哈尔滨工业大学《高等数学》课件-第七章 定积分的应用 (1).PPT

第第7 7章章 定积分的应用定积分的应用 ab)(xfy Oxy 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 2 定积分有着广泛的用途定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种适用的简便先介绍建立定积分的一种适用的简便 微元法微元法(元素法元素法).).现介绍它在现介绍它在 几何、物理上的简单应用几何、物理上的简单应用,培养用数学知识培养用数学知识 来分析和解决实际问题的能力来分析和解决实际问题的能力.方法方法-7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 3 问题的提出问题的提出 小结小结 思考题思考题 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 第第7 7章章 定积分的应用定积分的应用 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 4 究竟哪些量可用定积分来计算呢究竟哪些量可用定积分来计算呢.首先讨论这个问题首先讨论这个问题.结合曲边梯形面积的计算结合曲边梯形面积的计算 一、问题的提出一、问题的提出 可知可知,用定积分计算的量用定积分计算的量 应具有如下应具有如下 及定积分的定义及定积分的定义 成许多部分区间成许多部分区间,(即把即把a,b分分 两个特点两个特点:(1)所求量所求量I 即与即与a,b有关有关;(2)I 在在a,b上具有可加性上具有可加性.则则I 相应地分成许多部分量相应地分成许多部分量,而而I 等于所有部分量之和等于所有部分量之和)7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 5 按定义建立积分式有按定义建立积分式有四步曲四步曲:“分割、分割、baxxfId)(有了有了牛顿牛顿-莱布尼茨莱布尼茨公式公式后后,对应用问题来说对应用问题来说关键关键就在于如何就在于如何 方法方法 简化步骤简化步骤 被积表达式被积表达式.iniixf )(lim10 得到得到 这个复杂的极限运算这个复杂的极限运算 问题得到了解决问题得到了解决.xxfd)(xxfId)(d )1(是所求量是所求量 I 的微分的微分.iI 于是于是,称称 xxfId)(d 为量为量 I 的的 微元微元或或元素元素.取近似、取近似、求和、求和、取极限取极限”,写出写出 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 6)2(I这种简化了的建立积分式的方法称为这种简化了的建立积分式的方法称为 元素法元素法.xxfd)(ba简化步骤简化步骤 求出求出 或或 (1)即即,d)(xxf.d)(xxfI 在在a,b上任取一小区间上任取一小区间x,x+dx,x,x+dx上所求量上所求量I的近似值的近似值(也是它的微分也是它的微分)微元法微元法 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 7 Oxyab)(xfy xxxd 这个小区间上所这个小区间上所 对应的小曲边梯形面积对应的小曲边梯形面积 得得 曲边梯形面积的积分式也可以用曲边梯形面积的积分式也可以用微元法微元法 建立如下建立如下.Axxfd)(ba地等于长为地等于长为f(x)、宽为、宽为dx 的的 小矩形面积小矩形面积,故有故有 近似近似 轴围成轴围成.在在a,b上任取一小区间上任取一小区间,d,xxx 设曲边梯形是由设曲边梯形是由y=f(x),直线直线x=a,x=b与与x 面积微元面积微元 Adxxfd)(7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 8 微元法的提出、思想、步骤微元法的提出、思想、步骤.(注意元素法的本质注意元素法的本质)二、小结二、小结 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 9 思考题思考题 何为定积分的微元法？何为定积分的微元法？微元法使用的条件微元法使用的条件 和程序是怎样的和程序是怎样的?7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 10 小结小结 思考题思考题 作业作业 直角坐标直角坐标下平面图形的面积下平面图形的面积 7.2 平面图形的面积平面图形的面积 第第7 7章章 定积分的应用定积分的应用 极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 11 回忆回忆 baxxfd)(的几何意义的几何意义:,0)(,xfba内内若在若在曲边梯形的面积曲边梯形的面积.启示启示 一般曲线围成区域的面积也可以一般曲线围成区域的面积也可以 用定积分来计算用定积分来计算.定积分定积分 下面曲线均假定是下面曲线均假定是连续连续曲线曲线.注注 的值的值则则 baxxfd)(等于介于等于介于y=f(x),直线直线x=a,x=b与与x轴之间轴之间 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 12 Oxy),()(xgxf 求这两条曲线及求这两条曲线及 直线直线x=a,x=b所围成的区域的所围成的区域的面积面积A.)(xgy )(xfy ab,d,xxx 面积微元面积微元dA为为 它对应的它对应的 Ad xxgxfAd)()(1)()(xgxf xd ab即即 A区间区间 xxxd 一、直角坐标一、直角坐标下平面图形的面积下平面图形的面积 设在区间设在区间a,b上上,曲线曲线y=f(x)位于曲线位于曲线 y=g(x)的上方的上方,在在a,b上任取一个小上任取一个小 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 13(2)由曲线由曲线 x=f(y),)()(ygyf 和直线和直线y=c,x=d 所围成的区域的所围成的区域的 面积面积A.,d,yyy 面积微元面积微元dA为为 它对应的它对应的 yygyfAd)()(d yygyfAd)()(cd)(ygx )(yfx yyyd cdA区间区间 Oxyx=g(y)在在c,d上任取一个小上任取一个小 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 14 例例 解解.2,02所围成的图形面积所围成的图形面积求由求由xxyyx 画草图画草图,求两曲线交点的坐标以便求两曲线交点的坐标以便 解方程组解方程组:xxyyx202交点交点).3,3(),0,0(面积微元面积微元 Ad,3,0 x法一法一 xxxAd)3(2.2903选选 为积分变量为积分变量,xxd)2(2xx