哈尔滨工业大学《高等数学》课件-第六章 微分中值定理与导数的应用 (1).PPT

第第6 6章章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 )(xfy xyOABbaC1 2 D 6.1 微分中值定理微分中值定理 2 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数所以可借助导数来研究函数.但每一点但每一点 的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新还需架起新 的“桥梁”的“桥梁”.化率化率,6.1 微分中值定理微分中值定理 3 罗尔定理罗尔定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 小结小结 思考题思考题 作业作业 柯西中值定理柯西中值定理 6.1 微分微分中值定理中值定理 第第6章章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 推广 泰勒公式(第三节)mean value theorem 6.1 微分中值定理微分中值定理 4 本节的几个定理都来源于下面的明显的本节的几个定理都来源于下面的明显的 AB在一条光滑的平面曲线段在一条光滑的平面曲线段AB上上,至少有至少有 与连接此曲线两端点的弦与连接此曲线两端点的弦 平行平行.几何事实几何事实:一点处的切线一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于于x轴的切线轴的切线.有水平的切线有水平的切线 0)(fABxyO)(xfy 2 1 ABabC)()(bfaf 6.1 微分中值定理微分中值定理 5 罗尔定理罗尔定理(1)(2)(3),()(bfaf 罗尔罗尔 Rolle,(法法)1652-1719 ,),(内至少存在一点则在开区间ba使得使得.0)(f如如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(内可导内可导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理 若函数若函数 f(x)满足满足:在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;6.1 微分中值定理微分中值定理 6 费马引理费马引理 费马费马 Fermat,(法法)1601-1665 定义定义,如果对如果对 ),(0 xUx 有有 )()(0 xfxf),()(0 xfxf 或或.0)(0 xf那么那么 证证 对于对于),(00 xUxx 有有 )()(00 xfxxf 0,0 x若若xxfxxf )()(00,0 x若若;0;0)()(00 xfxxf xxfxxf )()(00,)(0存在存在且且xf 设函数设函数f(x)在点在点x0某邻域某邻域U(x0)内有内有 6.1 微分中值定理微分中值定理 7 费马引理费马引理 有定义有定义,如果对如果对 ),(0 xUx 有有 )()(0 xfxf),()(0 xfxf 或或.0)(0 xf那么那么 0limx )(0 xf)()(00 xfxf )(0 xf 由极限的保号性由极限的保号性,0 x若若xxfxxf )()(00,0,0 x若若.0 xxfxxf )()(00 )(0 xf 0limx 函数的函数的 驻点驻点(Stationary point),稳定点稳定点,临界点临界点(Critical point).0内内的某邻域的某邻域在点在点设函数设函数)()(00 xUxxf,)(0存在存在且且xf 6.1 微分中值定理微分中值定理 8.)(mMb 若若),(afM 设设,),(内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba.)(Mf 证证.)(mMa 若若.,)(mMbaxf和最小值和最小值有最大值有最大值在在.)(Mxf 则则.0)(xf得得),(ba )(f都有都有罗尔定理罗尔定理 若函数若函数 f(x)满足满足:(3),()(bfaf,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得.0)(f.0所以最值不可能同时在端点取得所以最值不可能同时在端点取得.使使,ba 有有),()(fxf 由由费马引理费马引理,.0)(f(1)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;费马引理费马引理 有定义有定义,如果对如果对 ),(0 xUx 有有 )()(0 xfxf),()(0 xfxf 或或.0)(0 xf那么那么 内内的某邻域的某邻域在点在点设函数设函数)()(00 xUxxf,)(0存在存在且且xf 6.1 微分中值定理微分中值定理 9 定理条件不全具备定理条件不全具备,1,010,)(xxxxf 1,1,|)(xxxf注注 结论不一定成立结论不一定成立.罗尔定理罗尔定理 若函数若函数 f(x)满足满足:(3),()(bfaf,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得.0)(f1xyO条件条件(1)不满足不满足.条件条件(2)不满足不满足.条件条件(3)不满足不满足.定理条件只是充分的定理条件只是充分的.(1)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;1,0,)(xxxfyxO11 yxO1 6.1 微分中值定理微分中值定理 10 定理条件只是充分的定理条件只是充分的.本定理可推广为本定理可推广为:设设y=f(x)在在(a,b)内可导内可导,且且 )(lim0 xfax)(lim0 xfbx 则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 使使 提示提示 )(xF设设axaf ,)0(bxaxf ,)(bxbf ,)0(证证 F(x)在在a,b上上满足罗尔定理满足罗尔定理.罗尔定理罗尔定理 若函数若函数 f(x)满足满足:;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得.0)(f注注 6.1 微分中值定理微分中值定理 11 例例 上上在在对函数对函数2,1,1074)(23 xxxxf证证(1),2,1)(上连续上连续在在 xf0)1(f(2),0)(xf方程方程),2,1(2 x其中其中定理的假设条件满足定理的假设条件满足)2(f 结论正确结论正确 有实根有实根即即07832 xx),374(311 x)374(312 x.