哈尔滨工业大学《高等数学》课件-第四章 定积分与不定积分 (1).PPT

第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分?Aab)(xfy Oxy2 定积分和不定积分是积分学的两个定积分和不定积分是积分学的两个 一种认识问题、分析问题、解决问题的一种认识问题、分析问题、解决问题的 不定积分侧重于基本积分法的训练不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分主要组成部分.思想方法思想方法.3 4.1 定积分定积分的概念与性质的概念与性质 定积分问题举例定积分问题举例 定积分的定义定积分的定义 关于函数的可积性关于函数的可积性 定积分的几何意义和物理意义定积分的几何意义和物理意义 小结小结 思考题思考题 作业作业 定积分的定积分的基本基本性质性质 *definite integral 第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分 4 1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际问题抽象出定积分概念也是由大量的实际问题抽象出 一、一、定积分问题举例定积分问题举例 来的来的,现举两例现举两例.ab)(xfy Oxy?A求由连续曲线求由连续曲线 y=f(x)0及及 直线直线 x=a,x=b和和 y=0所围所围 的曲边梯形的面积的曲边梯形的面积A.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 5 用用矩形面积矩形面积 梯形面积梯形面积.(五个小矩形五个小矩形)(十个小矩形十个小矩形)habAhxf)(,)()(矩形面积公式为矩形面积公式为时时常数常数思想思想 以直代曲以直代曲 显然显然,小矩形越多小矩形越多,矩形总面积越接近曲边矩形总面积越接近曲边 近似取代曲边梯形面积近似取代曲边梯形面积 OxyOxy 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 6 ab)(xfy 个个分成分成把区间把区间nba,1iixx 在每个小区间在每个小区间采取下列四个步骤来求面积采取下列四个步骤来求面积 A.(1)分割分割,1210bxxxxxann (2)取近似取近似,1为底为底以以iixx;1 iiixxx,1iixx 小区间小区间长度为长度为)(if 为高的小矩形为高的小矩形,面积近似代替面积近似代替 Oxyix1x1 ix1 nx,i 上任取一点上任取一点i iA 任意用分点任意用分点 的窄曲边梯形的面积的窄曲边梯形的面积上对应上对应表示表示,1iiixxA ,iA nixfAiii,2,1,)(有有 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 7 A.)(lim10iniixfA (3)求和求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形这些小矩形面积之和可作为曲边梯形 面积面积A的近似值的近似值.(4)求极限求极限 为了得到为了得到A的精确值的精确值,)0(时时趋近于零趋近于零 取极限取极限,的面积的面积:分割无限加细分割无限加细,iniixf )(1 极限值就是曲边梯形极限值就是曲边梯形,max21nxxx 即小区间的最大长度即小区间的最大长度 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 8 2.求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 思想思想 以不变代变以不变代变 设某物体作直线运动设某物体作直线运动,已知速度已知速度v=v(t)是时间是时间 间隔间隔T1,T2上上t的一个连续函数的一个连续函数,0)(tv且且在这段时间内所经过的路程在这段时间内所经过的路程.思路思路 把整段时间分割成若干小段把整段时间分割成若干小段,每小每小 段上速度看作不变段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程的精确值.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 求物体求物体 9(1)分割分割 212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )(3)求和求和 iinitvs )(1(4)取极限取极限,max21nttt .)(lim10iniitvs 路程的精确值路程的精确值(2)取近似取近似 is 0 令令表示在时间区间表示在时间区间 内走过的路程内走过的路程.,1iitt 某时刻的速度某时刻的速度),2,1(ni 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 10 二、定积分的定义二、定积分的定义 设函数设函数f(x)在在a,b上有界上有界,在在a,b中任意插入若干个分点中任意插入若干个分点 定义定义4.1 bxxxxxann 1210把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间,各小区间长度依次为各小区间长度依次为),2,1(,1nixxxiii 在各小区间上任取在各小区间上任取 一点一点),(iiix 作乘积作乘积),2,1()(nixfii 并作和并作和.)(1iinixfS 记记,max21nxxx 如果不论对如果不论对a,b(1)(2)(3)(4)上两例共同点上两例共同点:;II2)方法一样方法一样;1)量具有可加性量具有可加性,3)结果形式一样结果形式一样.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 11 被积函数被积函数 被积表达式被积表达式 记为记为 怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间,1iixx 上点上点 i 的取法的取法,只要当只要当,0时时 和和S总趋于确定的极限总趋于确定的极限I,称这个极限称这个极限I为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的上的 定积分定积分.iniibaxfIxxf )(limd)(10 积分下限积分下限 积分上限积分上限 积分变量积分变量 a,b积分区间积分区间 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 怎样怎样 积分和积分和 12 baxxfd)(bafd)(,)()1(11iiiniixxbaxfS 的分法及在的分法及在是与是与,)(lim110iiiniixxbaxfI 的分法及在的分法及在是与是与 (2)结构和上、下限结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理进行推理.