x确定积分限确定积分限,OxyA xxxd)3,3(0 yxxxy22 xxxd)3(2 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 15 Oxy法二法二 选选 y为积分变量为积分变量,3,1 y.2,02所围成的图形面积所围成的图形面积求由求由xxyyx 面积微元面积微元 1dAyd)11(yy)11(y)11(yyd Ayyd12 1 003yyyd)11(29 法三法三 将图形看成将图形看成:0,3上方的三角形上方的三角形减去减去在在2,3 上方的曲边梯形上方的曲边梯形,再再加上加上0,2下方的曲边梯形下方的曲边梯形:Axxd30 xxxd)2(322 xxxd)2(0202 .29 2dA1A31 xxy22 0 yx2A)3,3(7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 16(3)平面图形平面图形(如图如图)面积为面积为 xxgxfAbad)()()(xxgxfBbad|)()(|)(xxgxfCbad)()()(xxgxfDbad|)(|)(|)()(xfy )(xgy Oxyab设设f(x)、g(x)在在a,b上连续上连续,则曲线则曲线 y=f(x)、y=g(x)与直线与直线x=a,x=b所围成的所围成的 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 17 解解 两曲线的交点两曲线的交点 xyxycossin)22,45(),22,4(A .24 画草图画草图,xxxd)cossin(02xxxd)sin(cos 04xycos xysin 445xxxd)cos(sin 452xxxd)sin(cos Oxy2445xyxxsin2,0 之间由曲线之间由曲线求介于直线求介于直线.cos积积所围成的平面图形的面所围成的平面图形的面和和xy 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 18.12222的面积的面积求椭圆求椭圆 byax解解 曲线的参数方程为曲线的参数方程为 tbytaxsincos由对称性由对称性,d40 axyA 4Attabdsin4202 .ab 作变量代换作变量代换,costax ,时时当当ax ,0时时当当 x例例 其中其中 22xaaby 总面积等于总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积.不易积分不易积分.ttaxdsind ;2 t.0 t)cos(dta02abtbsin 一般地一般地,当曲线用参数方程当曲线用参数方程表示时表示时,都可以用类似的变量代都可以用类似的变量代换法处理换法处理.Oxy 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 19)20(t解解 axyA20d)sin(ttax 面积面积 ttaxd)cos1(d 0 x axyA20d 作变量代换作变量代换 ttad)cos1()cos1(ta 20a2Oxy;0 tax2 求摆线求摆线(旋轮线旋轮线)cos1(),sin(tayttax 与与x轴所围图形的面积轴所围图形的面积.2 t.32a 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 20 d 面积微元面积微元 Ad曲边扇形的面积曲边扇形的面积.d)(212 rA )(rr 由极坐标方程由极坐标方程)(rr 给出的平面曲线给出的平面曲线)(,所围成的面积所围成的面积A.d)(212r和射线和射线 曲边扇形曲边扇形 d Ox二、二、极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 21 解解 由对称性知总面积由对称性知总面积 14AA d2cos2142 aA.2a d)(212rA 04=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 例例 求双纽线求双纽线 2cos22ar 所围平面图形的面积所围平面图形的面积.xy Oxy 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 22 解解 利用利用对称性对称性知知 d)coscos21(202 a022sin41sin223 a.232a drA2)(21 A)cos1(ar d)cos1(2122 a 20 xyOa2例例 求心形线求心形线 所围平面图形的所围平面图形的 面积面积).0(a)cos1(ar 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 23 cos1 r解解 求交点求交点 cos1cosrr3 由对称性由对称性 A.3127 2 例例 drA2)(21 d)cos1(212 03 dcos21223 cos1 r cos rxyO12 求心形线求心形线 的公共部分的面积的公共部分的面积.所围图形与圆盘所围图形与圆盘 cos r 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 24 所围成的所围成的计算由曲线计算由曲线)()(222222yxayx .21222的外面部分的面积的外面部分的面积区域在圆区域在圆ayx 解解)()(222222yxayx 曲线曲线22221ayx 圆圆.2cos22 ar ar21 2,6ar 交点交点 A由对称性由对称性.6232 a4 d212cos2122 aa06 d)(212rA Oxy是双纽线方程是双纽线方程.极坐标方程极坐标方程:极坐标方程极坐标方程:2cos22ar ar21 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 25 解解 利用对称性知利用对称性知 14AA d12142 06 d2cos2214 64.332 6 d)(212rA Oxy的公共部分面积的公共部分面积.所围成图形所围成图形和双纽线和双纽线求求 2cos212 rr 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 26 所围所围和曲线和曲线使得该切线与直线使得该切线与直线xyxxln6,2 答案答案.4ln141 xy,6,2ln内的一条切线内的一条切线在区间在区间求曲线求曲线xy (1)成的面积最小成的面积最小.(2)0(ba之间图形面积之间图形面积.答案答案).arctan(4abab,12222 byax求界于二椭圆求界于二椭圆,12222 aybx 7.1 微元法的基本思想微元法的基本思想 27 解解)0(1,122222222 baaybxbyax求界于二椭圆求界于二椭圆之间图形面积之间