哈尔滨工业大学《高等数学》课件-第一章 函数 (1).ppt

1 集集 合合(set)小结小结 思考题思考题 作业作业 函函 数数(function)1.1 集合与函数集合与函数 第第1 1章章 函函 数数 第第1 1章章 函函 数数 具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该组成这个集合的事物称为该 一、集合一、集合 集合集合 元素元素(简称简称元元)(集集)元素元素(element).集合的集合的 通常以大写字母通常以大写字母,MBA等表示集合等表示集合,以小写字母以小写字母 等表示集合的元素等表示集合的元素.,mba;Aa Aa 否则记否则记 记作记作 或或.Aa 若若a是是A的元素的元素,则说则说a属于属于A,1.1 集合与集合与函数函数 ).(记作记作空集空集.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为 1.集合集合(set)的概念的概念 2 3 集合分类集合分类 有限集有限集 无限集无限集 只含有限个元素只含有限个元素;不是有限集的集合不是有限集的集合.列举法列举法 表示集合方法有两种表示集合方法有两种 描述法描述法 把集合的全部元素一一列出来把集合的全部元素一一列出来,例例 考察由下列元素考察由下列元素 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 可以用可以用列举法列举法将其表示成将其表示成 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0列举法有很大的局限性列举法有很大的局限性.组成的集合组成的集合A,A外加花括号外加花括号.1.1 集合与集合与函数函数 1.1 集合与集合与函数函数 4 xPx具有性质具有性质如如:由不超过由不超过1010的奇数组成的集合的奇数组成的集合,其元素有其元素有50亿个亿个,要把它们全部写出来要把它们全部写出来,且有很多集合且有很多集合,其元素是其元素是 很多纸张很多纸张!根本无法一一罗列出来根本无法一一罗列出来.得用得用 很多时间很多时间,不可数的不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质更常用的是列出规定这个集合特定性质P 就是就是 描述法描述法.M花括号中竖线前的花括号中竖线前的x 而竖线后而竖线后 x是是 M 中元素的通用符号中元素的通用符号,则是则是 x 所具有的性质所具有的性质.Px具有性质具有性质 的办法来表示集合的办法来表示集合,可用可用列举法列举法表示为表示为.0322 xxx0322 xx的根组成的集合的根组成的集合 也可用也可用描述法描述法表示为表示为,3,1 例例 由方程由方程 5 2.区间区间(interval)区间是指介于某两个实数之间的全体实数区间是指介于某两个实数之间的全体实数.ba 且且bxax 称为称为),(ba记作记作bxax 称为称为,ba记作记作这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,都是实数都是实数和和设设ba开区间开区间,闭区间闭区间,xOabxOab1.1 集合与集合与函数函数 6 bxax bxax 称为称为),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb 有限区间有限区间 无限区间无限区间 半开半闭区间半开半闭区间.全体实数的集合全体实数的集合R 也可记作也可记作),(是无限区间是无限区间.xOaxOb1.1 集合与集合与函数函数 7 3.邻域邻域(neighborhood).0,且且是两个实数是两个实数与与设设a,为中心为中心点点a为半径为半径 ),(aU|axx 的的称为点称为点a 数集数集 即即 邻域邻域,记作记作 它是以它是以.的开区间的开区间几何表示几何表示:),(表示表示 aU.的全体的全体的一切点的一切点距离小于距离小于与点与点xa.axaxxO a a a).,(aU1.1 集合与集合与函数函数 8),(aU 有时简记为有时简记为).(aU),(aU记作记作,邻域邻域的的 去心去心(空心空心)0.axx),(aU 即即 ax 开区间开区间开区间开区间),(aa ,邻域邻域左左),(aa.邻域邻域右右 点点a的的 称为称为a的的 称为称为a的的 1.1 集合与集合与函数函数 9 4.逻辑符号逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号.、“”表示表示“任取“任取”,或“任意给定”或“任意给定”.“”表示表示 或“能够找到”或“能够找到”.如如 实数的阿基米德实数的阿基米德(Archmed)公理是这样公理是这样 任意给定两个正的实数任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个都存在一个 自然数自然数n,.bna 使得使得用逻辑符号用逻辑符号,和和将将阿基米德阿基米德公理改写公理改写:.bna 使得使得,0,ba,Nn Any(每一个每一个)或或All(所有的所有的)的字头的字头A的倒写的倒写 Exist(存在存在)的的 字头字头E的倒写的倒写 叙述的叙述的:1.1 集合与集合与函数函数 “存在“存在”,“至少存在一个至少存在一个”,10 1.常量常量(constant quantity)与变量与变量(variable)注注 二、函数二、函数(function)而是相对“过程”而言的而是相对“过程”而言的.常量常量;变量变量.在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为 而在过程中数值变化的量称为而在过程中数值变化的量称为 一个量是常量还是变量一个量是常量还是变量,不是绝对的不是绝对的,常量与变量的表示方法常量与变量的表示方法:通常用字母通常用字母 a,b,c等表示常量等表示常量,用字母用字母 x,y,t 等表示等表示变变量量.1.1 集合与集合与函数函数 11 初等数学初等数学,变量的数学变量的数学 “常量的数学常量的数学”,从现在开始从现在开始,进入进入 就其总体来说是就其总体来说是 微积分微积分.1.1 集合与集合与函数函数 12 定义定义 设有两个变量设有两个变量x和和y,自变量自变量 因变量因变量 定义域定义域(domain)记作记作 变量变量y的取值的集合称为函数的的取值的集合称为函数的值域值域(range),即即.),(|DxxfyyW 变量变量x的变域为的变域为D,如果对于如果对于D中的每一个中的每一个x值值,按照一定的法则按照一定的法则,变变 量量y总有唯一的数值与之对应总有唯一的数值与之对应,则称变量则称变量y为变量为变量 x的的函数函数(function),2.