湖南大学《高等数学》课件-第四章 函数的导数和微分.pdf

第四章 函数的导数和微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第一节 导数的概念一.导数产生的背景二.导数的概念三.导数存在的必要条件四.函数的增量与导数的关系 一、一、导数产生的背景 1.物理背景 2.几何背景1.物理背景在真空中,当时间由t 变到t+t 时,自由非匀速运动物体的速度问题落体所经过的路程为2221)(21)()(gtttgtSttS)2(212tttg例1物体由 t 到 t+t 一段的平均速度是ttttSttStV)()()()(ttttg)2(212tggt21求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt,就是ttSttStVVttt)()(lim)(lim00gttggtt)21(lim0令 t0 的极限过程：从物理学看,当t0 时,应该有 .0)()(tSttS这是否也说明了一个什么问题?Pll力学中的线密度问题设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量.直线的一端为原点,线段 OP 的长度为 l,质量为 m,则 m 是 l 的函数：m=f(l).求点 P 处的线密度 .例2OP给 l 一个增量 l,则 l 这一段(PP)的平均密度是而在 P 点处的线密度就是 l 0 平均密度的极限：0limllml0limllfllfl)()(lim0llfllflm)()(比较两个极限式：llfllfl)()(lim0 .)()(lim0ttSttSt与PTPQPLQPL的极限位置割线时趋向点沿曲线点处切线为在点曲线 平面曲线上切线的概念LPQT割线PQ切线PT切点2.数学背景 平面曲线的切线问题 沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.平面曲线 y=f(x)的切线：曲线在点 A(x0,y0)处的切线 AT 为过曲线上点 A 的任意一条割线 AA 当点 A(x0+x,y0+y)Oxy)(xfy AABxyT切线方程:,)(00 xxkyytank tanlim0 x其中,.lim0 xyx(1)建立一个函数关系 y=f(x)xI.(2)求函数由 x0 到 x0+x 的平均变化率：解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(3)求 x 0 的极限：;)()(00 xxfxxfxy .)()(limlim0000 xxfxxfxyxx设函数 f(x)在 U(x0)有定义,且 x0+x U(x0).则称函数 f(x)在点 x0 处可导,极限值 a 称为 f(x)在,|0ayxx .dd0axyxx如果极限存在,点 x0 处的导数.记为，axf)(0二、二、导数的定义 .d)(d0axxfxxaxyxxfxxfxx0000lim)()(limk 0为常数.xxfxxfxfx)()(lim)(0000 xxxfxxfxfx2)()(lim)(0000 xkxfxkxfxfx)()(lim)(0000;)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx如果函数 f(x)在点 x0 处可导,则导函数导函数xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00若 x(a,b),函数 f(x)皆可导,则说 f(x)在(a,b)内可导.这时 f(x)是关于 x 的一个新函数,称之为 f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为 f(x)在(a,b)内的导数：函数在点 x0 I 处的导数:0)()(0 xxxfxf 先求导、后代值.基本初等函数的导数 推导一些基本公式啊！1.y=C x R (C为常数)Qxyx0limxCCx0lim00lim0 x 0)(C 通常说成：常数的导数为零.2.幂函数 Q）（Nnxyn )(1nnxnxnnnnnnnnnnxxxnnxnxxxxxnnxnxxxxxy)()(!2)1()()(!2)1()(22122110limnxnxxy )(1xx.11)(011xxx 自变量对其本身的导数为 1)(1dd1xxx211)1(xx,12x.3)(23xx)()(21xx211212121xx,21x例例13.指数函数 xaaxyxxxxx00limlimQxaxaxxlnlim0)1,0(aaayxxaaxxx1lim0aaxln ln)(aaaxx )(xxee)4(x)(xbabxbaaln)(abaxbln4ln4x)(xba)0(为常数、ba 例例2xyalog,)1,0(aa求y.Qaxxyalnlnlogxxxxaaxlog)(loglim 0 ln1)(log axxaxxxax1lnlimln10axln1等价无穷小替代故解解4.对数函数5ln1)(log5xx 21ln1)(log21xx2ln1x 1)(lnxx ln1)(logaxxaea例例3 3或重要极限5.三角函数(1)xxxxxyxxsin)sin(limlim00Qxxxxx2sin2cos2lim02coslim0 xxxxysin cos)(sin xxxcos和差化积等价无穷小(2)其它三角函数的导数xxxx222tan1seccos1)tan()cot1(cscsin1)(cot 222xxxxxxsin)cos(这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导.（仿照正弦函数的推导方法）设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的右导数.记为左、右导数axxfxxfxyxx)()(limlim0000.)(0axf设函数 f(x)在(x0 ,x0 内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的左导数.