华南理工大学《数值分析》2018-2019学年第一学期期末试卷A.pdf

数值分析数值分析A A 卷卷 第第 1 1 页页 共共 8 8 页页 华南理工大学华南理工大学期末期末课程课程考试考试 数值分析数值分析试卷试卷 A A 2012018 8 年年 1 1 月月 6 6 日日 注意事项：注意事项：1.1.考前请将密封线内考前请将密封线内各项各项信息信息填写清楚；填写清楚；2.2.所有答案请所有答案请按要求按要求填写填写在试卷上；在试卷上；3.3.课程课程代码：代码：S0003004S0003004 4.4.考试形式：闭卷考试形式：闭卷 5 5.考生类别考生类别：大学本科大学本科 6 6.本试卷共本试卷共八八大题，满分大题，满分 100100 分，考试时间分，考试时间为为 150150 分钟。分钟。一一(12 分)(1)(1)计算 54322396128Pxxxxx 时，为了减少乘除法运算次数，应把它改写成什么形式？(2)(2)设有递推公式 0161,1,2,nnyeyyn 如果取*002.718yey 作近似计算，问计算到10y时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？_ _ 姓名 学号 学院 专业 任课教师 (密 封 线 内 不 答 题)密封线线 数值分析数值分析A A 卷卷 第第 2 2 页页 共共 8 8 页页 二二(14 分)(1)(1)设函数)(xf在 4 个互异节点 1234,x xxx 上对应的函数值为1234,ffff，满足插值条件()iiL xf(1,2,3,4)i 次数3的 Lagrange 插值多项式为)(xL，试写出插值余项()()()R xf xL x的表达式（不必证明）。(2)(2)试用两种方法求一个次数3的插值多项式)(3xH满足条件：1)1(3H，0)0()0(33 HH，1)1(3H 数值分析数值分析A A 卷卷 第第 3 3 页页 共共 8 8 页页 三三(14 分)(1)(1)设0)(kkxq是区间1,0上带权x而最高次项系数为 1 的正交多项式族，其中1)(0 xq，试求1()q x。(2)(2)设有试验数据如下：x：1 2 3 4 y：4 10 18 26 试求其形如2yabx的拟合曲线。数值分析数值分析A A 卷卷 第第 4 4 页页 共共 8 8 页页 四四(12 分)(1)(1)对于形如0()()nbkkakf x dxA f x的插值型求积公式，指出其代数精度至少有多少次及最多可达多少次（不必证明）。(2)(2)确定下列求积公式的求积系数101,AAA：11011()(1)(0)(1)f x dxA fA fA f 使公式具有尽可能高的代数精度；并问所得公式是不是 Gauss 型公式？数值分析数值分析A A 卷卷 第第 5 5 页页 共共 8 8 页页 五五(10 分)用列主元 Gauss 消去法解方程组（求解过程用增广矩阵表示）：20111.031045321321xxx 数值分析数值分析A A 卷卷 第第 6 6 页页 共共 8 8 页页 六六(12 分)对 2 阶线性方程组 11 1122121 12222a xa xba xa xb （02211aa）（1）证明求解此方程组的 Jacobi 迭代与 Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散；（2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。数值分析数值分析A A 卷卷 第第 7 7 页页 共共 8 8 页页 七七(14 分)(1)(1)证明：设方程 f(x)=0 在区间0，1上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，要求绝对误差限为 0.001，则至少要二分 9 次(2)(2)试写出求 3(0)a a 的 Newton 迭代公式，并判定该迭代公式的收敛阶。数值分析数值分析A A 卷卷 第第 8 8 页页 共共 8 8 页页 八八(12 分)(1)(1)设函数)(xy是某常微分方程初值问题的解析解，则()ny x称为该初值问题在nx处的数值解，对吗？（回答“对”或“错”）(2)(2)要计算函数20()xty xedt 在 x=0.25,0.5,1 三处的近似值，试设计两种计算方案（只写出计算公式）：方案一用数值积分法；方案二用解常微分方程初值问题的数值方法。