湖南大学《高等数学》课件-第一章函数概念与基本性质.pdf

函数(2学时，第一章)(与中学内容相衔接，以复习为主。)1.理解函数和概念，了解反函数和复合函数的概念。2.了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图形。3.理解初等函数的概念，会建立简单实际问题中的函数关系式。首先，首先，理理解解基本基本概念概念。数学中有很多概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质，弄清楚了它是概念反映的是事物的本质，弄清楚了它是如何定如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。其次，其次，掌握基本理论（定理性质推论结论掌握基本理论（定理性质推论结论等）等）。定理是一个正确的命题，分为条件和结论。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。第三，第三，熟悉基本方法。熟悉基本方法。在弄懂例题的基础上在弄懂例题的基础上做适量的习题。做适量的习题。要特别提醒的是，课本上的例题要特别提醒的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法。做题时要善于总注意不同例题的特点和解法。做题时要善于总结结不仅总结方法，也要总结错误。这样，做不仅总结方法，也要总结错误。这样，做完之后才会有所收获，才能举一反三。完之后才会有所收获，才能举一反三。第四，第四，理清脉络理清脉络。对所学的知识要有一个整。对所学的知识要有一个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。告诫学习他的学生们：坚持坚持,你就会有信心你就会有信心.达朗贝尔成绩的构成三次机试，各占三次机试，各占10%,平时平时10%,作业作业10%,期末期末50%。参考书目：参考书目：高等数学 同济大学主编 高等教育出版社吴赣昌老师的教案函数(2学时，第一章)(与中学内容相衔接，以复习为主。)1.理解函数和概念，了解反函数和复合函数的概念。2.了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图形。3.理解初等函数的概念，会建立简单实际问题中的函数关系式。函数的概念与基本性质一、函数的概念二、函数的基本性质三、函数的代数运算 四、反函数一、函数的基本概念1.函数的定义 )(,的定义域。称为函数其中，。，数，记为上的函为定义在则称对应，与，按照规则存在唯一的，使得一个规则为非空实数集。若存在设fAAxxfyAfxfRyAxfARAfxfy :)(就是映射实质上，函数函数的图形。为曲线的函数；称是为函数，或称习惯上，称)()(xfyxyxf处有定义。在点。此时，称函数或函数值，记为处的在点称为函数所对应的 )(00000000 xfyyxfyxfRyAxxx。，即或域，记为的值，称为函数时的全体函数值的集合 )(|)()()(AxxfyyfRAffRfAx2.函数的表示法解 析 法表 格 法图 示 法3.求函数定义域举例 数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几何意义等来确定函数的定义域。.)1ln(14 2的定义域求函数xxy042x01x0)1(lnx综上所述,该函数的定义域为 D=(1,2)。由负数不能开偶次方,得由对数函数的定义域,得由分母不能为零,得 2 ,2 x),1(x2 x例例1 1.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1,3:fD故故例例2 2例例3 3)1(xf已知，10 2 xx，21 2 xx )(的表达式。求xf 1 ，得令 xt)(tf，21 1 22ttt 32 2 2，tttx 代替故)(xf，21 122xxx 32 22，xx该函数称为符号函数,其定义域为 1xyO1y=sgn x.),(例例4 40 0 0 ,1,0 ,1 sgnxxxxy求的定义域。也称为克朗涅哥函数也称为克朗涅哥函数,Rx将 x 表示为:函数y=x =“整数”称为取整函数，它是一个分段函数。例例5 5“整数”+“正的纯小数”或“零”x x：不大于x的最大整数xyO。xy 12312312312344142.012125.015.015.03.037.237.20333303333想想取整函数的图形是什么样子？,0 ,1)(D为无理数为有理数xxxy例例6 6狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet18051859 狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质1.单调性,)(21IxxIxf，上有定义，在区间设函数上是单调增加的。间在区，则称函数若 )()()(1212Ixfxfxfxx上是严格单调增加的。间在区，则称函数若 )()()(1212Ixfxfxfxx 在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加,记为 。Ixf)(,)(21IxxIxf，上有定义，在区间设函数的。减少上是单调间在区，则称函数若 )()()(1212Ixfxfxfxx的。减少上是严格单调间在区，则称函数若 )()()(1212Ixfxfxfxx 在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调减少,记为 。Ixf)(函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I 有关.画画图就一目了然.例例7 7 sin函数，但在其定义域内不是单调xy ;sin 2 ,2 x上，在 ;sin 23 ,2 x上，在我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。2.有界性 有界性 有 界 有上界 有下界设函数 y=f(x)在区间 I 上有定义。若存在实数 A,B,使对一切 x I 恒有A f(x)B则称函数 y=f(x)在区间 I 上有界。否则,称函数 y=f(x)在区间 I 上无界。