湖南大学《高等数学》课件-第2章函数的极限.pdf

第 第 第 第 2 2 章章章章函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限 7 无 穷 小 的 比 较例例 1.01lim ,01lim2nnnn这里有01lim11lim2nnnnn1 10 100 10001 0.1 0.01 0.0011 0.01 0.0001 0.000001nn121n第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限定义定义 1.在同一极限过程中，设 lim=0，lim=0，(1)若，则称 比 高阶，记为 o()；0lim(2)若，则称 比 低阶；lim(3)若，则称 与 同阶，记为 O()；)0(lim C(5)若，则称 与 等价，记为 .1lim(4)若，则称 是 的 k 阶无穷小；0),0(limkCk第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限)()1(12nnon)0()2(2xxox1sinlim0 xxx sinx x(x)21cos1lim20 xxx)(cos12xOx 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 321 161 81 41 21 10.8415 0.4794 0.2474 0.1247 0.06246 0.03124 xsinx第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限当 x 时ln(1+x)xsinx x2cos12xxtanx xarcsinx xex 1 xarctanx xmxxm11mxxm1)1(常用的等价无穷小第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限定理定理 1.若，且存在，则limlimlim定理定理 2.若 ，且对于该极限过程中的变量 z，有limz=，则zzlimlim无穷小的等价关系具有(1)自反性：；(2)对称性：若，则 ；(3)传递性：若，则 .第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限例例 2.3535lim3sin5tanlim00 xxxxxx例例 4.3232lim)3(2lim32sinlim202030 xxxxxxxxxx例例 3.3)3(3lim3sin3lim220220 xxxxxx例例 5.21cos21limcos)cos1(sinlimsintanlim3203030 xxxxxxxxxxxxxx第 第 2 章 函 数 的 极 章 函 数 的 极 限限说明：说明：若 不存在，且不为，则 与 不可比较.lim第 第 第 第 3 3 章章章章函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性1 1 函数连续性与间断点函数连续性与间断点1.函数的连续性函数的连续性设 y=f(x)在 U(x0)有定义，0lim0yx若 ，则称 f(x)在点 x0 连续.定义 1.y=f(x)f(x0)f(x0+x)0 x0 x0+xxxyy第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性设,0 xxx 则)()()()(000 xfxfxfxxfy又0 x即 xx0,故)()(lim0lim000 xfxfyxxx0lim0yx 语言的定义：语言的定义：对 0,若 0,使得当|xx0|时,函数值 f(x)满足|f(x)f(x0)|,则称 f(x)在 x0 处连续.第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性),()(lim)()(lim0000 xfxfxfxfxxxx或若定义 2.则称 f(x)在 x0处右(左)连续.设 f(x)在 x0的某右邻域 (或左邻域 )内有定义,)(0 xU)(0 xU定理 1.f(x)在 x0 处连续 f(x)在 x0 左连续且右连续.第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.xa,b),f(x)都连续,则称其在(a,b)内连续,或者说 f(x)是(a,b)内的连续函数，记作：f(x)C(a,b)f(x)在 a,b)内连续,且在左端点 x=a 右连续,在右端点 x=b 左连续,则称其在闭区间 a,b 上连续,或者说 f(x)是 a,b 上的连续函数，记作：f(x)C(a,b)第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性例例 1 P(x)为多项式时,x0(-,)有),()(lim00 xPxPxx,coscoslim00 xxxx,sinsinlim00 xxxx故 y=P(x)在定义域上都连续.例例 2.因为 x0(-,)有所以 y=sinx，y=cosx 和 y=ex 在定义域上都连续.有理分式函数 只要 Q(x0)0，便有 因此 y=R(x)在定义域上也都是连续的.,)()()(xQxPxR),()(lim00 xRxRxx00limxxxxee 第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性例例 3.,0,0,|)(时当时当xxxxxxfxyof(x)=|x|在点 x=0 连续.,0,0,3)(2xxaxxxf问 a 为何值时,f(x)在 x=0 连续？例例 4.设第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性2.间断点间断点.函数 f(x)若在点 x0不连续，则称 x0为 f(x)的一个间断点.函数 f(x)在点 x0 连续的条件：(1)f(x)在 U(x0)内有定义；(2)f(x)在 x0 有极限 ；)(lim0 xfxx(3).)()(lim00 xfxfxx第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性例 5.,11)(2xxxf在 x0=1 处间断.