记为axxfxxfxyxx)()(limlim0000axf)(0axf)(0axfxf)()(00好像见过面啊！三、导数的几何意义)(tan0 xfk此时,切线方程为:)(000 xxxfyy函数 f(x)在点 x0 的导数 f(x0)就是对应的平面曲线 y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率 k:y O x x0 y=c f(x0)=0 y O x f(x0)=x0 O xyx0 y O x x0f(x0)不存在f(x0)不存在切线平行于x 轴：0)(0 xf曲线 y=f(x)在点 x0 处的切线可能平行于x 轴、垂直于 x 轴、或不存在,所反映出的导数值是：切线垂直于x 轴：)(0 xf（曲线为连续曲线）在点 x0 处无切线：f(x0)不存在.在任意一点 x 处,有xxxxxykxx2200)(limlim在点(1,1)处 故所求切线方程为：22110 xxxkk求曲线 y=x2上任意一点处切线的斜率,并求在点(1,1)处的切线方程.xxxx2)2(lim0即 y=2x 1.y 1=2(x 1),例例4 4解四、导数与连续的关系设 f(x)在点 x0 可导,即有于是,)()()(000 xfxxxfxf0000)()(limlim)(0 xxxfxfxyxfxxx)(0 0 xx 故)()()()(0000 xxxxxfxfxf)(lim0 xfxx)(0 xf )()()(lim00000 xxxxxfxfxx .)(,0处连续在点函数就是说xxf如果函数 f(x)在点 x0可导，则函数f(x)在点 x0 必连续.只是必要条件！y=|x|在点 x=0 连续,但不可导.xxfx|0|0|lim)0(0 xxfx|0|0|lim)0(0故 f(0)不存在.y=|x|Oxy1|lim0 xxx1|lim0 xxx例例5 5解 .0|,0|lim 00处连续在点故但xxyyxxx在点 x=0 处的连续性和可导性.,1|1sin|xQ01sinlim0 xxnx00 xy又 当 nN 时,函数在在点 x=0 处连续.)(0 ,0 0 ,1sin Znxxxxyn讨论例例6 6解)(Zn当 n=1 时,xxyxx limlim00不存在,故 n=1 时,函数在 x=0 处不可导.当 n 1 时,xxyxx limlim00故 n 1时,函数在 x=0 处可导.其导数为 .00 xyxx1sinlim001sinlim10 xxnxxx1sinxxn1sinQ f(x)在 x=0 处可导,从而 f(x)=1+bx,x0e x,x 0f(0)=1 f(x)在 x=0 处连续,f(0)=a.例例7 7解 .1 ,1lim)(lim 00aexfxxx故又设a+bx,x0求 a,b 之值.e x,x 0y=在 x=0 可导,由可导性：故 b=1,此时函数为f(x)=1 x,x 0e x,x 0 xexfxfxxx1lim)0()0(lim00bxxbxfxfxx1)1(lim)0()0(lim001lim0 xxx.1 ,1ba练习练习.1.1.设)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx2.若0)1(f且)1(f 存在,求.tan)1()cos(sinlim20 xexxfxx)(xf在2x处连续,且,32)(lim2xxfx.)2(f 求3.设练习练习.设)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解:原式=xxfxxxfx )()(lim02002)(xx2)(xx)(0 xf 练习练习.若0)1(f且)1(f 存在,求.tan)1()cos(sinlim20 xexxfxx解解:1)cos(sinlim20 xxx原式=220)cos(sinlimxxxfx且0)1(f联想到凑导数的定义式220)1cossin1(limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx)1(f)1(f)211()1(21f 练习练习.设)(xf在2x处连续,且,32)(lim2xxfx求.)2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3作业背诵P108-109面的基本导数公式P101-1023，4，11，16 高等院校非数学类本科数学课程第二节 求导法则一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则二、复合函数的导数二、复合函数的导数三、反函数的导数三、反函数的导数四、基本导数公式四、基本导数公式五、隐函数的求导法则五、隐函数的求导法则六、取对数求导法六、取对数求导法七、参数方程求导法则七、参数方程求导法则一、导数的四则运算法则若函数 u(x),v(x)均可导,则)()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv(1)()()()(),u xv xu xv xnininiixuxuxuxuxu1211)()()()()()()()()(211xuxuxuxunnii推广至有限个可导函数的情形:11()(),nniiiiuxux在证明这些公式时,用到下列表达式：)()(xuxxuuuxuxxu)()(1.证明)()()()(xvxuxvxuxxvxuxxvxxuxvxux)()()()(lim)()(0 xx lim0 xxuxxux)()(lim0)()(xvxuxxvxxvx)()(lim0)()(xuxxu)()(xvxxv解0)sin(cos2xxxxxxsincos2。求 ,1cossin2yxxxy)(2xy)(sinx)(cosx)1(例例1 1，设nnnnnaxaxaxaxay122110 )()()()()(122110nnnnnaxaxaxaxay10nxna。求 y解由和的求导公式21)1(nxnaxan221na 通常说,多项式的导数仍是多项式,其次数降低一次,系数相应改变.例例2 2