普通高中教科书·数学必修 第二册.pdf

普通高中教科书S H U X U E上 海 教 育 出 版 社必修第二册版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241如发现印、装质量问题，影响阅读，请与上海教育出版社有限公司联系.电话021-64373213全国物价举报电话：12315 声明 按照中华人民共和国著作权法第二十五条有关规定，我们已尽量寻找著作权人支付报酬.著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社联系.主 编 李大潜 王建磐副 主 编 应坚刚 鲍建生本册编写人员 邹建兵 周子翔 朱胜林 肖登鹏 陈兴义 刘 攀 邹佳晨 况亦军责任编辑 潘迅馨 缴 麟 蒋徐巍装帧设计 陆 弦 王 捷 周 吉本册教材图片提供 图虫网（封面一幅图，封底一幅图，P1一幅图，P47一幅图，P51一幅图，P94一幅图，P133一幅图）；全景网（P57一幅图，P87一幅图）；上海教育出版社有限公司（P73一幅图）插图绘制 肖征波 周 吉 朱泽宇普通高中教科书 数学 必修 第二册上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会组织编写出版上海教育出版社有限公司（上海市闵行区号景路159弄C座）发行上海新华书店印刷上海中华印刷有限公司版次2020年12月第1版印次2021年12月第2次开本8901240 1/16印张11字数180 千字书号978-7-5720-0184-0/G0141定价13.60 元书 书 书前言 前言数学应该是绝大多数人一生中学得最多的一门功课认真学习数学，努力学好数学，不仅可以牢固地打好数学的知识基础，掌握一种科学的语言，为走进科学的大门提供有力的工具和坚实的后盾；更重要地，通过认真而严格的数学学习和训练，可以领会到数学的思想方法和精神实质，造就一些特有而重要的素质和能力，形成自己的数学素养，让人变得更加聪明，更有智慧，更有竞争力，终身受用不尽从这个意义上，可以毫不夸张地说，数学教育看起来似乎只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，其意义是十分深远的中学阶段的数学学习，应该为学生今后的成长和发展奠定坚实的基础，编写教材也要力求遵循这一根本宗旨那种以种种名义，将一些“高级”或“时髦”的东西，不顾实际情况地下放进中学的教材，和数学的基础训练“抢跑道”的做法，是不可取的同时，数学学科是一个有机联系的整体，一定要避免知识的碎片化，从根本上改变单纯根据“知识点”来安排教学的做法人为地将知识链条打断，或将一些关键内容以“减负”的名义删去，只会造成学生思维的混乱，影响学生对有关知识的认识与理解，实际上反而会加重学生学习的负担，是不值得效法的在任何情况下，都要基于课程标准，贯彻“少而精”“简而明”的原则，精心选择与组织教材内容，抓住本质，返璞归真，尽可能给学生以明快、清新的感受，使学生能更深入地领会数学的真谛，让数学成为广大学生喜闻乐见的一门课程怎么才算“学好了数学”呢？对这个问题是需要一个正确的认识的作为一门重思考与理解的学科，数学学习要强调理解深入、运作熟练和表达明晰这三个方面这儿所说的“运作”泛指运算、推理及解题等环节三者的关键是深入的理解，只有不仅知其然、而且知其所以然，才能掌握数学的精髓，更好地实现另外两方面的要求如果只满足于会解题，甚至以“刷题”多与快为荣，但不求甚解，就难以和数学真正结缘，是不值得鼓励与提倡的表达能力的培养也要引起足够的重视要使表述简明清晰并不是一件容易的事，别前言 人三言两语就说清楚了的，自己却颠三倒四、不得要领，能够说真正弄懂了数学吗？！为了帮助学生学好数学，也为了帮助教师教好数学，本教材秉承上述理念，在编写上做了认真的探索与实践，希望能成为广大师生的良师益友，更好地发挥引路和示范的作用书中各章的章首语，虽只有不到一页的篇幅，但却是该章入门的一个宏观向导，务请认真注意各章末的内容提要，简明扼要地列出了该章的核心内容，希望对复习能起到较好的帮助各章的主体内容，包括正文、练习及复习题以及边注，更是字斟句酌、精心编写的希望广大同学养成认真阅读及钻研教材的习惯，这样就一定会发现，学习中所碰到的种种问题，原则上都可以从教材中找到答案，大家的学习方法和自学能力也一定会得到极大的提升，从而牢牢掌握住学习数学的主动权本套教材涵盖普通高中数学课程标准（年版 年修订）所规定的必修课程和选择性必修课程的内容，共分七册，包括必修四册、选择性必修三册，其中必修第四册和选择性必修第三册是数学建模的内容必修前三册和选择性必修前两册共同构建了高中数学的知识体系和逻辑结构；数学建模内容与数学知识的逻辑结构没有直接的关系，不依附于特定知识性内容的教学，而在于强调数学知识在解决实际问题中的应用，强调它的活动性、探索性和综合性因此，两册数学建模教材不是前三册或前两册教材的后继，而且都包含比教学课时数要求更多的内容，供各个年段灵活地、有选择地使用，以实现数学建模的教学目标 年月书 书 书目录 第章三角 正弦、余弦、正切、余切 常用三角公式 解三角形 内容提要 复习题 第章三角函数 正弦函数的图像与性质 余弦函数的图像与性质 函数狔犃狊 犻 狀（狓）的图像 正切函数的图像与性质 内容提要 复习题 第章平面向量 向量的概念和线性运算 向量的数量积 向量的坐标表示 向量的应用 内容提要 复习题 目录 第章复数 复数及其四则运算 复数的几何意义 实系数一元二次方程 复数的三角形式 内容提要 复习题 书 书 书第章三角在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论在初中，当一个角为锐角时，已经对有关的概念及结论做了初步的讨论，并介绍了求解直角三角形的方法及其应用本章将拓展角的概念，并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义，学习使用三角恒等变换化简三角表达式，进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系，从而有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础三角 正弦、余弦、正切、余切锐角的正弦、余弦、正切、余切如图，将直角三角形犃犅犆中（其中犆 ）犃、犅、犆的对边边长分别记作犪、犫、犮在初中我们已经知道，锐角犃的正弦、余弦、正切、余切的定义分别为 犃犪犮，犃犫犮，犃犪犫，犃犫犪由简单的比值关系以及勾股定理，还有如下结论：犃 犃，犃 犃 犃，犃 犃 犃，犃 