国防科技大学《高等数学》课件-第2章.pdf

第4讲 函数的概念与性质问题引入函数的概念起源于描述一个量依赖于另一个量的变化球体积 V 与球半径 r 的的关系全世界人口数量与时间的关系年份19601970198019902000人口(百万)30403710445052806080第4讲 函数的概念与性质问题引入股票走势图横轴表示开市的时间纵轴表示股价（上图）与成交量（下图）第4讲 函数的概念与性质主要内容函数的概念函数的例子函数的运算函数的简单特性第4讲 函数的概念与性质函数的概念1.变量笛卡尔首先用字母来表示变动的数变量常量和变量是相对的，两者在一定条件下可以相互转化.常量通常用 a、b、c 表示，变量通常用 x、y、t 表示.变量所在的集合第4讲 函数的概念与性质函数的概念.函数的定义定义1 设 D 是中的非空子集，称映射为定义在D 上的一元函数.通常记作：值域x 为自变量D 为定义域y 为因变量xyO 函数图形（或图像）xf(x)第4讲 函数的概念与性质函数的概念莱布尼兹：函数是变化和运动的“普通语言”不变和静止的数学变化和运动的数学fxf(x)输入输出函数 f 的机器图第4讲 函数的概念与性质函数的概念xf(x)af(a)f函数 f 的箭头图注意：1)函数由其定义域 D 与对应法则 f 唯一确定，与自变量、因变量以及函数的名称无关.2)两个函数相等是指它们的定义域与对应法则都相同，自然它们的值域也相同.第4讲 函数的概念与性质函数的概念3.函数定义域的确定实际定义域自然定义域圆面积公式自由落体公式函数表达式在实数域中有意义的所有自变量的集合问题的实际背景所要求的自变量的取值范围实际定义域实际定义域自然定义域均为全体实数集合第4讲 函数的概念与性质函数的例子函数的表示方法描述法表格法图形法公式法通过语言描述通过数值表格表示通过图形表示通过精确公式表示第4讲 函数的概念与性质函数的例子例1 常值函数例2 绝对值函数第4讲 函数的概念与性质函数的例子例3 符号函数在不同区间或点处有不同表达式的函数称为分段函数例4 取整函数 不超过 x 的最大整数第4讲 函数的概念与性质函数的例子不能画出该函数的完整图形例5 狄利克雷函数第4讲 函数的概念与性质函数的例子例6 历届(1900-2012)奥运会男子撑杆跳高成绩年份 t成绩 h(m)年份 t成绩 h(m)年份 t成绩 h(m)19003.319484.319845.7519043.519524.5519886.0319083.7119564.5619925.819123.9519604.719965.9219204.0919645.120005.9019243.9519685.420045.9519284.219725.520085.9619324.3119765.520125.9719364.3519805.78第4讲 函数的概念与性质函数的例子192019401960198020004.04.55.05.56.0例6 历届(1900-2012)奥运会男子撑杆跳高成绩第4讲 函数的概念与性质函数的运算1.函数的四则运算注意函数的定义域不能以运算后的形式来确定.定义2 设有和，且，则定义函数的加法、乘法与除法如下：且第4讲 函数的概念与性质函数的运算例7 设有函数，求并指出它们的定义域第4讲 函数的概念与性质函数的运算2.函数的复合运算例如（1）（2）一般地，代入代入代入代入代入代入自变量中间变量因变量复合运算函数复合过程就是代入的过程，复合函数又称为函数的函数第4讲 函数的概念与性质函数的运算定义3 设有两函数与，且满足，函数定义为：对任意，有称 h 为 f 与 g 的复合函数，记作：输入输出输入输出复合运算第4讲 函数的概念与性质函数的运算3.函数的求逆运算引例(1)用用 y 表示表示 x(2)用用 y 表示表示 x第4讲 函数的概念与性质函数的运算定义4 设函数作为映射是双射，那么对任何 B 中的y 存在且唯一存在一个 A 中的 x 使得称这个对应法则给出的从 B 到 A 的函数为 f 的反函数，记为函数与互为反函数.习惯上，将函数的反函数记作性质 设为的反函数，则第4讲 函数的概念与性质函数的运算几何上，函数与它的反函数的图形关于直线对称.但与的图形是同一个.第4讲 函数的概念与性质函数的简单特性1.有界性定义5 设函数的定义域为 D，数集.如果存在，使得对于任意的，有则称函数在I 上有上界.如果存在，使得对于任意的，有则称函数在I 上有下界.