普通高中教科书·数学选择性必修 第二册.pdf

湖南教育出版社普通高中教科书SHUXUE选择性必修 第二册数学普通高中教科书湖南教育出版社选择性必修 第二册S H U X U E数学定价：14.92 元?数学普通高中教科书湖南教育出版社选择性必修 第二册S H U X U E主编张景中黄步高执行主编李尚志副 主 编何书元朱华伟本册主要编者张景中李尚志何书元成礼智胡旺邹楚林书 书 书?年?月?日?中国?嫦娥三号?月球探测器成功登陆月球?这件举世瞩目的大事背后?数学扮演了不可缺少的重要角色?要让?嫦娥三号?飞近月球?并把探测车放到月球上?必须知道它们之间的相对位置?准确控制探测器的姿态?为此就需要描述和测算空间物体的位置和形态?平面几何不够?还要立体几何?用空间向量?可以方便地表达和处理立体几何的问题?它是平面向量的直接推广?除了坐标中的两个数变成了三个数?一切都是轻车熟路?可以得心应手?用综合法处理空间图形较难?用了向量?空间与平面差别不大?基本思路都是用向量模型描述几何性质?用向量的运算解决问题?再翻译为几何的语言?这时?你将体验到向量法更大的威力?月球在不停地绕地球运动?地球在不停地绕太阳运动?嫦娥三号?升空后先是绕地球飞行?后来还要绕月球飞行?为此就需要描述和测算运动和变化中的现象?常量的数学不够?还要变量的数学?变量的数学叫作微积分?微积分的创立是数学发展中的一座里程碑?大量的几何问题和物理问题?从计算面积体积到确定天体运动轨道?被微积分摧枯拉朽般地清算了?微积分的出现?开辟了数学的新天地?一系列内容丰富?思想深刻?应用广泛的数学分支在微积分的基础上诞生成长?导数是微积分的核心概念之一?我们将通过若干实例?理解导数的奥妙?在研究函数的单调性和极值等性质的过程中?感受微积分对人类文化发展的价值?月球和地球运行的轨道?卫星的轨道?飞机的航线?都是确定的?可以准确预知的?但世界上还有很多重要的事情难以完全准确地预知?例如雷雨的时间和强度?台风的形成和路线?疾病的发生和痊愈?等等?这类难以准确预知的事情叫随机现象?认识随机现象?需要概率与统计的数学理论和方法?在科学研究?工农业生产?新产品开发?产品质量的提高乃至政治?教育?社会科学等各个领域?使用统计方法和不使用统计方法取得的效果大不相?1书 书 书同?用统计方法从数据中提取信息?可以帮助人们制定更加合理的决策和行为规则?减少决策的盲目性和有偏性?这就是让数据说话?时至今日?概率与统计的基础知识已经是公民必备的知识?我们生活在不停变化和运动的四维时空之中?空间向量和立体几何是我们认识三维空间的基本工具?微积分则给了我们认识运动和变化的方法?为了认识大千世界的过去?现在和未来?需要概率统计来处理大量数据?天下难事?必作于易?天下大事?必作于细?让我们静下心来?从最基本的事例和概念起步?踏上新的征程?2书 书 书?导数概念及其意义?导数的运算?数学实验?曲线的切线与函数的导数?导数在研究函数中的应用?数学文化?微积分的故事?小结与复习?复习题一?数学建模?易拉罐的优化设计?空间直角坐标系?空间向量及其运算?空间向量基本定理及坐标表示?空间向量在立体几何中的应用?小结与复习?复习题二?1书 书 书?条件概率与事件的独立性?离散型随机变量及其分布列?正态分布?数学文化?高斯与正态分布?数学实验?利用计算机探究正态分布密度曲线?小结与复习?复习题三?成对数据的统计相关性?一元线性回归模型?数学实验?用计算机探究线性回归模型?独立性检验?数学文化?高尔顿与回归?小结与复习?复习题四?数学建模?体重与脉搏的数据拟合模型?数学词汇中英文对照表?后?记?2如何求曲线上任一点处的切线?如何求运动物体在每一时刻的瞬时速度?这些问题好像是无穷无尽?永远做不完的?但是?用微积分的方法?成千上万的问题被一举突破?一个新的数学领域出现了?所以恩格斯认为?微积分的发现是人类精神的伟大胜利?导数是微积分的核心概念之一?本章我们将通过若干内容丰富?思想深刻的实例引入导数?理解导数的意义?学习导数的基本运算法则?