这是因为 x0=1 处函数无定义的缘故，这里2)(lim1 xfx存在.201xy=f(x)y第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性f(x)=,112xx0,x1x=1在 x0=1 处间断.这是因为 f(1)=0,而2)(lim1xfx的缘故.例 6.201xy=f(x)y第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性例 7.f(x)=x1,x0,若 0,使得当|xx0|时,函数值f(x)满足|f(x)f(x0)|,则称 f(x)在 x0 处连续.),()(lim)()(lim0000 xfxfxfxfxxxx或若定义 2.则称 f(x)在 x0处右(左)连续.设 f(x)在 x0的某右邻域 (或左邻域 )内有定义,)(0 xU)(0 xU定理 1.f(x)在 x0处连续 f(x)在 x0左连续且右连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.xa,b),f(x)都连续,则称其在(a,b)内连续,或者说 f(x)是(a,b)内的连续函数.记作：f(x)C(a,b)f(x)在 a,b)内连续,且在左端点 x=a 右连续,在右端点 x=b 左连续,则称其在闭区间 a,b 上连续,或者说 f(x)是 a,b 上的连续函数.记作：f(x)C(a,b)例例 1 P(x)为多项式时,x0(-,)有),()(lim00 xPxPxx0coscoslim0 xxxx,sinsinlim00 xxxx故 y=P(x)在定义域上都连续.例例 2.因为 x0(-,)有所以 y=sinx，y=cosx 和 y=ex 在定义域上都连续.有理分式函数 只要 Q(x0)0，便有 因此 y=F(x)在定义域上也都是连续的.,)()()(xQxPxF),()(lim00 xFxFxx00limxxxxee 例例 3.0 ,0,0,|)(处连续在时当时当xxxxxxxf证证:0lim)(lim00 xxfxx因0)(lim)(lim00 xxfxx0|lim)(lim 00 xxfxx故又因为 f(0)=0，)0()(lim 0fxfx所以xyof(x)=|x|.0|)(处连续在故xxxf例例 4.,0,0,3)(2xxaxxxf设问 a 为何值时,f(x)在 x=0 连续？解解:首先有 f(0)=3；)00(f)(lim0 xfx)3(lim20 xx=3为使 f(x)在 x=0 连续,必须 f(00)=f(0)=f(0+0)即 a=3.因此 a=3 时,f(x)在 x=0 连续.)00(f)(lim0 xfx)(lim0 xax=a其次2.间断点间断点.f(x)若在点 x0不连续，则称 x0为 f(x)的一个间断点.函数 f(x)连续的条件：(1)f(x)在 U(x0)内有定义；(2)f(x)在 x0 有极限 ；)(lim0 xfxx(3).)()(lim00 xfxfxx例 5.,11)(2xxxf在 x0=1 处间断.这是因为 x0=1 处函数无定义的缘故，这里2)(lim1 xfx存在.201xy=f(x)yf(x)=,112xx0,x1x=1在 x0=1 处间断.这是因为 f(1)=0,而2)(lim1xfx的缘故.例 6.201xy=f(x)y例 7.f(x)=x1,x0 x+1,x0在 x0=0 处间断.这是因为,1)(lim,1)(lim00 xfxfxx从而)(lim0 xfx不存在的缘故.yx110 上面三例的间断点同属于第一类,其中例 1,例 2 的称为可去间断点,而例 3 的称为跳跃间断点.跳跃间断点间断点第一类第二类可去间断点201xy=f(x)y201xy=f(x)yyx110例例 8.f(x)=tanx 在 处间断.xxtanlim220 x20 x为 tanx 的无穷间断点.它属于第二类.的缘故.称这是因为y0y=tan x2x例例 9.,1sin并指出间断点的类型的间断点求xy 解解:间断点 x=0.,1sinlim 1sinlim00都不存在和由于xxxx故 x=0 为第二类间断点，称为振荡间断点.011yx22第 第 第 第 3 3 章章章章函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性2 2 连续函数的性质连续函数的性质1.连续函数的四则运算连续函数的四则运算(1)f(x)g(x)，(2)k f(x)(k 为常数)，(3)f(x)g(x)，(4)(g(x0)0)定理定理 1.若 f(x)和 g(x)在点 x0连续，则都在点 x0 连续.)()(xgxf第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性例例 1.已知 f(x)=x 和 g(x)=sinx 都在(,+)上连续，故函数 F(x)=x+2sinx 和 G(x)=xsinx 在(,+)上也连续.例例 2.已知 f(x)=cosx 和 g(x)=x2+1 都在(,+)上连续,故函数 H(x)=1cos2xxxgxf在(,+)上连续.例例 3.已知 y=sinx 和 y=cosx 都在(,+)上连续,故函数 tan x=xxcossin在 x (2k+1)连续.2第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性2.反函数和复合函数的连续反函数和复合函数的连续性性 定理定理 2.设 y=f(x)在区间 I 上严格单调增加(减少)且连续，则其反函数 x=f-1(y)也在对应区间 J=y|y=f(x),xI 上严格单调增加(减少)且连续.例例 4.y=sinx在2,2上单调增且连续,于是其反函数y=arcsinx 在 1,1 上也单调增且连续.第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性定理定理 3.设 u=(x)在点 x0连续，y=f(u)在点 u0=(x0)连续，若 y=f (x)在 U(x0)内有定义，则它在点 x0也连续.例例 5.已知 y=u2 在(,)上连续,而 u cosx 在(,)上连续,于是 y=cos2x 在(,)上也连续.第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性关于复合函数的极限有下列结论：(1)若 ，又 y=f(u)在 u=u0 连续，则对复合函数 y=f(x)，有0)(lim0uxxx)()(lim00