如果存在，使得对于任意的，有则称函数在I 上有界.第4讲 函数的概念与性质函数的简单特性性质 函数在区间I 上有界的充分必要条件是它在I 上既有上界又有下界.函数有界与无界的几何特点有界函数的图形介于某两条水平直线之间.无界函数的图形不能介于任何两条水平直线之间.第4讲 函数的概念与性质函数的简单特性例8 研究函数在定义域上的有界性.函数 f(x)在上无界对于任意的正数M，存在，使得第4讲 函数的概念与性质函数的简单特性2.单调性定义6 设函数 f(x)在区间上有定义，若对 I 中任意两点当时，恒有则称在区间 I 上单调增加（严格单调增加）.单调减少（严格单调减少）.单调增加或单调减少的函数统称为单调函数.第4讲 函数的概念与性质函数的简单特性单调函数的几何特征y 的值随 x 增大而增大y 的值随 x 增大反而减少严格单调增加严格单调减少第4讲 函数的概念与性质函数的简单特性性质 严格单调增加（减少）的函数一定存反函数，且其反函数也是严格单调增加(减少).第4讲 函数的概念与性质函数的简单特性3.奇偶性定义7 设函数在区间（或）上有定义，若对于 I 中的任意 x，恒有则称为区间I 上的偶函数（奇函数）.（）例9 证明狄利克雷函数 y=D(x)为偶函数.奇函数的代数和为奇函数 偶函数与奇函数的乘积为奇函数第4讲 函数的概念与性质函数的简单特性4.周期性定义8 设函数在区间内有定义，若存在正常数 T使得对于任意 x，恒有则称为以 T 为周期的周期函数.如果 T 是的周期，也为的周期，并有在周期函数的所有周期中，如果存在最小的正数则称为的最小正周期，或基本周期.第4讲 函数的概念与性质函数的简单特性例10 证明函数为周期函数，且T1是它的最小正周期.几何特点：周期函数的图形具有“平移复制”特点第5讲 初等函数问题引入第5讲 初等函数问题引入翻一番就是在原来的基础上乘2，翻两番就是在原来的基础上乘2的平方，翻N番就是在原来的基础上乘以2的 N 次方.对数第5讲 初等函数问题引入“人们的精神财富与物质财富的对数成正比.”丹尼尔伯努利第5讲 初等函数主要内容基本初等函数初等函数双曲函数第5讲 初等函数基本初等函数幂函数第5讲 初等函数基本初等函数整幂函数与根式函数第5讲 初等函数基本初等函数双曲函数与“广义双曲函数”第5讲 初等函数基本初等函数指数函数（为常数且）常用：自然指数函数第5讲 初等函数基本初等函数对数函数（为常数且）常用：自然对数函数第5讲 初等函数基本初等函数指数与对数运算法则指数运算法则 若a,b为不等于1的正数，x,y 为任意实数，则有对数运算法则 若a 为不等于1的正数，x,y 为任意正数，r 为任意实数，则有“托对数的福，天文学家的寿命延长了一倍。”开普勒第5讲 初等函数基本初等函数三角函数欧拉瑞士（1707-1787）欧拉无穷小 分 析 引论:三 角函数是一种函数线与圆半径的比值.sinxtanx（圆函数）第5讲 初等函数基本初等函数正弦函数的图像第5讲 初等函数基本初等函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数第5讲 初等函数基本初等函数第5讲 初等函数基本初等函数定义域：值域：反正弦函数第5讲 初等函数基本初等函数定义域：值域：反余弦函数第5讲 初等函数基本初等函数例1 三角函数函数与其反三角函数的复合第5讲 初等函数基本初等函数例2 化简，其中.【方法一】令，则，所以【方法二】令，则，第5讲 初等函数初等函数定义1 由基本初等函数与常值函数经过有限次四则运算或复合运算得到的由一个统一的解析式子表示的函数称为初等函数.多项式函数有理函数第5讲 初等函数初等函数为初等函数定义2 通过对多项式进行代数运算(四则运算与开方运算）所得到函数称为代数函数，非代数函数的的函数称为超越函数.超越函数包含三角函数与反三角函数、指数函数与对数函数等.例如，第5讲 初等函数双曲函数第5讲 初等函数双曲函数定义3（双曲函数）分别成为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切函数.双曲恒等式第5讲 初等函数双曲函数双曲正弦函数双曲余弦函数12-1-221-2-121-12-21-1第5讲 初等函数双曲函数例3 画出函数在区间上的图形.悬链线第5讲 初等函数双曲函数双曲正切函数双曲余切函数第5讲 初等函数双曲函数共性：t均为阴影部分扇形面积的二倍！