华南理工大学《数值分析》2018-2019学年第一学期期末试卷B.pdf

数值分析数值分析B B 卷卷 第第 1 1 页页 共共 8 8 页页 华南理工大学华南理工大学期末期末课程课程考试考试 数值分析数值分析试卷试卷 B B 2012018 8 年年 1 1 月月 6 6 日日 注意事项：注意事项：1.1.考前请将密封线内考前请将密封线内各项各项信息信息填写清楚；填写清楚；2.2.所有答案请所有答案请按要求按要求填写填写在试卷上；在试卷上；3.3.课程课程代码：代码：S0003004S0003004 4.4.考试形式：闭卷考试形式：闭卷 5 5.考生类别考生类别：大学本科大学本科 6 6.本试卷共本试卷共八八大题，满分大题，满分 100100 分，考试时间分，考试时间为为 150150 分钟。分钟。一一.解答下列问题解答下列问题（12 分）:(1)(1)试推导:计算3x时的相对误差约等于x的相对误差的 3 倍。(2)(2)设有递推公式 0161,1,2,nnyeyyn 如果取*002.718yey 作近似计算，问计算到10y时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？_ _ 姓名 学号 学院 专业 任课教师 (密 封 线 内 不 答 题)密封线线 数值分析数值分析B B 卷卷 第第 2 2 页页 共共 8 8 页页 二二插值问题插值问题(14 分):(1)(1)利用插值方法推导等式：xijijxninijj 0,0。(2)(2)试用两种方法求过三个离散点：A（0，1）、B（1，2）、C（2，3）的插值多项式。数值分析数值分析B B 卷卷 第第 3 3 页页 共共 8 8 页页 三三.拟合问题拟合问题(12 分):(1)(1)对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是什么？(2)(2)在某试验过程中，变量y依赖于变量x的试验数据如下：x：1 2 3 4 y：0.8 1.5 1.8 2.0 试求其形如2bxaxy的拟合曲线。数值分析数值分析B B 卷卷 第第 4 4 页页 共共 8 8 页页 四四.数值求积数值求积(12 分):(1)(1)4 个节点的 Gauss 型求积公式的代数精度为多少次？(2)(2)试利用 Lagrange 线性插值公式推导出计算定积分的梯形公式：TbfafabdxxfIba)()(2)(，并证明：当,)(2baCxf,且,0)(baxxf 时，成立TI。数值分析数值分析B B 卷卷 第第 5 5 页页 共共 8 8 页页 五五.解解线性线性方程组方程组的的直接法直接法(12 分)：(1)(1)与顺序 Gauss 消去法相比，列主元 Gauss 消去法的优点是什么？(2)(2)已知线性代数方程组 Ax=b，其中 A 为 n 阶非奇异矩阵。假设已经求得 A 的三角分解：A=LU（其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵），即 L 和 U 的元素已经计算出来，试写出求解 Ax=b 的步骤和计算公式，并统计其乘除法的次数。数值分析数值分析B B 卷卷 第第 6 6 页页 共共 8 8 页页 六六.解解线性线性方程组方程组的迭代的迭代法法(12 分)：(1)(1)解线性代数方程组 Ax=b 时，Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代对任意的 x(0)收敛的充分必要条件是 A 严格对角占优。对吗？(2)(2)设有对称正定方程组bAx，求证当参数满足 A20 时，下列迭代公式收敛：,1,0),()()()1(kbAxxxkkk 数值分析数值分析B B 卷卷 第第 7 7 页页 共共 8 8 页页 七一元方程求根七一元方程求根(14 分):(1)(1)证明：设方程0)(xf在区间0，1上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，要求绝对误差限为 0.001，则至少要二分 9 次 (2)(2)将牛顿迭代法应用于方程30 xa，导出求立方根3a（0a）的迭代公式，并根据收敛阶的判据，确定其收敛阶。数值分析数值分析B B 卷卷 第第 8 8 页页 共共 8 8 页页 八常微分方程初值问题八常微分方程初值问题(12 分):若用 Euler 公式（yn+1=yn+hf(xn,yn)）解初值问题(1)试推导出其数值解的表达式：(12)nnyh，并证明它收敛于准确解 2()nxny xe。（2）讨论该数值方法的绝对稳定条件。2(0)1yyy