利用导数研究函数的单调性?极值等性质?并解决一些实际问题?体会导数的思想及其丰富的内涵?导数及其应用选择性必修第二册书 书 书?自由落体的速度时时刻刻在变化?该如何计算呢?我们早就会作圆的切线?二次函数曲线的切线怎么作呢?正如莱布尼茨所说?过去很多饱学之士百思不解的问题?有了新的数学思路?普通人都能按部就班地手到擒来了?函数的平均变化率每条直线上都可以建立一根数轴?则直线上每一点?的位置均可用一个实数?表示?若在这条直线上运动的动点?在任何时刻?的位置均可用?表示?则从时刻?到时刻?的位移为?因为所花时间为?所以在时间段?内动点?的平均速度为?设数轴上动点?在任何时刻?的位置均可用函数?表示?求该点?在时间段?内的平均速度?解?由于?所以点?在时间段?内的平均速度为?图?由例?可知?该动点在任何一个时间段?内的平均速度都等于?是常数?由此可见?该动点做匀速运动?且在任何时刻的速度都是?画出例?中函数?的图象?如图?则该图象是一条直线的一部分?而平均速度?就是图象上两点?之间的线段?的斜率?也是函数?的图象?直线?的斜率?2第 1 章导数及其应用书 书 书如果?不是一次函数?则其图象不是直线而是曲线?但图象上任意两点?之间的线段?的斜率?仍然等于动点在时间段?内的平均速度?如图?t图?某物体做自由落体运动?其运动方程为?其中?为下落的时间?单位?为重力加速度?大小为?求它在时间段?内的平均速度?解?物体在时间段?内的平均速度为?一般地?函数?的自变量有可能不是时刻?因变量有可能不表示位置?因而?就不一定是平均速度?但仍然反映了因变量?随自变量?变化的快慢和变化方向?增减?因此我们把?称为函数?在区间?内的平均变化率?如图?在正弦曲线?上取两点?求直线?的斜率?图?解?直线?的斜率?3选择性必修第二册书 书 书在各种实际问题中?常常用函数的平均变化率对事物的发展过程进行评价?充满气的气球近似为球体?在给气球充气时?我们都知道?开始充气时气球膨胀较快?随后膨胀速度逐渐缓慢下来?气球膨胀实际上就是气球半径增大?表面积增大?体积增大?试描述气球的半径相对于体积的平均变化率?分析?由生活事实可知?随着气球的体积增大?半径的增长越来越缓慢?我们可以用平均变化率来描述这一过程?解?设气球的半径为?体积为?则?所以?例如?当?时?半径?的平均变化率?当?时?半径?的平均变化率?由以上两个结果可以看出?气球体积由?增至?再由?增至?二者都增大了?但?的平均变化率却由?变成?变小了?也就是说?随着气球体积的逐渐增大?它的半径的平均变化率逐渐变小?已知函数?分别计算它们在区间?上的平均变化率?解?函数?在?上的平均变化率为?函数?在?上的平均变化率为?函数?在?上的平均变化率为?函数?在?上的平均变化率为?4第 1 章导数及其应用书 书 书?小球在光滑斜面上向下滚动?从开始滚动算起时间?内所经过的距离为?求小球在时间段?内的平均速度?在函数?的图象上取两点?求直线?的斜率?求函数?在区间?和?上的平均变化率?已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化?温度不变?下表记录了某温度下该化学物质在溶液中反应时不同时刻?的浓度?试根据上表求下列时间段内的平均反应速率?瞬时变化率与导数?伽利略通过实验和推理发现了自由落体的运动定律?物体下落的距离?和所用的时间?的平方成正比?如果距离单位用?时间单位用?实验测出它们之间近似地有以下函数关系?直接让物体从空中下落?它落得很快?不便观察测量?伽利略是让小球从光滑的斜面上由静止滚下来?以便于观察测量?伽利略发现?小球在斜面上滚下的距离?和所用的时间?之间?有函数关系?这叫作小球的运动方程?这里?是与斜面的坡度有关的常数?伽利略看到?重力作用下在斜面上向下滚的小球?随着时间的推移越滚越快?但是?他只知道如何计算一个时间段内的平均速度?却不知道如何计算小球在某一个时刻的速度?即瞬时速度?百年后?牛顿给出了瞬时速度的概念和计算方法?回答了伽利略的问题?