第5讲 初等函数双曲函数反双曲正切函数定义4 对于，称满足方程的 y 为 x 的反双曲正弦函数，记为第6讲 参数方程与极坐标问题引入第6讲 参数方程与极坐标问题引入第6讲 参数方程与极坐标问题引入留声机与唱片第6讲 参数方程与极坐标问题引入留声机与唱片第6讲 参数方程与极坐标问题引入留声机与唱片阿基米德螺旋线第6讲 参数方程与极坐标问题引入如何用数学的方法来描述动点运动的轨迹（曲线）？2sin2,2cos5xtt ytt=+=+第6讲 参数方程与极坐标问题引入如何用数学的方法来描述动点运动的轨迹（曲线）？2sin2,2cos5xtt ytt=+=+参数方程极坐标方程第6讲 参数方程与极坐标主要内容曲线的参数方程极坐标与极坐标方程圆锥曲线第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程1.参数方程的概念一元函数 y=f(x)的图形通常为平面曲线第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程平面上满足方程F(x,y)=0的点(x,y)的集合通常表示一条平面曲线笛卡尔叶形线第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程笛卡尔叶形线第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程函数的图形与任何一条平行于 y 轴直线不能有一个以上交点竖直判别法笛卡尔叶形线第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程参数t可以是角度、时间、弧长等，其取值范围可以是全体实数，也可以是某个实数区间第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程理解 可以将参数 t 视为时间，点视为动点在时刻t 的位置坐标.当 t 遍历其取值范围时，动点便描绘一条从端点到端点的曲线.第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程2.直角坐标方程化为参数方程第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程2.直角坐标方程化为参数方程直接将横坐标或者纵坐标作为参数令 y=t x，代入直角坐标方程解 x 为 t 的关系式得利用三角恒等式由几何意义或者问题的实际背景第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程例1 写出曲线的一个参数方程第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程例1 写出曲线的一个参数方程例2 当一个圆沿直线滚动时，圆周上的一个点所画出的轨线被称为一条圆滚线（又称摆线）.若圆的半径为 a 且沿 x 轴滚动，原点作为圆上点 P 的初始位置，求圆滚线的参数方程第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程例1 写出曲线的一个参数方程例2 当一个圆沿直线滚动时，圆周上的一个点所画出的轨线被称为一条圆滚线（又称摆线）.若圆的半径为 a 且沿 x 轴滚动，原点作为圆上点 P 的初始位置，求圆滚线的参数方程第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程约翰伯努利 瑞士(Johann Bernoulli)1667年1748年摆线第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程3.常见曲线的参数方程椭圆的参数方程过定点倾斜角为的直线的参数方程第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程双曲线的参数方程焦点在 x 轴正半轴的抛物线参数方程第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程例3将曲线的参数方程化为直角坐标方程.第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程例3将曲线的参数方程化为直角坐标方程.星型线第6讲 参数方程与极坐标曲线的参数方程例3将曲线的参数方程化为直角坐标方程