华东师范大学《高等数学》课件-第四章下.pdf

华东师范大学高等数学?二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值 maxM,)(af)(bf最小值1特别特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)2)1292(2xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解解:显然且,)1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx2,1,0321xxx故函数在0 x取最小值 0;在1x及25取最大值 5.,)2)(1(6xx,)2)(1(6xx2512413因此也可通过例例3.求函数说明说明:)()(2xfx)(x求最值点.)(xf与最值点相同,由于)(x令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.4例例4.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,)(2261bdb),0(db令)3(2261bdw得db31从而有1:2:3:bhd22bdhd32即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.hbd5内容小结内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广(Th.3)6最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.2.连续函数的最值7第6讲一、一、曲线的渐近线曲线的渐近线二、二、函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘第四章1无渐近线.点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义.若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线.例如,双曲线有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差”“纵坐标差”NLbxkyMxyoC)(xfy Pxyo21.水平与竖直渐近线水平与竖直渐近线若则曲线有水平渐近线.by)(x或若则曲线有垂直渐近线.0 xx)(0 xx或例例1.求曲线的渐近线.解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线.2132.斜渐近线斜渐近线斜渐近线.bxky)(x或若)(bxk 0)(limxbkxxfxx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或4例例2.求曲线的渐近线.解解:,)1)(3(3xxxy,lim3yx)1(x或所以有垂直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx)(limxxfbx3232lim22xxxxx2xy为曲线的斜渐近线.312 xy5二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凸性区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为 0 和不存在的点;并考察其对称性及周1例例3.描绘的图形.解解:1)定义域为无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令,0 y令3)xyy y012)0,()1,0()2,1(),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy13322012312例例4.描绘函数的图形.解解:1)定义域为图形对称于 y 轴.2)求关键点 y21,22xex y2122xe)1(2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10)1,0(),1(3)判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)3(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线5)作图4)求渐近线2100e21xyy y10)1,0(),1(2221xeyxyoBA214水平渐近线;垂直渐近线;内容小结内容小结1.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2.函数图形的描绘5第六节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、弧长的微分弧长的微分二、二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径MMM 平面曲线的曲率第四四章1一、一、弧长的微分弧长的微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx2则弧长微分公式为22d()()dsx ty tt2d1()dsyx故或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT几何意义几何意义:sdTM;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx3二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,s对应切线,定义弧段上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意:直线上任意点处的曲率为 0!转角为1例例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解解:如图所示,RssKs0limR1可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.sRMM2有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d 故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由3说明说明:(1)若曲线由参数方程)()(tyytxx给出,则23)1(2yyK(2)若曲线方程为,)(yx则23)1(2xxK 3222()()()()()()x t ytxt y tKx ty t4例例2.求椭圆在何处曲率最大?解解:故曲率为 ba23)cossin(2222tbta()sin;x tat()cos;y tbt()cosxtat()sinytbt 3222()()()()()()x t ytxt y tKx ty tK 最大tbtatf2222cossin)(最小ttbttatfsincos2cossin2)(2tba2sin)(22求驻点:5,0)(tf令,0t得,2,232,设tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a从而 K 取最大值.这说明椭圆在点,0ab 时则2,0t)0,(a处曲率计算驻点处的函数值:yxbaba,)(取最小值tf最大.6三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线KRDM1把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凸向一致;(3)曲率相同.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使7设曲线方程为且求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心曲率半径公式KR1 23)1(2yy 满足方程组,222)()(Ryx)(MTDM 1yyx 的坐标公式.TCyxo),(DR),(yxM得曲率中心yyyx)1(2yyy 218例例3.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解解:设椭圆方程为由例2可知,椭圆在oyx处曲率最大,即曲率半径最小,且为 R23)cossin(2222tbtaba0t显然,砂轮半径不超过时,才不会产生有的地方磨不到的问题.9内容小结内容小结1.弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2.曲率公式sKdd23)1(2yy 3.曲率圆曲率半径KR1yy 23)1(2曲率中心yyyx)1(2yyy 2110