下面问题的分析与解答展示了他的创意?5选择性必修第二册书 书 书设小球在某个斜面上向下滚动的运动方程是?要计算小球在?时运动的瞬时速度?不妨先看看它在?到?之间的平均速度?即在区间?上的平均速度?同样?运用计算器可以分别求出更短时间区间内的平均速度?见下表?时间区间间隔?平均速度?时间区间间隔?平均速度?从计算结果可以发现?当时间间隔越来越小时?无论?从小于?的一边?还是从大于?的一边趋近于?对应的平均速度都趋近于?但是?时间间隔的缩小是一个无穷无尽的过程?有限的几次计算?能得出?这个确定的结果吗?书 书 书?时?在?之后?时?在?之前?用字母代替数?可以将这无穷多次运算一次完成?设?是一个绝对值很小的非零数?在?或?这段时间内?小球运动的平均速度是?当?越来越趋近于?时?这个平均速度确实越来越趋近于?用数学语言来说?就是?时间段的长度趋近于?时?这段时间内的平均速度以?为极限?这个极限数值?就是小球在?时的瞬时速度?6第 1 章导数及其应用书 书 书这个极限记为?若物体的运动方程为?则物体在任意时刻?的瞬时速度?就是平均速度?在?趋近于?时的极限?应注意的是?这里用?趋近于?来表述?是因为我们研究的是平均速度趋近于某一时刻的变化过程?在这个过程中?时间间隔?虽然越来越短?但始终不能为?运动员从?高台跳水时?从腾空到进入水面的过程中?不同时刻的速度是不同的?设起跳?后运动员相对水面的高度?单位?为?计算在?时运动员的瞬时速度?解?运动员在?或?这个时间区间内的平均速度为?书 书 书如何表示例?中运动员在某一时刻?的瞬时速度?在平均速度表达式?中?当?趋近于?时?趋近于?因此?在?时运动员的瞬时速度是?下表是运用计算器求出的例?的一些平均速度?时间区间间隔?平均速度?时间区间间隔?平均速度?从上表可看出?当时间间隔趋近于?时?运动员的平均速度趋近于?这与前面推导的结论是一致的?7选择性必修第二册书 书 书?已知自由落体运动的方程为?为常数?求?落体在?到?这段时间内的平均速度?落体在?这一时刻的瞬时速度?已知某物体走过的路程?与时间?之间的函数关系式为?通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度?从平均速度出发?通过极限过程得到了瞬时速度?这样思考和解决问题的方法?在数学史以及科学史上开启了新的篇章?即微积分的篇章?回顾一下我们上节课思考和解决问题的过程?一个函数?既可以描述运动过程?也可以描述其他过程或现象?函数值之差?与对应的自变量之差?的比?既可以是运动物体在某个时段内的平均速度?也可以是其他过程中某个量变化的平均值?一般说来?它是函数?在区间?或?上的平均变化率?函数?作为运动方程时?若平均速度?在区间长?趋近于?时趋近于一个极限值?则这个数值就叫作该运动物体在?处的瞬时速度?一般地?若函数?的平均变化率?在?趋近于?时?有确定的极限值?则称这个值为该函数在?处的瞬时变化率?函数的瞬时变化率?数学上叫作函数的导数或微商?定义?设函数?在包含?的某个区间上有定义?在?趋近于?时?如果比值?趋近于一个确定的极限值?则称此极限值为函数?在?处的导数或微商?记作?这时我们就说?在点?处的导数存在?或者说?在点?处可导或可微?上述定义可以简单地表述为?读作?趋近于?时?趋近于?8第 1 章导数及其应用书 书 书若?在定义区间中任一点的导数都存在?则?或?也是?的函数?我们把?或?叫作?的导函数或一阶导数?既然导函数?也是函数?若?在定义区间中任一点处都可导?则它的导数叫作?的二阶导数?记作?类似地?可以定义三阶导数?等等?图?投石入水?水面会产生圆形波纹区?且圆的面积随着波纹的传播半径?的增大而增大?如图?计算?半径?从?增大到?时?圆面积?相对于?的平均变化率?半径?时?圆面积?相对于?的瞬时变化率?解?圆面积相对于半径?的平均变化率为?在表达式?中?让?趋近于?得到圆面积?相对于?的瞬时变化率为?恰为此时圆的周长?在初速度为零的匀加速直线运动中?路程?和时间?的关系为?求?关于