国防科技大学《高等数学》课件-第15章.pdf

第73讲 条件极值问题的引入?函数的极大值为所给条件的极大值为第73讲 条件极值主要内容条件极值的概念条件极值的几何判定拉格朗日乘子法第73讲 条件极值条件极值的概念极值问题无条件极值:条 件 极 值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如，求在条件下的极值.称为目标函数，方程为约束条件,变量为决策变量.条件极值第73讲 条件极值条件极值的几何判定?增大切线?/?/?第73讲 条件极值条件极值的几何判定例1试根据几何图形观察、分析函数在圆周?上的极值点，根据几何图形关系求条件极值.减小增大极小值点极大值点单位圆周?的法向量?等值线的法向量?/?第73讲 条件极值拉格朗日乘子法?增大切线?/?第73讲 条件极值拉格朗日乘子法?引入辅助函数拉格朗日函数拉格朗日函数在?取极值的必要条件是：参数 称为拉格朗日乘子?上述求条件极值的方法称为拉格朗日乘子法第73讲 条件极值拉格朗日乘子法 拉格朗日乘子法的分析推导假设条件极值问题的极值点为?如，函数在条件下取极小值方程确定隐函数，则有?函数在?处取得极小值?第73讲 条件极值拉格朗日乘子法总结 如果在条件下，在?取得极值，那么存在实数?，使得?是拉格朗日函数的驻点，即满足方程组拉格朗日乘子法?求条件极值无条件极值第73讲 条件极值拉格朗日乘子法例2求利用拉格朗日乘子法求函数在圆周?上的极值.例3在抛物线?上求一点使它到原点的距离最近-1123452468第73讲 条件极值拉格朗日乘子法例4(容积最大化问题)某加工厂对于已经做好的高度为1米的无盖长方体容器需要在内表面涂上一层金属涂料.根据预算，分配给每个箱子的涂料只能涂满 平方米的表面积.试问，在保证内部能够涂满涂料的同时，如何使得它们的容积最大？求的最大值.满足如下约束条件：第74讲 极值的应用问题的引入第74讲 极值的应用问题的引入第74讲 极值的应用问题的引入第74讲 极值的应用主要内容多个约束条件的极值条件极值方法的应用最小二乘法第74讲 极值的应用多个约束条件的极值(1)代入法，直接转换为一元函数的无条件极值；(2)拉格朗日乘子法.构造拉格朗日函数求二元函数在条件下的极值的方法：解如下方程组求驻点.?第74讲 极值的应用多个约束条件的极值求函数在条件 下的极值.多个约束条件的条件极值问题构造拉格朗日函数?第74讲 极值的应用多个约束条件的极值例1平面交圆柱面?成一个椭圆，求这个椭圆上离原点最近和最远的点椭圆交线的半长轴和半短轴分别为和.第74讲 极值的应用条件极值方法的应用例2求函数?在区域?上的最大值和最小值 求函数在有界闭区域上的最值第74讲 极值的应用条件极值方法的应用 证明不等式例3总和等于常数的个非负实数，它们的乘积的最大值为多少？?求 元函数?对如下条件的极大值条件极值问题：?A-G不等式第74讲 极值的应用最小二乘法通过对试验数据进行分析，找出数据满足或者近似满足的关系式的过程称为数据拟合，拟合出来的关系式通常称为经验公式已知一组实验数据?,求它们的近似函数关系.?第74讲 极值的应用最小二乘法需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准 实验数据有误差，不能要求?.偏差?，可由偏差平方和最小来确定函数.min()niiiyf x20最小二乘法第74讲 极值的应用最小二乘法当数据点分布近似一条直线时,确定，使满足令解此线性方程组即得.,(,)min()nkka bkM a byaxb20第74讲 极值的应用最小二乘法令解此线性方程组即得.()nnkkkkxanby001当数据点分布近似一条直线时,确定，使满足,(,)min()nkka bkM a byaxb20称为回归直线第74讲 极值的应用最小二乘法()()nknkkpxa xnm0mmmnkkkkkkmmmmnkkkkkkkkknmmmmnnnnkkkkkkkkkmxxxaxxxax yaxxxx y000021100001200001()nknkkpxa x0最小二乘次拟合多项式数据点?