普通高中教科书·数学选择性必修 第一册.pdf

上 海 教 育 出 版 社选择性必修第一册普通高中教科书S H U X U ES H U X U E上 海 教 育 出 版 社选择性必修第一册普通高中教科书 声明 按照中华人民共和国著作权法第二十五条有关规定，我们已尽量寻找著作权人支付报酬.著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社联系.版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241如发现印、装质量问题，影响阅读，请与上海教育出版社有限公司联系.电话021-64373213全国物价举报电话：12315主 编 李大潜 王建磐副 主 编 应坚刚 鲍建生本册编写人员 曾国光 虞 涛 李 英 王 华 施洪亮 叶莎莎 许亚善责任编辑 周明旭装帧设计 陆 弦 王 捷 周 吉本册教材图片提供 图虫网（P1一幅图，P31一幅图，P39四幅图，P123一幅图）；壹图网（封面一幅图，P45三幅图，P49一幅图，P59一幅图，P61两幅图，P75一幅图，P151一幅图，封底一幅图）插图绘制 肖征波 周 吉 朱泽宇普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会组织编写出版上海教育出版社有限公司（上海市闵行区号景路159弄C座）发行上海新华书店印刷上海中华印刷有限公司版次2021年12月第1版印次2021年12月第1次开本8901240 1/16印张11字数250 千字书号978-7-5720-0186-4/G0143定价13.60 元书 书 书前言 前言数学应该是绝大多数人一生中学得最多的一门功课认真学习数学，努力学好数学，不仅可以牢固地打好数学的知识基础，掌握一种科学的语言，为走进科学的大门提供有力的工具和坚实的后盾；更重要地，通过认真而严格的数学学习和训练，可以领会到数学的思想方法和精神实质，造就一些特有而重要的素质和能力，形成自己的数学素养，让人变得更加聪明，更有智慧，更有竞争力，终身受用不尽从这个意义上，可以毫不夸张地说，数学教育看起来似乎只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，其意义是十分深远的中学阶段的数学学习，应该为学生今后的成长和发展奠定坚实的基础，编写教材也要力求遵循这一根本宗旨那种以种种名义，将一些“高级”或“时髦”的东西，不顾实际情况地下放进中学的教材，和数学的基础训练“抢跑道”的做法，是不可取的同时，数学学科是一个有机联系的整体，一定要避免知识的碎片化，从根本上改变单纯根据“知识点”来安排教学的做法人为地将知识链条打断，或将一些关键内容以“减负”的名义删去，只会造成学生思维的混乱，影响学生对有关知识的认识与理解，实际上反而会加重学生学习的负担，是不值得效法的在任何情况下，都要基于课程标准，贯彻“少而精”“简而明”的原则，精心选择与组织教材内容，抓住本质，返璞归真，尽可能给学生以明快、清新的感受，使学生能更深入地领会数学的真谛，让数学成为广大学生喜闻乐见的一门课程怎么才算“学好了数学”呢？对这个问题是需要一个正确的认识的作为一门重思考与理解的学科，数学学习要强调理解深入、运作熟练和表达明晰这三个方面这儿所说的“运作”泛指运算、推理及解题等环节三者的关键是深入的理解，只有不仅知其然、而且知其所以然，才能掌握数学的精髓，更好地实现另外两方面的要求如果只满足于会解题，甚至以“刷题”多与快为荣，但不求甚解，就难以和数学真正结缘，是不值得鼓励与提倡的表达能力的培养也要引起足够的重视要使表述简明清晰并不是一件容易的事，别前言 人三言两语就说清楚了的，自己却颠三倒四、不得要领，能够说真正弄懂了数学吗？！为了帮助学生学好数学，也为了帮助教师教好数学，本教材秉承上述理念，在编写上做了认真的探索与实践，希望能成为广大师生的良师益友，更好地发挥引路和示范的作用书中各章的章首语，虽只有不到一页的篇幅，但却是该章入门的一个宏观向导，务请认真注意各章末的内容提要，简明扼要地列出了该章的核心内容，希望对复习能起到较好的帮助各章的主体内容，包括正文、练习及复习题以及边注，更是字斟句酌、精心编写的希望广大同学养成认真阅读及钻研教材的习惯，这样就一定会发现，学习中所碰到的种种问题，原则上都可以从教材中找到答案，大家的学习方法和自学能力也一定会得到极大的提升，从而牢牢掌握住学习数学的主动权本套教材涵盖普通高中数学课程标准（年版 年修订）所规定的必修课程和选择性必修课程的内容，共分七册，包括必修四册、选择性必修三册，其中必修第四册和选择性必修第三册是数学建模的内容必修前三册和选择性必修前两册共同构建了高中数学的知识体系和逻辑结构；数学建模内容与数学知识的逻辑结构没有直接的关系，不依附于特定知识性内容的教学，而在于强调数学知识在解决实际问题中的应用，强调它的活动性、探索性和综合性因此，两册数学建模教材不是前三册或前两册教材的后继，而且都包含比教学课时数要求更多的内容，供各个年段灵活地、有选择地使用，以实现数学建模的教学目标 年月书 书 书目录 第章平面直角坐标系中的直线 直线的倾斜角与斜率 直线的方程 两条直线的位置关系 点到直线的距离 内容提要 复习题 第章圆锥曲线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 曲线与方程 内容提要 复习题 第章空间向量及其应用 空间向量及其运算 目录 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示 空间向量在立体几何中的应用 内容提要 复习题 第章数列 等差数列 等比数列 数列 数学归纳法 用迭代序列求 的近似值 内容提要 复习题 书 书 书第章平面直角坐标系中的直线在本册教材的这一章和下一章中，我们将学习解析几何的初步知识与方法解析几何的研究思路是通过引进坐标系，建立“点”与“数”之间的一一对应，从而用代数的观点与方法解决几何问题几何中，与直线相关的问题主要包括：点与直线、直线与直线之间的位置关系，以及由直线组成的平面图形的性质与度量虽然其中的许多问题我们并不陌生，用以往学过的平面几何的方法也能解决，但本章所采取的是一种新的思路和方法，它具有一般性和普适性通过学习，可以帮助我们理解解析几何的一些基本特点平面直角坐标系中的直线 直线的倾斜角与斜率设平面直角坐标系中有一条直线犾，我们如何确定该直线在坐标系中的位置并把它描述出来呢？在平面直角坐标系中，已经有了两条互相垂直的直线，即两条坐标轴，我们只要能确定直线犾与其中一条坐标轴的相对位置，就能描述出该直线在坐标系中的位置不妨先设直线犾与狓轴相交于点犃，如图所示将狓轴绕点犃沿逆时针方向旋转到与犾重合时所转过的最小正角叫做直线犾的倾斜角（）显然，当直线犾与狓轴平行或重合时，规定倾斜角为，这样，直线犾的倾斜角的取值范围就可扩大为，即，）特别地，当倾斜角时，直线犾与狓轴垂直如果知道了直线犾的倾斜角以及它经过的一个确定的点，那么就准确地给出了直线犾在坐标系中的位置由于倾斜角难以直接用坐标表示出来，而倾斜角的三角函数与坐标的关系更为密切为此，我们引进一个新的概念：当直线犾的倾斜角时，定义 为直线犾的斜率（），常用字母犽表示，即犽 ；当，即犾与狓轴垂直时，我们说直线犾的斜率不存在我们来看如何用坐标表示一条直线的斜率设直线犾经过不同的两点犃（狓，狔）、犅（狓，狔）当狓狓时，直线犾与狓轴垂直（图），此时，直线犾的倾斜角，斜率不存在图图图图 直线的倾斜角与斜率 当狓狓时，不妨设狓狓，有以下种情况：（）若狔狔，则犾的倾斜角为锐角如图，作直角三角形犃犅犆，可得犽狔狔狓狓（）若狔狔，则直线犾与狓轴平行或重合，所以犾的倾斜角，斜率也等于，这就是（）结果中令狔狔所得的值（）若狔狔，则直线犾的倾斜角为钝角如图，同样作直角三角形犃犅犆，则犃犅犆在直角三角形犃犅犆中，因为 犃犅犆犆犃犆犅狔狔狓狓，所以 （）狔狔狓狓，由此得 狔狔狓狓，即犽狔狔狓狓，这与（）中的结果相同综上所述，可以得到：在平面直角坐标系中，经过不同的两点犃（狓，狔）、犅（狓，狔）（狓狓）的直线犾的斜率为犽狔狔狓狓例已知直线犾经过点犃（，）、犅（，），求它的斜率与倾斜角解设直线犾的斜率为犽，倾斜角为，则犽 （）（），从而 