复旦大学《大学物理》课件-第七章 振动(1).pptx

LC振动有各种不同的形式：振动有各种不同的形式：机械振动机械振动 振动：振动：物理系统受到外界扰动时物理系统受到外界扰动时，系统状态在平系统状态在平衡态附近往复变化周期运动衡态附近往复变化周期运动。广义振动：广义振动：物理量（如位移、电流等）物理量（如位移、电流等）在某一数值在某一数值附近反复变化。附近反复变化。电磁振动电磁振动 微观振动微观振动(如晶格点阵上原子的振动如晶格点阵上原子的振动)etc)etc 机械运动机械运动 振动分类振动分类 受迫振动受迫振动 自由振动自由振动 阻尼自由振动阻尼自由振动 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动 (简谐振动简谐振动)无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动 I振动的描述与振动的描述与简谐振动简谐振动 振动的定义：随时间作周期性重复变化的物理 过程 origin：restoring force example:spring,pendulum,lattice vibrations 如何描述振动：位移 x(t)1D 速度vx 加速度 ax 能量 E=Ek+EP 参量 振幅 A maximum displacement from equilibrium 周期 T 或 频率f 相位 0cosx tAt 0cos 2x tAft 02cosx tAtT1.Simple harmonic oscillation 定义：物理量随时间按正弦或余弦规律变化的过程。位移函数表示法 A amplitude 最大位移量为A =2f=2/T angular frequency (arc/s)f frequency(1/s=Hz)T period(s)0 初相位 0sindxv tAtdt 0cos2At 2202cosd xa tAtdt20cosAt tx图图 tv图图 ta图图 TAA2A2AxvatttAAoooTT 0cosx tAt00 x)cos(tAxAx0 t+2.简谐振动的矢量表示法和复数表示法 矢量表示：简谐振动可以表示为一个矢量OA在xy平面内绕O点作逆时针方向的匀速转动时，A点在x轴上的投影。)cos(tAx 旋转旋转 矢量矢量 的的 端点在端点在 轴上的投轴上的投 影点的运影点的运 动为简谐动为简谐 运动运动.xA)cos(tAx 0cosx tAt 0itx tAe辐角000cossinitetit的实部即为 复数表示：将xy平面看作一个复平面 矢量端点对应于一个复数 （包含模和辐角）x t x t的三角函数表示 优点：求导，积分，加减等运算方便优点：求导，积分，加减等运算方便 22d xmkxdt 22020d xxdt20km0km 00cosx tAtA和0由初始条件给出 2 弹性系统的自由振动弹性系统的自由振动 1一维弹簧振子 弹簧的恢复力 f=-kx k-force constant(劲度系数)(N/m)Equation of motion General solution m/xo由振子性质确定固有周期由振子性质确定固有周期 初始条件确定初始条件确定 A 和和 0：00cos()xAt0000000cos sinttxxAvvA 220020vAx0000tanvx 注意：注意：由上式和由上式和 共同确定共同确定。000cosxA讨论讨论 x m o o A-A t x A =0 x0=A T o x o A-A t x m =/2 x0=0 T o A-A t x x m o-A =x0=-A T m o x o A-A t x =-/2 x0=0 T(或或3/2)振动状态振动状态 振子振动状态振子振动状态由由 m 的位置和速度表征的位置和速度表征 速度速度 00cos()xAt振动方程（振动式）振动方程（振动式）加速度加速度 ddxvt000cos()2At000sin()At 22ddxat2000cos()At 2000cos()At也是简谐振动也是简谐振动 v比比x领先领先/2 也是简谐振动也是简谐振动 速度速度 加速度加速度 o T t x、v、a x 2A v 0 0 0 a 0 0 0 减速减速 加速加速 减速减速 加速加速 A A-A-A-2A v a 00()cos()2vv tAt220002dcosdxaAtt 22200011sin22kdxEtmmAtdt2001sin2kAt 220011cos22pEtkxkAt222011()()()22kptttkm 弹簧振子的能量 动能 势能 1234560.20.40.60.81EP(t)EK(t)T/2 T mxmx221mkxUKEEK(x)EP(x)x 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒!能量守恒 简谐运动方程 推导 常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx例例 由由x-t曲线求振动方程。曲线求振动方程。1 3 6 t o x(cm)/256cos()63xt1 3 6 t o x(cm)解：解：设设 x=Acos(t+)0136cos 06cos()ttxx0sin0vA 3 2()23 56cos1/2,cos()01sin()0vA sin()0/2 2(0,1,2,.)k k mg O l T 单摆单摆 2.Single pendulum,Compound pendulum glT2绳长l massless,inextensible,frictionless small enough sin (5o 0.3 rad)当当振幅很小时振幅很小时，单摆的振动为简谐振动。