第74讲 极值的应用最小二乘法例4假设某种合金的含铅量百分比(%)为，其熔解温度为?，由试验观测到的数值如下表(%)36.946.763.777.884.087.5其熔解温度?181197235270283292()nnkkkkxanby001第74讲 极值的应用最小二乘法405060708018020022024026028066211661128365.28,396.6,101176.3,=1458iiiiiiiiippp28365.28396.6101176.3,396.661458.abab代入数据得：解得：经验公式为:第74讲 极值的应用最小二乘法观测数据:?用最小二乘法确定通过计算确定某些经验公式类型的方法:令?(1)若?定值，则考虑(2)若?定值，则考虑?转化为(3)若?定值，则考虑?转化为第74讲 极值的应用最小二乘法幂函数拟合二十世纪全世界人口数量的变化第75讲 重积分的概念和性质问题的引入规则几何体的体积不规则几何体的体积第75讲 重积分的概念和性质问题的引入质量分布非均匀薄片的质量规则几何体的体积不规则几何体的体积第75讲 重积分的概念和性质主要内容几个与重积分有关的实际问题重积分的概念重积分的性质第75讲 重积分的概念和性质几个与重积分有关的实际问题D曲顶柱体的体积空间几何体 由平面及曲面?所围成，试求该立体的体积.曲顶柱体?3?xyzO11x()S x?d?d?d?第75讲 重积分的概念和性质几个与重积分有关的实际问题xyzO分割取近似，作和求极限11O36925814733(,)66(,)99(,)88(,)55(,)22(,)11(,)44(,)77(,)1.96296?991(,)kkkkSf 99(,)第75讲 重积分的概念和性质几个与重积分有关的实际问题?(等分)的直径曲顶柱体体积对应不同分割的近似值曲顶柱体更细的分割第75讲 重积分的概念和性质几个与重积分有关的实际问题求以曲面为顶，面上区域为底的曲顶柱体的体积 1.分割用任意划分将 为为个区域?将曲顶柱体分为个小曲顶柱体.D第75讲 重积分的概念和性质几个与重积分有关的实际问题求以曲面为顶，面上区域为底的曲顶柱体的体积 2.取近似在每个?中任取一点?，则D?第75讲 重积分的概念和性质几个与重积分有关的实际问题求以曲面为顶，面上区域为底的曲顶柱体的体积 D?3.求和1(,)nkkkkf4.取极限()01lim(,)nkkkd TkVf()maxkd T1kn的直径，其中第75讲 重积分的概念和性质几个与重积分有关的实际问题平面薄片的质量设密度函数为 非均匀平面薄片占有面上区域，求平面薄片的质量yx?用任意划分将 分为个区域将平面薄片分为个小薄片1.分割第75讲 重积分的概念和性质几个与重积分有关的实际问题设密度函数为 非均匀平面薄片占有面上区域，求平面薄片的质量yy?2.取近似在每个?中任取一点?则平面薄片的质量?第75讲 重积分的概念和性质几个与重积分有关的实际问题设密度函数为 非均匀平面薄片占有面上区域，求平面薄片的质量yy?3.求和1(,)nkkkk 4.取极限()01lim(,)nkkkd TkM()maxkd T1kn的直径，其中平面薄片的质量第75讲 重积分的概念和性质几个与重积分有关的实际问题空间立体的质量设物体在空间直角坐标 中所占的有界闭区域为，所对应的体密度函数为，这里体密度是指单位体积的物体所含质量求该空间物体的质量.()01lim(,)nkkkkd TkMfV 其中?的直径第75讲 重积分的概念和性质几个与重积分有关的实际问题(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同分割取近似，做和求极限()01lim(,)nkkkd TkVf()01lim(,)nkkkd TkM()01lim(,)nkkkkd TkMfV 第75讲 重积分的概念和性质重积分的概念定义1设函数在有界闭区域 上有定义用任意划分 将 分成 个小的区域?