东北大学《概率与数理统计》课件-第2章.ppt

第一节第一节 随机变量随机变量 随机变量概念的产生随机变量概念的产生 引入随机变量的意义引入随机变量的意义 随机变量的分类随机变量的分类 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念表示，由此就产生了随机变量的概念.1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；九月份武汉的最高温度；九月份武汉的最高温度；每天进入一号楼的人数；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就也就是说，是说，把试验结果数值化把试验结果数值化.正如裁判员在运正如裁判员在运动场上不叫运动动场上不叫运动员的名字而叫号员的名字而叫号码一样，二者建码一样，二者建立了一种对应关立了一种对应关系系.这种对应关系在数学上理解为定义了一种这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数实值单值函数.e.X(e)sR 这种实值函数与在高等数学中大家接触到这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！的函数不一样！（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率也有一定的概率.称这种定义在样本空间称这种定义在样本空间S上的实值单值函数上的实值单值函数X=X(e)为为 简记为简记为 r.v.而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母一般采用小写字母 x,y,z,w,n等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母 X,Y,Z,W,N 等表示等表示 有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 没有收到呼叫没有收到呼叫 X 1 X=0 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及 事件概率事件概率 随机变量及其随机变量及其 取值规律取值规律 三、随机变量的分类三、随机变量的分类 离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个无限可列个,叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是:随机变量随机变量 连续型连续型 实例实例1 1,2,3,4,5,6.非离散型非离散型 其它其它 实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为“连续射击连续射击,直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”,则则 X 的可能值是的可能值是:.,3,2,1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为“记为“击中目标击中目标 的次数的次数”,则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30,3,2,1,0实例实例2 随机变量随机变量 X 为“为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量 误差误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为(a,b).实例实例1 随机变量随机变量 X 为“为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.).,0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为 解：分析解：分析 例例 一报童卖报一报童卖报，每份每份0.15元元，其成本为其成本为0.10元元.报报馆每天给报童馆每天给报童1000份报份报，并规定他不得把卖不出并规定他不得把卖不出的报纸退回的报纸退回.设设X为报童每天卖出的报纸份数为报童每天卖出的报纸份数，试试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当当 0.15 X0.95 的最小的m.进货数 销售数 求满足 P X m 0.95 的最小的m.查泊松分布表得 PXm 0.05 也即 于是得 m+1=10,m=9件 或 例13 独立射击5000次,命中率为0.001,解 (1)k=(n+1)p =(5000+1)0.001=5 求 (1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1 次的概率.(至少命中1次的概率)(2)令X 表示命中次数,则 X b(5000,0.001)解 令X 表示命中次数,则 令 此结果与用二项分布算得的结果0.9934仅相差万分之一.利用Poisson定理再求例12(2)X b(5000,0.001)由此可见日常生活中“提高警惕,防火防盗”的重要性.由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用惊慌.同样,由于人的一生是一个漫长的过程，在人的一生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都属于正常现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而跳楼自杀.小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.本例 启示 其它离散分布：几何分布：超几何分布：巴斯卡分布：解：解：(1)放回放回 设设X为取到白球时的取球次数，为取到白球时的取球次数，显显然然，P Xmmmm()11125352 513 51则则X 12,5352)3(2XP,52)1(XP,5352)2(XP,5352)(1mmXP，m12,几何级数 P Y().,12504显显然然，P Ymm().140 40302011(2)不放回不放回设设Y为取到白球时的取球次数，为取到白球时的取球次数，4,3,2,1Y，则，则P Y().,2352403P Y().,335242302P Y().,43524132201YP1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说 这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量.离散型随机变量由它的分布律唯一确定.四、小结 练习题 第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 随机变量分布函数的定义随机变量分布函数的定义 分布函数的性质分布函数的性质 小结小结 一、分布函数的定义一、分布函数的定义 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示的值就表示 X落落在区间在区间 内的内的 概率概率.设设 X 是一个是一个 r.v，称称 为为 X 的分布函数的分布函数,记作记作 F(x).(1)在分布函数的定义中在分布函数的定义中,X是随机变量是随机变量,x是参变量是参变量.(2)F(x)是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.(3)对任意实数对任意实数 x1x2，随机点落在区间，随机点落在区间(x1,x2 内内 的概率为：的概率为：P x1X x2 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述.=P X x2 -P X x1 =F(x2)-F(x1)请注意请注意:分布函数是一个普通的函数，分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量学的工具来研究随机变量.当当 x0 时时，X x =，故故 F(x)=0 例例1 设设 随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为 当当 0 x 1 时时，F(x)=PX x=P(X=0)=F(x)=P(X x)解解 X 求求 X 的分布函数的分布函数 F(x).当当 1 x 2 时时，F(x)=PX=0+PX=1=+=当当 x 2 时时，F(x)=PX=0+PX=1+PX=2=1 故故 注意右连续注意右连续 下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.的分布函数图的分布函数图 设离散型设离散型 r.v X 的分布律是的分布律是 P X=xk =pk ,k=1,2,3,F(x)=P(X x)=即即F(x)是是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和的概率之和.一般地一般地 则其分布函数则其分布函数 二、分布函数的性质二、分布函数的性质(1)如果一个函数具有上述性质，则一定是某个如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数的分布函数.也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件的分布函数的充分必要条件.(3)F(x)右连续，即右连续，即 (2)且且 试说明试说明F(x)能否是某个能否是某个r.v 的分布函数的分布函数.例例2 设有函数设有函数 F(x)解解 注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降，上下降，不满足性质不满足性质(1)，故，故F(x)不能是分布函数不能是分布函数.不满足性质不满足性质(2)，可见可见F(x)也不也不能是能是r.v 的分布函数的分布函数.或者或者 例例3 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2m的圆盘的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解,0时时当当 x,是不可能事件是不可能事件xXP,20时时当当 x.,02是常数是常数kkxxXP ,120 XP由由,14 k得得.41 k即即.402xxXP 因而因而;0)(xXPxF于是于是于是于是)(xXPxF ,2时时当当 x故故 X 的分布函数为的分布函数为 .2,1,20,4,0,0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x)(xXPxF .1 其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线 .,0,20,2)(其它其它若记若记tttf.d)()(ttfxFx 则则,()()(上的积分上的积分在区间在区间恰是非负函数恰是非负函数xtfxF.为连续型随机变量为连续型随机变量此时称此时称X 注意注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不两类随机变量的分布函数图形的特点不 一样一样.三、小结三、小结 在这一节中，我们学习了随机变量的分布函数在这一节中，我们学习了随机变量的分布函数,以及分布函数的性质以及分布函数的性质.练习题练习题 F(x)=P(X x)故故 第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量 小结小结 一、连续型随机变量的引入 连续型随机变量X所有可能取值充