华南理工大学《数值分析》2016-2017学年第一学期期末试卷C.pdf

数值分析数值分析C C 卷卷 第第 1 1 页页 共共 8 8 页页 华南理工大学华南理工大学期末期末课程课程考试考试 数值分析数值分析试卷试卷 C C （2012016 6 年年 1 1 月月 9 9 日日）注意事项：注意事项：1.1.考前请将密封线内考前请将密封线内各项各项信息信息填写清楚；填写清楚；2.2.所有答案请所有答案请按要求按要求填写填写在在本本试卷上；试卷上；3.3.课程课程代码：代码：S0003004S0003004；4.4.考试形式：闭卷考试形式：闭卷；5 5.考生类别考生类别：大学本科大学本科；6 6.本试卷共本试卷共八八大题，满分大题，满分 100100 分，考试时间分，考试时间为为 150150 分钟。分钟。一、（12 分）解答下列问题：（1）设近似值0 x，x的相对误差为，试证明lnx的绝对误差近似为。（2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p xxxxx 在3x 时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。_ _ 姓名 学号 学院 专业 任课教师 (密 封 线 内 不 答 题)密封线线 数值分析数值分析C C 卷卷 第第 2 2 页页 共共 8 8 页页 二、（12 分）解答下列问题：（1）设 235f xx，求0,1,2f和0,1,2,3f。（2）利用插值方法推导出恒等式：33220,0jj iixjixij 。数值分析数值分析C C 卷卷 第第 3 3 页页 共共 8 8 页页 三、（12 分）解答下列问题：（1）设0)(kkxq是区间1,0上带权1而最高次项系数为 1 的正交多项式族，其中1)(0 xq，求1()q x和2()q x。（2）求形如2yabx的经验公式，使它与下列数据拟合：jx 19 25 31 38 44 jf 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 数值分析数值分析C C 卷卷 第第 4 4 页页 共共 8 8 页页 四、（14 分）对积分 10If x dx，试（1）构造一个以012113,424xxx为节点的插值型求积公式；（2）指出所构造公式的代数精度；（3）用所得数值求积公式计算积分1203x dx的精确值；（4）指出所得公式与一般的 Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。数值分析数值分析C C 卷卷 第第 5 5 页页 共共 8 8 页页 五、（12 分）解答下列问题：（1）设4321A,计算1A、()Cond A和()A。（2）用列主元 Gauss 消去法解方程组：12312315410030.112xxx 数值分析数值分析C C 卷卷 第第 6 6 页页 共共 8 8 页页 六、（13 分）对 2 阶线性方程组 11 1122121 12222a xa xba xa xb （11220aa）（1）证明求解此方程组的 Jacobi 迭代与 Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散；（2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。数值分析数值分析C C 卷卷 第第 7 7 页页 共共 8 8 页页 七、（13 分）解答下列问题：（1）证明：设方程 f(x)=0 在区间0，1上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，要求绝对误差限为 0.001，则至少要二分 9 次（2）试写出求(0)aa 的 Newton 迭代公式，并判定该迭代公式的收敛阶。数值分析数值分析C C 卷卷 第第 8 8 页页 共共 8 8 页页 八、（12 分）解答下列问题：(1)试分别运用 Taylor 展开的方法和以差商离散导数项的方法推导出求解 y=f(x,y),y(x0)=y0 的 Euler 公式：y n+1=y n+h f(x n,y n)，n=0,1,2 (2)若用 Euler 公式解初值问题 试推导出该数值方法的绝对稳定条件。2(0)3yyy