湖南大学《高等数学》课件-第五章导数与微分.pdf

导数与微分的应用导数与微分的应用函数的单调性与极值函数的单调性与极值aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0，则 f(x)在a,b上严格单调增；(2)若 x(a,b)有 f(x)0 时，有 x ln(1+x)y=f(x)f(x)0例例6.已知f(x)在0,+)上连续，且f(0)=0.若f(x)在(0,+)内存在且严格单调增加，证明函数 在(0,+)内严格单调增加.xxf)(.),(sin 内有且仅有一个实根在证明：方程 xx,),(sin)(xxxxf令 ,01cos)(,),()(xxfCxf则,0)(,)(2 xfZkkx时且仅当.)(仅在孤立点处为零即xf),(sin)(xxxf从而 ().yf xx曲线与轴最多有一个交点证例例7lim()lim(sin),xxf xxx 而 ,)(sinlim)(limxxxfxx.)(,轴至少有一个交点与曲线由连续性xxfy .),(sin 内有且仅有一个实根在即方程 xx.)3(是单调减少的数列证明：nnxnn,),3 ,)(1xxxfx令21ln1)(xxxxfx,3 时当 x,0)(xf,)(),3xf故 .)3(,:nxn由此可得利用函数处理数列证例例8导数与微分的应用导数与微分的应用y y=f(x)x0f(x)f(x0)定义定义1.设 f(x)在U(x0)内有定义.若)(0 xUx(极小值).(极小值点).点 x0 称为极大值点有导数与微分的应用导数与微分的应用定理定理1.(Fermat)若f(x)在x0可导,且在 x0 取得极值,则 f (x0)=0.使 f(x)为零的点称为f(x)的驻点驻点.极值极值的概念的概念是一个是一个局部局部性性的概念的概念.abx1x2x3x4y=f(x)xyO ,I )(内有定义在区间设xf处且在0 xx),(0 xf取极大值则有)(U )()(00 xxxfxf则存在若 ,)(0 xf ,0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx ,0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx于是.0)(0 xf（极小值类似可证）)(是特殊情况Cxf证证导数与微分的应用导数与微分的应用(1)可导函数的极值点必是驻点.但其逆命题不成立.(2)连续函数在其导数不存在的点处,也有可能取得极值.0yxy=|x|0yxy=x3例如y=x3在x=0处不取极值.例如y=|x|在x=0处有极小值 f(0)=0.Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x极大点极小点极大点极小点不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x不是极值点Oxy0 x0 x0 x极小点不是极值点Oxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 xOxy0 x0 x0 x极大点通过观察以上的图形你得到什么结论？判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号.两侧函数的单调性.导数与微分的应用导数与微分的应用0yxx00yxx0(1)当 x0,当 xx0时,f(x)0,则f(x)在 x0 处取极大值;(2)当 xx0 时,f (x)x0时,f (x)0,则f(x)在x0处取极小值.定理定理2.(极值判别条件I)设f(x)C(U(x0),在(x0)内可导.若在(x0)内证 :,)(U0由已知条件可知xx .)(条件满足拉格朗日中值定理函数xf,0时于是xx 使 ,),(01xx)()()(010 xxfxfxf使 ,),(02xx)()()(020 xxfxfxf,0时xx 由定理中(2)的条件,得,0时xx,)()(0 xfxf,0时xx,)()(0 xfxf.)(,)(00为极大值的极大点为故xfxfxOxy0 x由定理中(2)的条件,得,0时xx,)()(0 xfxf,0时xx,)()(0 xfxf.)(,)(00为极小值的极小点为故xfxfxOxy )U(,00内就是在是否为函数的极值点判别点xx.)()(0的大小与比较函数值xfxf泰勒公式泰勒公式 也体现了想想还有哪一个公式中?比较关系的与)()(0 xfxf ,)1()U()(0则阶导数内有直到在设nxxf .)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnnkkk)()(!2)()()()(200000 xRxxxfxxxfxfxfn 即.,0会是驻点如果 x :回忆泰勒公式看这一部分)(o)(!2)()()(202000 xxxxxfxfxf)(o)(!2)()()(202000 xxxxxfxfxf ,对于驻点如果函数的二阶导数存在则 利用函数在00 xx点处的二阶导数符号来判别点是否是极值点。(1)当 f(x0)0 时,f(x)在 x0 取极小值.定理定理3.(极值判别条件II)设f(x)在U(x0)内二阶可导.且 f(x0)=0,f(x0)0.则 .)(,0)()3(00的极值点是否为不能判定时xfxxf 0(1)()00000()()000004(III)()(2)()()()0,()0,1)()()0()0,nnnnf xxn nfxfxfxfxnxf xfxxfxxnx定理极值判别设函数在 处有直到阶导数，且而则当 为偶数时，必是的极值点，且时，为极小值点；时为极大值点；2)当 为奇数时，不是极值点。