犃，（犃）犃，（犃）犃，（犃）犃，（犃）犃我们还知道如下一些特殊角的正弦、余弦、正切、余切值（表）：表角度 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 任意角及其度量在小学和初中我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线所组成的图形，角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点从图 正弦、余弦、正切、余切 初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形（图）我们以前学习过的锐角、直角、钝角、平角和周角，其大小都在 到 之间不过在体操、跳水等体育运动中，会听到转体 、转体 等术语；当手表比标准时间慢或者快 分钟的时候，只需要将分针旋转 就可以调节准确，但也有按顺时针和逆时针方向旋转的差异因此，要准确地刻画这些现象，对于角而言，不但要考察旋转量，而且要考察旋转方向，这就需要适当推广角的概念习惯上规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的（图）特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，称为零角零角的始边与终边重合这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过 的角为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使得角的顶点与坐标原点重合，角的始边与狓轴的正半轴重合此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限如图，和 都是第一象限的角，和 都是第二象限的角当角的终边在坐标轴上时，就不说这些角属于哪一象限图例如，若角是第一象限的角，将其终边绕原点逆时针旋转 后，所得的角 是第二象限的角；将其终边绕原点逆时针旋转 后，所得的角 是第三象限的角；而将其终边绕原点顺时针旋转 后，所得的角 则是第四象限的角从角的形成过程中可以看到，与某一个角的始边相同且终边重合的角有无数个，它们的大小与角都相差 的整数倍在图中，的角和 的角的终边重合，前者与后者之差为 ；的角和 的角的终边重合，前者与后者之差为 进一步，我们可以把所有与角的终边重合的角（包括图为简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记作“”三角 角本身）的集合表示为犽 ，犽犣例判断下列各角分别属于哪个象限：（）；（）解（）因为 ，而 的角属于第二象限，所以 的角属于第二象限（）因为 ，而 的角属于第四象限，所以 的角属于第四象限例写出与 的终边重合的所有角组成的集合犛，并列举犛中满足不等式 的所有元素解因为犛犽 ，犽犣，所以当 时，或 或 练习（）判断下列命题是否正确：（）终边重合的两个角相等；（）锐角是第一象限的角；（）第二象限的角是钝角；（）小于 的角都是锐角分别用集合的形式表示终边位于第三象限的所有角和终边位于狔轴正半轴上的所有角在 范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角：（）；（）；（）；（）度量长度可以用米为单位，度量质量可以用千克为单位，适当的单位制会给解决问题带来极大的便利度量角的大小与度量其他量一样，也要选择一个同类的量作为度量的单位在平面几何中，我们把周角的 作为度用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制表示角的方法，用角度制虽很直观，但很多情况下并不一定方便下面我们引入一种度量角的新方法观察不难发现：在半径为狉的圆中，当圆心角为 时，圆的周长为 狉；当圆心角为 时，半圆的弧长为狉；而当圆心角为 时，四分之一圆的弧长为狉由初中所学习的计算扇形弧长公式可知，在给定半径的圆中，弧的长度与相应圆心角的大小成正比例关系，因此我 正弦、余弦、正切、余切 们不仅可以用角度来度量弧的长度，而且可以用弧长来度量角的大小具体来说，在半径为狉的圆周上，弧长犾与以角度度量的圆心角之间的关系式为犾 狉 ，即犾狉 ，这说明比值犾狉仅由角的大小决定这样我们就可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的大小相应地，把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度（）的角（图）用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制一般地说，如果一个半径为狉的圆的圆心角所对的弧长为犾，那么犾狉就是角的弧度的绝对值，即犾狉，这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定零角的弧度数为从弧度的定义不难得知，周角为 弧度，即 弧度；平角为弧度，即 弧度从而有 弧度，弧度 例按下列要求，将 换算成弧度：（）精确值；（）近似值（结果精确到 ）解（）弧度 弧度（）计算得 ，从而 弧度例将 弧度换算成角度（用度数表示，结果保留两位小数）解 弧度 请同学们根据一些常用特殊角的角度与弧度的对应关系，填写下表表角度 弧度 在弧度和角度的换算过程中，应当注意角度制为 进位制例如，应先换算成 ，再换算成弧度在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，这就构成了角的集合与实数集合之间的一图在学习微积分后可以更明显地看出弧度制的优点三角 个一一对应关系在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数例如，角和角的互补关系可以表示为，而 则表示 弧度的角的正弦引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮，更使微积分中的许多公式变得格外简明例如，如图，当扇形的圆心角为狀，而半径为狉时，扇形的弧长犾和面积犛的公式分别为犾狀 狉狀狉 及犛狀 狉狀狉 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为 狀狀 ，因此上述公式可分别简化为扇形的弧长犾 狉，扇形的面积犛 狉例写出终边在狓轴上的所有角组成的集合（用弧度制表示）解当角的终边在狓轴正半轴上时，犽，犽犣；而当角的终边在狓轴负半轴上时，犽，犽犣所以，所求的角的集合为犽，犽犣例设是第二象限的角，