函数概念函数概念),(xfy ,Dx 1.1 集合与集合与函数函数 13 注注(1)函数的记号函数的记号:除常用的除常用的f 外外,可任意选取可任意选取,如如 、Fg相应地相应地,函数可记作函数可记作:),(xgy 等等,)(),(xyxFy 等等,也可记作也可记作:y)(x y在同一个问题中在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时讨论到几个不同的函数时,则必须用不同的记号分别表示这些函数则必须用不同的记号分别表示这些函数,以示区别以示区别.1.1 集合与集合与函数函数 14(2)对应的函数值对应的函数值y总是唯一的总是唯一的,否则称为否则称为 如如 xy 是多值函数是多值函数,它的两个单值支是它的两个单值支是:,xy 单值函数单值函数,多值函数多值函数.约定约定:.xy 今后今后无特别说明无特别说明时时,函数是指单值函数函数是指单值函数.这种函数称为这种函数称为(3)构成函数的构成函数的 xyxylg2lg2 、是是两个不同的函数两个不同的函数.(因为定义域不同因为定义域不同).如如 定义域定义域Df与对应法则与对应法则 f.两个要素两个要素:,Dx 对对1.1 集合与集合与函数函数 15 函数的表示法只与定义域和对应法则有关函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即即 简称函数表示法的简称函数表示法的(4)而与用什么字母无关而与用什么字母无关,无关特性无关特性.xut )()()(fff1.1 集合与集合与函数函数 16 定义域定义域一般有两种一般有两种:(1)自变量所能取的使算式有意义的一切自变量所能取的使算式有意义的一切 定义区间定义区间.由问题的实际意义所确定由问题的实际意义所确定.(2)函数的定义域常用区间来表示函数的定义域常用区间来表示,又可称为又可称为:实际问题实际问题(几何或物理问题几何或物理问题);在纯数学的研究中在纯数学的研究中(函数由一个公式函数由一个公式 实数组成的集合实数组成的集合,这种定义域称为这种定义域称为 自然定义域自然定义域.表示的表示的).1.1 集合与集合与函数函数 17 例例 求下列函数的定义域求下列函数的定义域:)16(log)1(2)1(xyx )12ln(2712arcsin)2(2 xxxxy解解 )1().4,2()2,1(022 xx.2,1()1,21(01 x11 x1712 x定义域是定义域是 定义域是定义域是 012 x0162 x )2(112 x1.1 集合与集合与函数函数 18 常用的函数关系表示法是多种多样的常用的函数关系表示法是多种多样的.公式法公式法(解析法解析法);主要有主要有三种形式三种形式 表格法表格法.各种表示法各种表示法,都有其都有其优点和不足优点和不足.图形法图形法;公式法公式法(解析法解析法)图形法图形法 表格法表格法 今后以公式法为主今后以公式法为主,便于进行理论分析和计算便于进行理论分析和计算;形象直观形象直观,富有启发性富有启发性,便于记忆便于记忆;便于查找函数值便于查找函数值,但它常常是不完全的但它常常是不完全的.也可用语言描述也可用语言描述.配合使用图形法和表格法配合使用图形法和表格法.需特别指出的是需特别指出的是,公式法不一定仅用一个公式表示公式法不一定仅用一个公式表示 函数函数.1.1 集合与集合与函数函数 19 例例 某商店对一种商品的售价规定如下某商店对一种商品的售价规定如下:购买量购买量 )(xfy50 x105 x10 xx8.058.0 有些函数有些函数 58.0分段函数分段函数.)10(4.0 x)5(6.0 x称为称为 函数关系也不同函数关系也不同,除了可用除了可用一个数学式子表示函数一个数学式子表示函数外外,随着自变量取不同的值随着自变量取不同的值,这种函数这种函数 不超过不超过5千克时千克时,每千克每千克0.8元元;购买量大于购买量大于5千克而不千克而不 超过超过10千克时千克时,若购买若购买 x 千克的费用记为千克的费用记为 f(x),则则 购买量大于购买量大于10千克时千克时,超过超过10千克部分每千克千克部分每千克0.4 元元,56.0 x6.01 x4.03 元元;在自然科学、工程技术和经济学中在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数的情形经常会遇到分段函数的情形.其中超过其中超过5千克部分优惠价每千克千克部分优惠价每千克0.6 xyO5101.1 集合与集合与函数函数 20 用分段函数表示函数用分段函数表示函数,13 xy分段函数在其整个定义域上是一个函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案答案:1),1(31),1(3xxxxy即即 1,41,2xxxxy注注 而不是几个函数而不是几个函数!1 3.xyO并画出并画出 其图形其图形.2 41.1 集合与集合与函数函数 21 几个今后常引用的函数几个今后常引用的函数 绝对值函数绝对值函数 例例|xy,0 x0 x ,x,x 定义域定义域),(D值域值域).,0 WxyO|xy 1.1 集合与集合与函数函数 22 xyO符号函数符号函数(克罗内克函数克罗内克函数)xysgn|sgnxxx 定义域定义域),(D值域值域.1,0,1 W对对 例例,0 x,1,0 x,00 x,1 11 ,R x有有 或或.sgn|xxx 克罗内克克罗内克Kronecker L.1823 1891,德国数学家德国数学家 1.1 集合与集合与函数函数 23 xyo 3 2 1 1 4 1 22 1 2 3 取整函数取整函数 如如 5.25 例例,n Z,1 nnxn当当xy 2 2.55 9.77 55.2 3 xy 阶梯曲线阶梯曲线 定义域定义域),(D值域值域 表示表示不超过不超过 x 的最大整数的最大整数 W=整数整数