注：借助更高阶的泰勒公式来证明.)1()(322的极值求 xxf,),()(xxf的定义域：3312)1)(1(342)1(32)(xxxxxxf,0 ,0)(xxf得驻点令,)(,1 ,1 不存在时又xfxx .1 ,0 ,1 xxx极值可疑点为故列表讨论单调性,判别极值:解例例1xyy)1,(1)0 ,1(0)1 ,0(1),1(极小极小极大的极小点为：)(xf;1 ,1xx极小值为：.0)1(,0)1(ff的极大点为：)(xf;0 x极大值为：.1)0(f自己总结求极值的步骤03)1)(1(34)(xxxxf.12)(3的极值求xxxf,),()(xxf的定义域：123)(2xxf)2)(2(3xx0)(xf令,2 ,2 xx驻点,6)(xxf 又,012)2(f,16)2(,2 fx极大值为极大点故,012)2(f,16)2(,2fx极小值为极小点解例例2.1)1()(32的极值求 xxf,),()(xxf的定义域：22)1(6)(xxxf得驻点令 ,0)(xf,1 ,0 ,1xxx1)(5)1(6)(22 xxxf又,06)0(f,)(0 的极小点是xfx.0)0(f极小值,0)1(,0)1(ff而怎么办？解例例3首先看看函数的图形.Oxy11由图形可知:1x不是函数的极值点.问题在于如何进行解析描述.我们再看一下泰勒公式：200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!3)(3300 xRxxxf ,0)(,0)(,000存在时且为驻点 xfxfx)()(0 xfxf)()(!3)(3300 xRxxxf ,)()(,00此时左右两边反号在显然xxfxf .0处不取极值函数在x ,)(U()(00有三阶导数在设xxCxf 0)(,0)(,)(000 xfxfxfx的驻点为且.0不是函数的极值点则 x就是说：,),()(baCxf若上必在则 ,)(baxf取到它的最大值和最小值.内在如果),()(baxf取得其最大值和最小值,则这些最值一定是函数的极值.)(xf的最大值和最小值可能在区间的端点,处取得bxax也可能在区间内部取得.函数的最值与优化函数的最值与优化导数与微分的应用导数与微分的应用 x1,x2,xn(a,b)是 f(x)的驻点(或导数不存在的点),则Oabx1x2x3x4x5y=f(x)xy设 f(x)C(a,b),)(,),(),(),(max)(max1,nbaxxfxfbfafxf)(,),(),(),(min)(min1,nbaxxfxfbfafxf .2 ,2 52)(24上的最大和最小值在求xxxfxxxf44)(3)1)(1(4xxx ,0)(xf令:得极值可疑点)(,1 ,0 ,1驻点xxx计算函数值:;4)1(,5)0(,4)1(fff ,13)2(,13)2(ff(端点值)解例例1 :2 ,2 )(上的最大值和最小值为在故xf13 13,13,4 ,5 ,4maxmaxy4 13,13,4 ,5 ,4minminy .2 ,2 :xx最大值点为.1 ,1 :xx最小值点为用薄铁片冲制圆柱形无盖容器,要求它的容积一定，问应如何选择它的半径和高度，才能使用料最省？设容积(体积)为 V,半径为 r,高为 h.用料最省即指容器的表面积 A 最小.2 2hrrA故hrV22rVhrVr22得令 ,022dd 2rVrrA,3Vr 解例例2 ,3的唯一极值可疑点是因为AVr ,3的最小点为所以AVr 如果不放心,可用二阶导数进行判断.某出版社出版一种书,印刷 x 册所需成本为)(525000元xy每册售价 p 与间有经验公式 x)301(61000px假设书可全部售出,问应将价格 p 定为多 少才能使出版社获利最大？例例3解则表示获利以,QyxpQ由经验公式,得20030 xp于是)5(25000)20030(xxxQ 05200)20030(xxQ令得唯一极值可疑点 ,)(2500 册x,1001 Q又 ,2500 为极大点故x即为 Q 的最大点.从而应将价格 p 定为)(5.17200250030)20030(2500元xxp此时最大获利为2500max)525000()20030(xxxxQ)(6250 元将一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁.问应如何选择矩形截面 的高 h 和宽 b才能使梁的抗弯截面模量W最大？dhb由力学知识,梁的抗弯截面模量为261hbW 由右图可以看出：.),0(222dhbbdh解问题归结为求函数 W 的最大值：.)(6122bdbW例例4 .31 ,0)3(61 22dbbdW得驻点令由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,故当,31 db ,32 时dh.1:2:3:,bhd此时梁的抗弯截面模量最大.,1 ,10 时当证明：px .1)1(211pppxx,1 ,0 ,)1()(xxxxfpp记,0)1()(11ppxppxxf令,21 x得驻点xyy)1/2 ,0()1 ,2/1(极小02/1例例5)2/1(,)1(,)0(maxmaxffff,121 ,1 ,1max1p)2/1(,)1(,)0(minminffff ,)1(2121 ,1 ,1min11ppp ,)(,1 ,10 maxminfxffpx时故当.1)1(21 1pppxx即 与端点值比较导数与微分的应用导数与微分的应用函数的凸性及其判别函数的凸性及其判别oxyy=x2xy 导数与微分的应用导数与微分的应用oxyx1x2221xx f(x1)f(x2)2(21xxf2)()(21xfxf在曲线 y=f(x)上任取两点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)，AB点x1和 x2的中点为 ，221xx 则曲线弧上对应点纵坐标为；)2(21xxf而弦上对应点的纵坐标为2)()(21xfxf于是对于任两点 A,B 恒有2)()()2(2121xfxfxxf导数与微分的应用导数与微分的应用x1x2221xx f(x1)f(x2)2(21xxfoxy2)()(21xfxfAB这时对于任两点 A,B恒有2)()()2(2121xfxfxxf定义定义1 设 f(x)C(I).若x1,x2 I 恒有2)()()2(2121xfxfxxf则称函数 f(x)在 I 上是下凸的.)2)()()2(2121xfxfxxf(上凸的).若不等号(、)换成()则称为严格下凸(上凸).导数与微分的应用导数与微分的应用oxyx1x2xf(x1)f(x2)()1()(21xftxtfAB)1(21xttxf一般地，若取 t(0,1)，可得(x1,x2)内一点txxxx)(12221)1(xttx则曲线弧上对应点纵坐标为)1(21xttxf而弦上对应点纵坐标为)()1()()(211