例求一次函数狔犽 狓犫（犽）所表示直线的斜率解设一次函数狔犽 狓犫（犽）的图像是直线犾在函数表达式中，狓的值分别取狓及狓，得狔犫及狔犽犫所以，犃（，犫）与犅（，犽犫）是直线犾上的两点依据斜率公式，得直线犾的斜率为狔狔狓狓（犽犫）犫犽例已知三点犃（，）、犅（，）、犆（狓，狔）共线，求点犆的坐标狓与狔所满足的关系式解因为犃、犅两点的横坐标不同，所以直线犃犅的斜率是犽（）一次函数狔犽 狓犫（犽）的一次项系数犽就是其对应直线的斜率平面直角坐标系中的直线 又由题设知，点犆在直线犃犅上，即犃犅与犃犆是同一条直线当点犆与点犃不重合时，用犃、犆两点的坐标表示斜率得犽狔狓（）狔狓，此时狓与狔要满足的关系式是狔狓，变形得狔（狓）当点犆与点犃重合时，点犆的坐标也满足上式所以，狓与狔满足的关系式是狔（狓）练习 求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角：（）犘（，）、犙（，）；（）犘（，槡）、犙（，槡）在平面直角坐标系中有一个边长为的正方形犗犃犅犆，其中犗为坐标原点，点犃、犆分别在狓轴和狔轴上，点犅在第一象限求直线犗犅和犃犆的斜率证明：在平面直角坐标系中，如果两条直线平行，那么它们的倾斜角相等习题 犃组（第题）如图，在平面直角坐标系中，直线犾与犾垂直，垂足为犃，犾、犾与狓轴的交点分别为犅、犆，犃犅犆试分别求直线犾、犾的倾斜角和斜率求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角：（）犘（，）、犙（，）；（）犕（，）、犖（犪，），其中实数犪是常数根据下列直线犾的倾斜角的取值范围，计算斜率犽的取值范围：直线的倾斜角与斜率 （），；（第题）（）（，）已知三个不同的点犃（，犪）、犅（犪，犪）、犆（，犪）在同一条直线上，求实数犪的值及该直线的斜率如图，已知点犃（，）、犅（，）、犆（，），过点犅的直线犾与线段犃犆相交求直线犾的斜率犽的取值范围犅组已知常数，），试用表示经过犘（，）、犙（，）两点的直线犾的倾斜角设直线犾、犾的倾斜角分别为、，求证：犾犾的充要条件是已知直线犾在平面直角坐标系中的斜率是犽，向量珗犪在直线犾上求向量珗犪在狓轴上的投影向量平面直角坐标系中的直线 直线的方程几种特殊形式的直线方程本章 节的例中我们证明了与点犃（，）、犅（，）共线的点犆（狓，狔）的坐标一定满足关系式狔（狓）反过来，也容易验证：如果点犆（狓，狔）的坐标满足关系式狔（狓），那么点犆（狓，狔）一定与点犃（，）、犅（，）共线这就是说，经过点犃（，）、犅（，）的直线犃犅上的点正好是以方程狔（狓）的解作为坐标的点在这种情况下，我们说“直线犃犅的方程是狔（狓）”，或者说“方程狔（狓）表示了直线犃犅”可见，直线犃犅的方程是一个关于狓与狔的二元一次方程本节中我们将看到，任何直线的方程都是关于狓与狔的二元一次方程，反过来，任何关于狓与狔的二元一次方程都表示一条直线而且，这个方程实质上是唯一的，即同一直线的不同方程通过简单变形可以互化然而，不同形式的直线方程关注直线的不同几何要素，在解决具体问题时也会有各自不同的作用（）直线的点斜式方程现在我们讨论，在平面直角坐标系中，当直线的斜率存在时，如何通过直线上的一个点犕和直线的斜率犽来求直线的方程如图，在平面直角坐标系中，设犘（狓，狔）是过点犕（狓，狔）、斜率为犽的直线犾上的任意一点当点犘（狓，狔）与点犕不重合时，由犽狔狔狓狓，可得狔狔犽（狓狓）图 直线的方程 当点犘（狓，狔）与点犕重合时，点犘的坐标就是（狓，狔），同样满足方程这样，直线犾上任意一点的坐标（狓，狔）都满足方程反之，可以证明以方程的解为坐标的点一定在这条直线犾上：若点犙的坐标（狓，狔）满足方程，即狔 狔犽（狓 狓）成立当狓 狓时，直线犕犙经过点犕且斜率犽犕犙狔 狔狓 狓犽，于是直线犕犙与犾重合，从而点犙在犾上；当狓 狓时，有狔 狔，点犙与点犕重合，点犙也在犾上这就证明了方程是经过定点犕（狓，狔）且斜率为犽的直线的方程这种形式的直线方程叫做直线的点斜式方程在点斜式方程中，如果把定点选成直线与狔轴的交点（，犫），那么方程改写为狔犽 狓犫其中，数值犫称为该直线在狔轴上的截距（图）当然，直