(?同时表示对应区域的面积)，在每个子区域?上任取一点?，记?的直径，若?且 与划分 和在每个?上点?取法无关，则称函数在区域 上可积，极限值 称为在区域 上的二重积分，记为?第75讲 重积分的概念和性质重积分的概念?.积分域积分表达式被积函数面积元素 称为积分变量积分和特别地，有?的面积曲顶柱体的体积：平面薄片的质量：?.?.第75讲 重积分的概念和性质重积分的概念定义2设函数在有界闭区域上有定义，用任意划分分成 个不重叠闭子域?，在每个子区域上任取一点?，记?的直径，若?.且极限值与划分 及子区域上取点?位置无关，则称函数在区域上可积，极限值称为函数在区域 上的三重积分，记为1()0(,)dlim(,)nkkkkkd Tf x y zVfV 第75讲 重积分的概念和性质重积分的概念积分域被积函数积分表达式体积元素 为积分变量积分和特别地，有?的体积空间立体的质量：?第75讲 重积分的概念和性质重积分的概念二重积分的存在1.若函数在有界闭区域上连续,则在 上可积.2.若有界函数在有界闭区域 上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续，则在 上可积.3.若函数在有界闭区域 上可积，在 上除去有限个点或有限条光滑曲线外均与相等，则在 上也可积，且二函数在 上的二重积分相等.第75讲 重积分的概念和性质重积分的性质性质1设函数在有界闭区域 上可积，为常数，则函数和也在 上可积，且有(,)d(,)dDDk f x ykf x y(,)(,)d(,)d(,)dDDDf x yg x yf x yg x y 二重积分的线性运算性质第75讲 重积分的概念和性质重积分的性质性质2将有界闭区域 分成除边界外互不重叠的两个闭子区域?和?，若函数在区域 上可积，则也在?和?上可积，且12(,)d(,)d(,)d.DDDf x yf x yf x y 二重积分对积分区域的可加性第75讲 重积分的概念和性质重积分的性质性质3若函数在有界闭区域 上可积.(1)若，则?进一步，若在上连续，则?当且仅当在上有(2)若在 上，则?.特别有?(3)若存在常数和使得在 上成立，则有?，其中 为区域 的面积第75讲 重积分的概念和性质重积分的性质性质4(积分中值定理)设函数在有界闭区域 上连续，则存在使?，其中 为区域 的面积积分中值定理的几何意义?函数在 上的平均值.积分平均值第75讲 重积分的概念和性质重积分的性质例1比较下列积分的大小:其中?3?【例1解】当时?因此?第75讲 重积分的概念和性质重积分的性质例2估计下列积分之值I?,?I【例2解】因为且区域 的面积为?1010?1.96078I2第75讲 重积分的概念和性质重积分的性质例3设?，计算极限?第76讲 直角坐标系下二重积分的计算问题的引入二重积分?曲顶柱体体积方法：定积分计算立体体积?几何意义第76讲 直角坐标系下二重积分的计算主要内容X-型区域上的二重积分计算Y-型区域上的二重积分计算交换累次积分次序方法对称区域上的二重积分第76讲 直角坐标系下二重积分的计算X-型区域上的二重积分计算X-型积分区域?非X-型积分区域的分解?第76讲 直角坐标系下二重积分的计算X-型区域上的二重积分计算?X-型积分区域?()()()(,)dyxyxS xf x yy21()dbaVS xx()()(,)ddbyxayxf x yyx 21曲顶柱体的体积为：累次积分法(,)d dDf x yxy第76讲 直角坐标系下二重积分的计算X-型区域上的二重积分计算()()(,)d d(,)ddbyxayxDf x yxyf x yyx 21()()d(,)dbyxayxxf x yy21思考：若在区域 上不为非负，累次积分法是否适用？X-型积分区域上二重积分的累次积分法(,)(,)(,)(,)(,)22f x yf x yf x yf x yf x y12(,)d d(,)d d(,)d dDDDf x yxyf x yxyfx yxy12(,