2023年高考数学解答题分类汇编创新试题高中数学.docx

第十五章 新增内容和创新题目 五、创新题目 〔三〕解答题〔共6题〕 1.〔北京卷理20〕集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为 〔Ⅰ〕证明：，且; 〔Ⅱ〕证明：三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：〔P〕≤. 证明：〔I〕设，， 因为，，所以, 从而 又 由题意知，，. 当时，; 当时， 所以 (II)设，， ，，. 记，由〔I〕可知 所以中1的个数为，的1的个数为。 设是使成立的的个数，那么 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,,三个数中至少有一个是偶数。 〔III〕,其中表示中所有两个元素间距离的总和， 设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0那么= 由于所以 从而 2. 〔北京卷文20〕集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 〔Ⅰ〕当n=5时，设，求，； 〔Ⅱ〕证明：，且; (Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数 〔Ⅰ〕解：=〔1,0,1,0,1〕 设是使成立的的个数。那么 3.〔广东卷理21〕〕设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=+.对于平面上给定的不同的两点A(),B() 假设点C〔x, y〕是平面上的点，试证明ρ+ρρ; 在平面上是否存在点C(x, y),同时满足①ρ+ρ= ρ； ②ρ= ρ；假设存在，请求所给出所有符合条件的点；假设不存在，请予以证明。 解析：设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为. 当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立. 〔2〕当点C(x, y) 同时满足①P+P= P，②P= P时，点是线段的中点. ，即存在点满足条件。 4.〔江苏卷23〕△ABC的三边长为有理数 〔1〕求证cosA是有理数 〔2〕对任意正整数n，求证cosnA也是有理数 [解析] 此题主要考查余弦定理、数学归纳法等根底知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。总分值10分。 〔方法一〕〔1〕证明：设三边长分别为，，∵是有理数， 是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， ∴必为有理数，∴cosA是有理数。 〔2〕①当时，显然cosA是有理数； 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数； ②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。 当时，， ， ， 解得： ∵cosA，，均是有理数，∴是有理数， ∴是有理数。 即当时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 〔方法二〕证明：〔1〕由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数。 〔2〕用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。 ①当时，由〔1〕知是有理数，从而有也是有理数。 ②假设当时，和都是有理数。 当时，由， ， 及①和归纳假设，知和都是有理数。 即当时，结论成立。 综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。 5.〔上海卷理22〕假设实数、、满足，那么称比远离. 〔1〕假设比1远离0，求的取值范围； 〔2〕对任意两个不相等的正数、，证明：比远离； 〔3〕函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的根本性质〔结论不要求证明〕. 解析：(1) ； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a3+b3比a2b+ab2远离； (3) ， 性质：1°f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2°f(x)是周期函数，最小正周期， 3°函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ， 4°函数f(x)的值域为． 6.〔上海卷文22〕假设实数、、满足，那么称比接近. 〔1〕假设比3接近0，求的取值范围； 〔2〕对任意两个不相等的正数、，证明：比接近； 〔3〕函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性〔结论不要求证明〕. 解析：(1) xÎ(-2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a2b+ab2比a3+b3接近； (3) ,kÎZ， f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0， 函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ．