国防科技大学《高等数学》课件-第16章.pdf

第79讲 柱坐标系下三重积分的计算问题的引入如何计算神舟飞船返回舱的体积？第79讲 柱坐标系下三重积分的计算主要内容空间上点的柱坐标表示柱坐标下三重积分的计算第79讲 柱坐标系下三重积分的计算空间上点的柱坐标表示?柱坐标：(1)是点在面上投影点的极坐标.(2)是直角坐标系的竖坐标.称有序三元数组为点 的柱坐标空间一点 的直角坐标为第79讲 柱坐标系下三重积分的计算空间上点的柱坐标表示?直角坐标与柱坐标之间的关系：第79讲 柱坐标系下三重积分的计算空间上点的柱坐标表示柱坐标系中的坐标面：oxyzzo圆柱面常数半平面常数(,)Mz 平面常数柱坐标系中，空间中点的位置由以上三个坐标曲面确定.第79讲 柱坐标系下三重积分的计算空间上点的柱坐标表示例1试将下列区域的边界曲面用柱坐标方程表示.(1)由旋转抛物面?和平面围成的区域.(2)由上半球面?、圆柱面?和平面围成的空间区域.?1抛物面?的柱坐标方程?平面的柱坐标方程第79讲 柱坐标系下三重积分的计算空间上点的柱坐标表示?1?2半球面?圆柱面?例1试将下列区域的边界曲面用柱坐标方程表示.(1)由旋转抛物面?和平面围成的区域.(2)由上半球面?、圆柱面?和平面围成的空间区域.第79讲 柱坐标系下三重积分的计算柱坐标下三重积分的计算?取上密度近似为处密度，即?的实际背景为体密度的空间立体 的质量.对应的体积近似为第79讲 柱坐标系下三重积分的计算柱坐标下三重积分的计算(,)d(,)d ddf x y zVFzz 三重积分的柱坐标形式一般适用范围:(1)积分域表面用柱坐标表示时方程简单;(2)被积函数用柱坐标表示时变量互相分离.(cos,sin,)ddd.fzz 第79讲 柱坐标系下三重积分的计算柱坐标下三重积分的计算(1)画图.画出 草图，将 投影到面，得到投影区域；(2)确定-积分限.在投影区域任取一点，作平行于 的直线穿过区域确定，描述的-积分限：?假设积分区域 是关于 轴简单的区域，则柱坐标系下三重积分转化为累次积分的基本步骤为：?,?第79讲 柱坐标系下三重积分的计算柱坐标下三重积分的计算假设积分区域 是关于 轴简单的区域，则柱坐标系下三重积分转化为累次积分的基本步骤为：(3)确定-积分限.从 轴出发作射线，逆时针旋转扫描区域，确定 的积分限：(4)确定-积分限.从原点出发在范围内作射线穿过区域确定的积分限：?第79讲 柱坐标系下三重积分的计算柱坐标下三重积分的计算假设积分区域 是关于 轴简单的区域，投影区域可以用极坐标描述时，可得柱坐标的积分限为将被积函数转化为极坐标形式，则有柱坐标系下的累次积分：2211()(,)()(,)(,)ddd(cos,sin,)d.zzf x y zVfzz?第79讲 柱坐标系下三重积分的计算柱坐标下三重积分的计算1例2计算由旋转抛物面?分别与平面和平面所围成的立体的体积.?1?1?第79讲 柱坐标系下三重积分的计算柱坐标下三重积分的计算1?例2计算由旋转抛物面?分别与平面和平面所围成的立体的体积.?1?第79讲 柱坐标系下三重积分的计算柱坐标下三重积分的计算例3计算三重积分?，其中 为由柱面?及平面所围成的区域在第一卦限中的部分?1?第79讲 柱坐标系下三重积分的计算柱坐标下三重积分的计算?1?例4 计算三重积分d?，其中 由曲面?及?所围成的闭区域.第79讲 柱坐标系下三重积分的计算柱坐标下三重积分的计算()(,)dd(,)d.baD zf x y zVzf x y z三重积分计算的先二后一 一 截面法21(,)(,)(,)dd(,)d.xyzx yzx yDf x y zf x y zz三重积分计算的先一后二 一 投影法三重积分计算的描述形式柱坐标使用极坐标求解第80讲 球坐标系下三重积分的计算问题的引入柱坐标系下三重积分的计算第80讲 球坐标系下三重积分的计算主要内容空间上点的球坐标表示球坐标系下三重积分的计算第80讲 球坐标系下三重积分的计算空间上点的球坐标表示?球坐标：空间上点 的直角坐标为(1)是点 到原点的距离；(2)是与 轴正向的夹角；(3)是在面上的投影与轴正向的夹角.称有序三元数组为点 的球坐标第80讲 球坐标系下三重积分的计算空间上点的球坐标表示直角坐标与球坐标的关系：?.?，?第80讲 球坐标系下三重积分的计算空间上点的球坐标表示,球坐标系中的坐标面：球面常数半锥面常数半平面常数球坐标系中，空间中点的位置由以上三个坐标曲面确定.第80讲 球坐标系下三重积分的计算空间上点的球坐标表示例1将下列曲面方程用球坐标表示.(1)?；(2)?.【例1解】(1)将代入方程?得?即(2)代入方程?得?第80讲 球坐标系下三重积分的计算球坐标下三重积分的计算对应的体积近似为?取上密度近似为处的密度，其中?的实际背景为体密度的空间立体 的质量.?,?,?sin?sin?d?d?d?d?d?第80讲 球坐标系下三重积分的计算球坐标下三重积分的计算2(,)d(,)sind ddf x y zVF rrr 三重积分计算的球坐标表示一般适用范围:(1)积分域表面用球坐标表示时方程简单;(2)被积函数用球坐标表示时变量互相分离.2(sincos,sinsin,cos)sindddf rrrrr 第80讲 球坐标系下三重积分的计算球坐标下三重积分的计算化为球坐标下累次积分，总是先对 积分，再对 积分，最后对 求积分：2(,)d(,)sind ddf x y zVF rrr 第一步:作图.作出区域和它在面的投影区域图.第二步:确定-积分限：第80讲 球坐标系下三重积分的计算球坐标下三重积分的计算2(,)d(,)sind ddf x y zVF rrr 第三步:确定-积分限：用球坐标计算三重积分，总是先对，在对，最后对 求积分：?(?)?(?)?第二步:确定-积分限：第80讲 球坐标系下三重积分的计算球坐标下三重积分的计算2(,)d(,)sind ddf x y zVF rrr 第四步:确定-积分限：用球坐标计算三重积分，总是先对，在对，最后对 求积分：?第80讲 球坐标系下三重积分的计算球坐标下三重积分的计算三重积分在球坐标系下的累次积分2(sincos,sinsin,cos)sindddf rrrrr(,)df x y zV2211()(,)2()(,)dd(sincos,sinsin,cos)sindrrf rrrrr?第80讲 球坐标系下三重积分的计算球坐标下三重积分的计算例2计算三重积分?，其中 为锥面?与球面?所围立体.4积分区域 的球坐标描述：第80讲 球坐标系下三重积分的计算球坐标下三重积分的计算例3计算三重积分?，其中 是由两个球面?()所围成的部分?：第80讲 球坐标系下三重积分的计算球坐标下三重积分的计算?2?例3计算三重积分?，其中 是由两个球面?()所围成的部分第81讲 重积分的一般变换问题的引入?问题：设平面闭区域 由?和?以及和?所围成，求 的面积.?第81讲 重积分的一般变换问题的引入In10:=Integrate 1,x,1623,1323,y,12x,3 x2Integrate 1,x,1323,1223,y,12x,xIntegrate 1,x,1223,1,y,x2,xOut10=16用Mathematica计算：第81讲 重积分的一般变换主要内容重积分的一般坐标变换公式广义极坐标与广义球坐标一般变换的例子第81讲 重积分的一般变换重积分的一般坐标变换公式设为?上的单调连续可微函数，在构成的闭区间?上连续，其中?，如果；?，如果；定积分换元法则有如下定积分换元公式?第81讲 重积分的一般变换重积分的一般坐标变换公式?第81讲 重积分的一般变换重积分的一般坐标变换公式则有定理 设在面上的闭区域?上连续，一对一的变换将平面上的闭区域?变成?，且满足(1)在?上具有一阶连续偏导数；?(2)在?上雅可比行列式二重积分换元法第81讲 重积分的一般变换重积分的一般坐标变换公式?第81讲 重积分的一般变换重积分的一般坐标变换公式例如，二重积分直角坐标转化为极坐标时，?第81讲 重积分的一般变换重积分的一般坐标变换公式例如,三重积分直角坐标转化为球坐标时,?第81讲 重积分的一般变换广义极坐标与广义球坐标例1计算?，其中积分区域为?.广义极坐标变换第81讲 重积分的一般变换广义极坐标与广义球坐标例2试计算椭球体的体积.?广义球坐标变换?第81讲 重积分的一般变换一般变换的例子例3计算抛物线所围成闭区域的面积.311/41?第81讲 重积分的一般变换一般变换的例子例4试计算?，其中?第82讲 重积分的应用问题的引入几何意义：以区域 为底、曲面为顶的曲顶柱体体积物理意义：占有区域 且以为面密度的平面薄片的质量 三重积分：?二重积分：几何意义：当，表示占有空间域的立体体积物理意义：表示占有空间域，并以为体密度的立体质量第82讲 重积分的应用主要内容平面薄片与立体的质心转动惯量物体对质点的引力第82讲 重积分的应用平板与立体的质量yyyyyyP刚性轴上的质点组的质心刚性平面上的质点的质心静矩等效：?第82讲 重积分的应用平面薄片与立体的质心设平面上有 个质点,分别位于?，其质量分别为?，称?为质点分别对 轴、轴的静矩.平面上的质点系的质心坐标为,.nnxkkykkkkMm yMm x11,yxMMxyMM质点系对两坐标轴的静矩依次为nkkMm1第82讲 重积分的应用平面薄片与立体的质心,nkkknkkx mxm11,nkkknkky mym11.nkkknkkz mzm11设空间有 个质点,分别位于?，其质量分别为?，则该质点系的质心坐标为111,nnnkkyzkkxzkkxykkkm xMm yMm zM其中分别表示该质点系对坐标面，的静矩.第82讲 重积分的应用平面薄片与立体的质心?例1设半径为 的半圆形薄片在每一点的面密度与该点到圆心的距离成正比，求该薄片的质心?第82讲 重积分的应用平面薄片与立体的质心例2求均匀半球壳?的质心(形心)z设密度为常数，则质量为?第82讲 重积分的应用转动惯量质量为的质点与轴的距离为,则该质点绕轴旋转的转动惯量为?mr设物体占有空间区域 ,有连续体密度函数 第82讲 重积分的应用转动惯量质量为的质点与轴的距离为,则该质点绕轴旋转的转动惯量为?因此物体对轴的转动惯量：xyoz微元对轴的转动惯量为设物体占有空间区域 ,有连续体密度函数?.d?第82讲 重积分的应用转动惯量222()(,)doIxyzx y zV对轴的转动惯量对轴的转动惯量对原点的转动惯量22()(,)dxIyzx y zV22()(,)dyIxzx y zV说明：使得?成立的?称为物体关于相应轴的旋转半径.其中d?为物体的质量.第82讲 重积分的应用转动惯量如果物体是平面薄片，面密度为，则转动惯量的表达式是二重积分.22(,)d()oDxyIx yxDyo|x|y2(,)dxDIx yy2(,)dyDIx yxdd第82讲 重积分的应用转动惯量例3设半径为R的半圆形薄片在每一点的面密度与该点到圆心的距离成正比，求该薄片关于其直径的转动惯量和旋转半径.?对轴的转动惯量第82讲 重积分的应用物体对质点的引力xyxxd设物体占有空间区域 ,有连续体密度函数 微元对位于原点的质量的质点引力dd?该引力在坐标轴方向的分量大小为(,)ddyx y z yGmVr3F(,)ddzx y z zGmVr3F(,)ddxx y z xGmVr3F rxyzG222为引力常数第82讲 重积分的应用物体对质点的引力3=ddxxxaGmVrFF3=ddyyybGmVrFF3=ddzzzcGmVrFF物体对位于点的质量的质点引力?其中?第82讲 重积分的应用物体对质点的引力例4求高为、底半径为 且密度均匀的圆柱体，对圆柱底面中心一单位质点的引力 z?d?d?引力在z轴方向的分量大小