符合要求符合要求验证罗尔定理的正确性验证罗尔定理的正确性.罗尔定理肯定了罗尔定理肯定了 的存在性的存在性,一般没必要知道一般没必要知道 究竟等于什么数究竟等于什么数,只要知道只要知道 存在即可存在即可.,)2,1(内可导内可导在在 6.1 微分中值定理微分中值定理 1.若函数若函数 f(x)满足满足:在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;使内至少存在一点证明在开区间,),(babafff)()()()()()()ln(lnafbffabxababfbafff)()()()(都是正数与ba(1)(2)(3)6.1 微分中值定理微分中值定理 2.若函数若函数 f(x)满足满足:在闭区间在闭区间0,1上连续上连续;在开区间在开区间(0,1)内可导内可导;使内至少存在一点证明在开区间,)1,0(1)()(ffe1)1(;0)0(ff 6.1 微分中值定理微分中值定理 3.若函数若函数 f(x)满足满足:在闭区间在闭区间0,1上连续上连续;在开区间在开区间(0,1)内可导内可导;使内至少存在一点证明在开区间,)1,0(1)()1(2f1)1(;21)0(ff 6.1 微分中值定理微分中值定理 15 例例 10155有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf,1)0(f且且 零点定理零点定理),1,0(0 x即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.(1)存在性存在性.3)1(f.0)(0 xf使使的正实根的正实根.6.1 微分中值定理微分中值定理 16,),1,0(011xxx 设另有设另有.0)(1 xf使使),(10之间之间在在所以至少存在一个所以至少存在一个xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但,0(2)唯一性唯一性)1,0(x因为因为f(x)在在x0,x1之间之间满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!所以为唯一实根所以为唯一实根.使得使得 6.1 微分中值定理微分中值定理 17 例例 满足条件满足条件设常数设常数nccc,10.01210 ncccn试证方程试证方程 010 nnxcxcc.)1,0(内存在一个实根内存在一个实根在在分析分析 注意到注意到:)12(1210 nnxncxcxc)(xf.10nnxcxcc 6.1 微分中值定理微分中值定理 18 证证 设设,12)(1210 nnxncxcxcxf,1,0)(上连续上连续在在xf0)0(f,)1,0(内可导内可导在在)1(f 且且 罗尔定理罗尔定理,)1,0(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在,0)(f使得使得即即 010 nnccc .为所求实根为所求实根即即 x满足条件满足条件设常数设常数nccc,10.01210 ncccn试证方程试证方程 010 nnxcxcc.)1,0(内存在一个实根内存在一个实根在在 6.1 微分中值定理微分中值定理 19 结论亦可写成结论亦可写成注注 拉格朗日拉格朗日 Lagrange(法法)1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得)()()(abfafbf ).()()(fabafbf 二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 若函数若函数 f(x)满足满足:(1)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导,6.1 微分中值定理微分中值定理 20 几何解释几何解释:分析分析 式变为式变为将将)()()(abfafbf abafbff)()()(定理的结论就转化为函数定理的结论就转化为函数 xabafbfxfxg )()()()(,),(内有点内有点在区间在区间ba,0)(的问题的问题使使 g化为罗尔定理化为罗尔定理.在该点处的切线在该点处的切线 平行于弦平行于弦AB.利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件找出一个满足罗尔定理条件 的函数的函数.在曲线弧在曲线弧AB上至少上至少 有一点有一点C,)()()(fabafbf ,0)(xfy xyOABbaC1 2 D 6.1 微分中值定理微分中值定理 21 证证 作作辅助函数辅助函数,)()()()(xabafbfxfxg 使得使得内至少存在一点内至少存在一点故在开区间故在开区间,),(ba abafbffg)()()()(由此得由此得)()(1)(bafabfabag 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.也成立也成立对对ab 且且)(bg 易知易知 g(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,微分中值定理微分中值定理 开区间开区间(a,b)内可导内可导,.0)()()(fabafbf ).)()()(abfafbf 6.1 微分中值定理微分中值定理 22 它表明了函数在两点处的函数值它表明了函数在两点处的函数值)()()(abfafbf 的单调性及某些等式与不等式的证明的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有在微分学中占有 极重要的地位极重要的地位.与导数间的关系与导数间的关系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数尤其可利用它研究函数 6.1 微分中值定理微分中值定理 23 证证).(21xx ,arctan)(xxf 如果如果f(x)在某区间上可导在某区间上可导,常就想到微分中值定理常就想到微分中值定理.记记,arctanarctan1212xxxx ,21上上在在xx利用微分中值定理利