函数有界性的定义函数有界性的定义y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x)函数有界示意图 函数 y=f(x)在区间 I 上有界。，使MxfM|)(|0Ox成立，则称函数 y =f(x)在区间 I 上是上方有界的,简称有上界。设函数 y=f(x)在区间I 上有定义。若存在实数 M (可正，可负)，对一切 x I 恒有OxyMy=f(x)f(x)M Oxf(x)m在区间 I 上是下方有界的,简称有下界。设函数 y=f(x)在区间 I 上有定义。若存在实数 m (可正，可负),对一切 x I 恒有 成立，则称函数 y =f(x)Oxymy=f(x)函数 y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在区间 I 上:xyABO)(xfy 无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区在区间 I 上有下界，则必有若函数 )(xfy 间 I 上的下确界，记为。)(infIxfx无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区在区间 I 上有上界，则必有若函数)(xfy 间 I 上的上确界，记为。)(supIxfx有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？可以证明：有上(下)界的函数必有上(下)确界.如何证明或判断函数无界？提一个问题：证明或判断无界，通常依据:函数 y=f(x)在区间 I 上无界，则不论 M 0 的值取得多么大，总,0Ix 使得|f(x0)|M 成立。易知：例例8 8 2。：讨论函数函数的有界性xy。函数的定义域为：),(fD ),(1 0 0有，取因为MxM，MMMxf1)1(|)(|20在其定义域内是无界的。故函数2xy 在任何一个有限区间内有界。2xy 3.奇偶性若 x Df,有f(x)=f(x)成立，则称 f(x)为偶函数。偶函数的图形 关于 y 轴对称。若 x Df,有f(x)=f(x)成立，则称 f(x)为奇函数。奇函数的图形 关于坐标原点对称。设函数 y=f(x)的定义域 Df 关于坐标原点对称。哪些是奇函数,哪些是偶函数:指出下列函数在其定义域内1)2)3)4)5)6)7)8xysinxycosxy 4xxy|xy 5yxysgn)1(ln2xxy4)既不是奇函数又不是偶函数奇奇奇奇偶偶偶例例9 9定理在关于坐标原点对称的区间 I 内：两个偶(奇)函数之和仍是一偶(奇)函数。两个偶(奇)函数之积均为一个偶函数。一个偶函数与一个奇函数之积是一个奇函数。定理的形式。在关于坐标原点对称的区间 I 内有定义的任何一个函数 f(x)，均可表示为区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和 2)()()(2)()()(。，xfxfxhxfxfxg，其中证明提示：令)()()(xhxgxf4.周期性则称 f(x)为周期函数，称为函数 f(x)设函数 y=f(x),x (,)。若存在 0,对一切 x (,)恒有 y=f(x )=f(x),的一个周期。如果一个周期函数有最小正周期存在,记为则称 T 为周期函数的周期。T=min ,0 通常所说的周期是故称正弦函数 y=sinx 的周期为2。=2k (k Z 且 k 0)均为函数y=sin x 的周期,而它的最小正周期为T=min 2k=2 kZ+例例1010P21 第5，7行有误。三、函数的代数运算函数的加减乘除 定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?判断函数相同例例1111是否相同？与函数 ln2)(ln)(2xxgxxf的定义域为)(xf ,),0()0 ,(fD的定义域为)(xg ,),0(gD )()(不相同。与xgxf,)()(Rxgxf的定义域均为实数域与,)()(,|2的对应关系相同与即又xgxfxx )()(相同。与函数xgxf例例1212是否相同？与函数)(|)(2xxgxxf复合函数设有映射,)(xgu fDuufy,)(及,Dgx的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f(u)的定义域 Df，如果对于映射)(xg的定义域(或定义域的一部分)中那么，将)(xgu代入消去 u 后,就有)(ufy)()()(xgfxgfyggDDx其中，u 称为中间变量。与称之为函数复合而成的复合函数。)(ufy)(xgu 复合函数)(xgu gDfDgR)(ufy xufRy？如何描述gDfgDR 由函数uy,),0u21xu),(x可构成复合函数21 xy1,1x函数复合后一般应重新验证它的定义域例例1313函数复合而成?uyarccos它是由以下几个函数复合而成:12 xwvu 例例1414复合函数分解到什么时候为止？以上过程称为 对复合函数的分解 分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.2 arccosln(1)yx函数是由哪几个lnvw例例1515 ).(,3 ,2 ),()(),()(,1)(112xfnxffxfxffxfxxxfnnn求设)(1)()()(21xfxfxffxf ,212xx,31)(1)()()(221112xxxfxfxffxf ,)1(1)()(21xkxxffxfkk设 .)1(1)(2xnxxfn由数学归纳法可证得：函数的图形称为函数 f(x)的图形。在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集,)(|),(fDxxfyyx是否所有的函数均可绘出几何图形？自由落体运动中,位移与时间的关系是221tgs 选时间 t 为自变量:选位移 s 为自变量:gst2直接函数反函数习惯上称四、反函数是一一对应(即映射 f 是一一对应),称 f 的 f 的反函数.只有在一一对应的前提下才能有反函数.)(xfy 与)(1yfx互为反函数.反函数的定义反函数的定义为逆映射 )(),(,:1fDxfRyxyf)(),(,:fRyfDxyxf设函数 自己画一下草