，单摆的振动为简谐振动。Quasi 1-D restoring force f=-mgsin-mg=-mgx/l k=mg/l,02=k/m=g/l 0=g/l 单摆实验 可以测g 复摆（物理摆）复摆（物理摆）当振幅很小时，振动为简谐振动。当振幅很小时，振动为简谐振动。2mcITgr2sincMrmg crmgcr mg 22zdIMdt220cmgrddtI000cost0cmgrIO 固定点 C center of mass torque Equation of motion 例例 半径为 r 的小球在半径为R的半球形大碗内作纯滚动，这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。设小球质心速度vC，角速度 机械能守恒 0222121)cos1)(EImvrRmgCC252mrIC)(rRvCCvr两边对两边对t求导求导 0sin)(75rRg 其中 小角度时的周期 grRT5)(722弹簧的串联和并联 串联公式：1/k=1/k1+1/k2 并联公式：k=k1 +k2 k1 k2 k1 k2 等效劲度系数等效劲度系数（ke）efk x f:恢复力恢复力 x:偏离平衡位置的位移偏离平衡位置的位移 0ekm例：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：串联公式：1/k=1/k1+1/k2 因为 k1=k2，所以 1/k=1/k1+1/k1=2/k1 故 k1=k2=2k k1 k2 并联公式：k=k1 +k2 =2k+2k=4k k1 k2 例 小球A，B，B在光滑的水平面上沿一直线静止放置。B，B质量相同，中间用轻弹簧连接，弹簧处于自由长度状态。让A对准B匀速运动，弹性碰撞后，接着又观测到A和B两球发生一次相遇不相碰事件，试求A和B两球的质量比。ABB设B的质量为m，A的质量便是m 第一阶段是弹性碰撞 第二阶段：A做匀速直线运动；B，B 的质心做匀速直线运动，B，B 相对质心作简谐振动。0v弹性碰撞 2022021)0(2121,)0(mvmvmvmvmvmvBABA0012)0(,11vvvvBAB的直线运动=匀速运动+简谐振动 B，B的质心做匀速直线运动 01)0(21vvvBcB相对质心的初速度 01)0()0(vvvvcBB简谐振动的频率 mk/2简谐振动的初始条件 01)0(,0)0(,0vvxtBBB相对质心的简谐振动 tmkkmvxB2sin210B的运动 000012cos112sin21vtmkvvvvtvtmkkmvtvxxcBBcBBA做匀速直线运动 0011,11vvtvxAA在某时刻，A和B相遇不相碰的条件：)()(),()(0000tvtvtxtxBABA整理后得到 21,11tan222数值计算 60.4 ,494.41230 例：例：边长边长 、密度、密度 的木块的木块 浮在大水槽的表面上，今把木块完全压入水浮在大水槽的表面上，今把木块完全压入水 中，然后放手，如不计水对木块的阻力，问中，然后放手，如不计水对木块的阻力，问 木块将如何运动？木块将如何运动？0.25lm3800kg m木木块的运动是平动，所以木块的运动是平动，所以 可用它上面任一点来描述，可用它上面任一点来描述，现在我们选现在我们选Q点来描述木点来描述木 块的运动。块的运动。Q不一定是质不一定是质 心，但整体的平动可用心，但整体的平动可用Q 作代表点。作代表点。解：选水面上一点解：选水面上一点O为坐标原点；平衡时，木块浮在为坐标原点；平衡时，木块浮在 水面，木块上水面，木块上Q点与点与O 重合。其顶部至水面距重合。其顶部至水面距 离为离为 。aOQabxbQxO31 0.25 8000.201000lbm木水0.05albm SlgSbg木水由题意：由题意：设木块横截面积为设木块横截面积为S，根据阿基米德定律根据阿基米德定律,平衡时：平衡时：lab任一时刻任一时刻 OQ=x，木块受力，木块受力 有重力和浮力不相等，其合有重力和浮力不相等，其合 力为做简谐振动的恢复力，力为做简谐振动的恢复力，称为准弹性力。称为准弹性力。xbQxO()S bxgSlg水木浮力重力lSgSxgSlg木水水木水Sxg 水32 22cd xmSxgdt 水设质心与设质心与Q的距离为的距离为 ,质心的位置质心的位置 。其动力学方程即为质心的运动方程：其动力学方程即为质心的运动方程：cxxhh将质心坐标代入可知从将质心坐标代入可知从 质心运动过渡到刚体上质心运动过渡到刚体上 任一点平动是等价的。任一点平动是等价的。22SxgSxggd xgxxdtmSllb 水水水木木mxSxg 水mgSlg木lb木水木块简谐振动木块简谐振动 的动力学方程：的动力学方程：(/)xg b x 33 得木块的运动方程：得木块的运动方程：00()cos()x tAt109.87.00.20gsb由初始条件：将木块完全压入水中由初始条件：将木块完全压入水中 其中固有角频率：其中固有角频率：22200200.050.00.05VAxm00.05;xm 0;t 00V 00000.0Vtgx00 x 00舍去舍去：0()0.05cos(7.0)x ttm所以：所以：(/)xg b x