定积分是一个数定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数的定积分数值只依赖于被积函数的 取法取法上上i 有关有关;注注 取法取法上上i 无关无关.而与积分变量的记号无关而与积分变量的记号无关.t bafd)(u 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 tu13 定理定理4.14.1 定理定理4.24.2 或或 记为记为.,baRf 黎曼黎曼 德国数学家德国数学家(18261866)三、三、关于函数的可积性关于函数的可积性 上上可积可积.且只有有限个且只有有限个 可积可积.当函数当函数 f(x)在区间在区间a,b上的定积分存在时上的定积分存在时,可积可积.黎曼可积黎曼可积,间断点间断点,称称 f(x)在区间在区间a,b上上 设设 f(x)在在a,b上连续上连续,则则 f(x)在在a,b 设设 f(x)在在a,b上有界上有界,则则 f(x)在在a,b上上 充分条件充分条件 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 14,0)(xf baAxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值 baxxfd)(1.几何意义几何意义 2A 1A 3A 四、定积分的几何意义和物理意义四、定积分的几何意义和物理意义 Oxyab)(xf1A2A3A 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 15 各部分面积的代数和各部分面积的代数和.取负号取负号.它是介于它是介于x轴、函数轴、函数 f(x)的图形及两条的图形及两条 直线直线 x=a,x=b之间的之间的 在在 x 轴上方的面积取正号轴上方的面积取正号;在在 x 轴下方的面积轴下方的面积 Oxyab)(xf baxxfd)(几何意义几何意义 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 16 例例 xx d1102 求求解解 421xy 2.物理意义物理意义,0)(时时当当 tvt=b 所经过的路程所经过的路程 s.o x y 11 xx d1102 battvd)(v=v(t)作直线运动的物体从时刻作直线运动的物体从时刻 t=a 到时刻到时刻 定积分定积分 表示以变速表示以变速 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 17 解解 iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12例例 用定义计算由抛物线用定义计算由抛物线,2xy ,等分等分n,nixi 分点为分点为分成分成将将 1,0 x轴所围成的曲边梯形面积轴所围成的曲边梯形面积.直线直线 x=1和和 ni,2,1 小区间小区间,1iixx 的长度的长度,1nxi ni,2,1 取取,iix ni,2,1 nnini121 niin1231ni2xy 12xxd10 yOxiniibaxfxxf )(limd)(10 nin1 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 18 nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn nn1211610 xx d102 iinix 210lim nnn121161lim.31 n 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 19 对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明,)1(时时当当ba baxxfd)(;0,)2(时时当当ba baxxfd)(.d)(abxxf五、定积分的基本性质五、定积分的基本性质 在下面的性质中在下面的性质中,假定定积分都存在假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 性质性质4.14.1 baxd1 baxd.ab 用定积分定义用定积分定义,即可证得即可证得.20 证证 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 baxxfd)(.d)(baxxg(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质性质4.2()4.2()baxxgxfd)()(.d)(d)(babaxxgxxf 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 21 证证 baxxkfd)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .d)(baxxfk性质性质4.2()4.2()性质性质4.2()4.2()和和性质性质4.2()4.2()称为称为线性性质线性性质.baxxkfd)(baxxfkd)().(为常数为常数k 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 22 补充补充 例例 cba 若若 caxxfd)(baxxfd)(baxxfd)(caxxfd)(bccaxxfxxfd)(d)(定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性)则则 性质性质4.34.3 cbxxfd)(cbxxfd)(假设假设 bca baxxfd)(axxfd)(.d)(bxxfcc不论不论a,b,c的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 23 证证,0)(xf0)(if),2,1(ni,0 ix0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 .0d)(baxxf性质性质4.44.4 如果在区间如果在区间a,b上上,0)(xf则则 baxxf0d)().(ba 4.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 所以所以 因为因为 因为因为 所以所以 所以所以 24 性质性质4.44.4的推论的推论1 1 证证),()(xgxf,0)()(xfxg0d )()(xxfxgba0d)(d)(babaxxfxxg如果在区间如果在区间a,b上上),()(xgxf 则则 babaxxgxxfd)(d)().(ba 于是于是.d)(d)(babaxxgxxf性质性质4.44.4 如果在区间如果在区间a,b上上,0)(xf baxxf0d)(则则).(ba 4.1 定积分的