理解，是我们编写本套教材时特别注意的方面之一首先，教材内容的安排突出主线，强调“通性通法”例如，多次强调了配方法的使用，自始至终贯彻函数的研究应从特殊到一般、从性质到图象，等等其次，尽量自然地引入新内容或新方法例如，通过实例说明学习中位数、百分位数的必要性，通过对比说明用样本估计总体的合理性，等等最后，注重培养大家的数学学科核心素养课程标准提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，在教材中都得到了落实仅以数学抽象为例，教材处处强调了自然语言与符号语言之间的相互转化等总的来说，“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”并不容易为此，我们在编写教材时做了很多新的尝试，力图给大家提供一套有时代特色、易教易学的数学教材，以帮助大家学习本书是这套教材必修部分的第三册，呈现了三角函数、向量的数量积与三角恒等变换的内容通过本书的目录与每章的“本章导语”，可以大致了解本书的全貌，这里不再重复由于编写时间有限等原因，书中难免会有疏漏之处，敬请大家多提宝贵意见，以使教材日臻完善编者 年月目录?任意角的概念与弧度制 角的推广 弧度制及其与角度制的换算 任意角的三角函数 三角函数的定义 单位圆与三角函数线 同角三角函数的基本关系式 诱导公式 三角函数的性质与图象 正弦函数的性质与图象 正弦型函数的性质与图象 余弦函数的性质与图象 正切函数的性质与图象 已知三角函数值求角 数学建模活动：周期现象的描述 本章小结 目录?向量的数量积 向量数量积的概念 向量数量积的运算律 向量数量积的坐标运算 三角恒等变换 两角和与差的余弦 两角和与差的正弦、正切 倍角公式 三角恒等变换的应用 本章小结 櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷?更多三角函数及关系式 向量的数量积与三角形的面积 正弦型函数与信号处理 我们已经知道，利用前面学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，可以描述多种类型的运动或变化规律不过，对于周期性运动或变化来说，虽然我们很熟悉，而且也知道怎样进行简单描述，但是，系统刻画周期性运动或变化的知识，我们还没有完整地学习过AB图例如，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮，直径为 ，如图所示如果“天津之眼”每 转动一周，而且假设是匀速转动，摩天轮的半径犃犅在狋 内转过的角为狔度，则狔 狋 狋如果设摩天轮圆周上的点犅离地面的高度为犺，那么犺与狋之间的函数关系怎样表示呢？这需要借助本章我们即将学习的三角函数知识才能完成需要说明的是，我们根据摩天轮提出来的问题并不是“没事找事”，类似的问题在工程中有着重要的应用例如，人们经常要将直线运动与圆周运动进行相互转化图的发动机示意图中，活塞的直线运动就要转化为圆周运动才能方便利用EOCBFA图图类似的情况可以用图来示意，其中犃犅是直杆，端点犅固定在圆犗的圆周上，当端点犃沿线段犈犉运动时，犗犅绕点犗旋转此时犅犆的变化规律与端点犃的运动规律有关本章我们首先对角的概念进行推广，然后介绍任意角的正弦、余弦和正切，最后学习三角函数的性质，并初步了解怎样用三角函数描述周期性运动或变化 任意角的概念与弧度制?7.1.1+120bOBA图 在小学和初中，我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边同时我们还知道，角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形例如，图 所示的大小为 的角，用以前的观点来看，既可以认为是犗犃旋转到犗犅所形成的，也可以认为是犗犅旋转到犗犃所形成的我们以前所学过的角，大小一般不会超过一个周角（）的大小图 如图 所示，当摩天轮在持续不断地转动时，（）摩天轮所转过的角度大小是否会超过？（）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？显然，上述情境中，只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过 而且，甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反：如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转由于相反意义的量可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号来区分 第七章三角函数由此就可以将角的概念进行推广：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边射线的旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角；按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、零角也就是说，角的大小是任意的由此，我们把角的概念推广到了任意角作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量如图 （）（）表示的两个转角中，射线犗犃绕端点犗旋转到犗犅时，旋转的绝对量都超过了一个周角的大小，按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数，可知 ，OBAOBA?图 A(角的概念推广之后，利用转角给出 与 的几何意义利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义例如，对于 来说，如图 （）所示，射线犗犃逆时针方向旋转到犗犅所形成的角为 ，犗犅逆时针方向旋转到犗犆所形成的角为 ，则犗犃逆时针方向旋转到犗犆所形成的角为 60b90b150bOBAC60b90b?30bOBAC图 均指绕端点犗旋转，下同 任意角的概念与弧度制 类似地，如图 （）所示，射线犗犃逆时针方向旋转到犗犅所形成的角为 ，犗犅顺时针方向旋转到犗犆所形成的角为 ，则犗犃逆时针方向旋转到犗犆所形成的角为 AK为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在狓轴的正半轴上这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限例如，图 （）中的 ，角都是第一象限角；图 （）中的 角是第象限角，角是第三象限角，角是第象限角，角不是象限角，其终边在狔轴的负半轴上45b315b405bOxy126b60b210bOxy90b图 A(图 （）中三个角的终边相同那么，终边相同的角有没有一个共同的表示方法呢？一般地，角犽 （犽犣）与角的终边相同，这只需把犽 看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可任意两个终边相同的角，它们的差一定是 的整数倍因此，所有与终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为犛犽 ，犽犣即集合犛的每一个元素的终边都与的终边相同，犽时对应元素为 第七章三角函数90b90bOxy180bADCB图 如图 所示，已知角的终边为射线犗犃，分别作出角 ，的终边 由角的定义可知，把角的终边犗犃逆时针方向旋转 可得角 的终边犗犅，把角的终边犗犃顺时针方向旋转 可得角 的终边犗犆，把角的终边犗犃逆时针方向旋转可得角 的终边犗犇，如图 所示分别写出与下列各