湖南大学《高等数学》课件-第5章.pdf

第 第 第 第 5 5 章章章章导数与微分的应用导数与微分的应用导数与微分的应用导数与微分的应用第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用1 1 1 1、函数的单调函数的单调函数的单调函数的单调性性性性单调减少单调减少单调增加 单调增加 aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab1 1 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用定理定理 1 设函数 f(x)在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,则 (1)若 x(a,b)有 f(x)0,则 f(x)在 a,b 上严格单调增加;(2)若 x(a,b)有 f(x)0,则 f(x)在 a,b 上严格单调增加;(2)若 x(a,b)有 f(x)0,则 f(x)在 a,b 上严格单调减少.例例 1.讨论 y=x3的单调性.oxy=x3y例例 2.讨论 y=ex x 1 的单调性.例例 3.讨论 的单调性.23yx=oxy23yx=第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用注注 1.若 f(x)仅在区间 I 的有限个孤立点上等于零,其它点处恒大于 零(或 小于零),则 f(x)在 I 上严格单调增加(或严格单调减少).注注 2.f(x)等于零的点(驻点)和 f(x)不存在的点(不可导点)可能成 为 f(x)单调区间的分界点.注注 3.求 f(x)单调区间的步骤:(1)求 f(x)定义域 D;(2)求出 f(x)所有驻点和不可导点;(3)将驻点和不可导点插入定义域内,将之分成若干个小区间;(4)由 f(x)的符号讨论 f(x)在每个小区间的单调性.第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用例例 4.确定函数 y=x36x2+9x10 的单调区间.例例 5.证明方程 x36x2+9x10=0 有且仅有一个实根.例例 6.证明:3x tanx+2sinx (0).2xp 0,试证 在(0,a)单调增加.()f xx2 2 2 2、曲线的凹凸曲线的凹凸曲线的凹凸曲线的凹凸性性性性第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用x1x2oxy221xx+f(x1)f(x2)2(21xxf+2)()(21xfxf+x1x2221xx+f(x1)f(x2)2(21xxf+oxy2)()(21xfxf+曲线是凹的 曲线是凹的 曲线是凸的 曲线是凸的 1212()()()22f xf xxxf+1212()()()22f xf xxxf+(下凸的下凸的).(上凸的上凸的).第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用2)()()2(2121xfxfxxf+(凸的).定义定义 1 设 f(x)在区间 I 上连续.若 x1,x2 I 恒有问题思考问题思考.凹凸曲线还具有什么特性？xyo第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用xyo定理定理 2 设 f(x)在区间 a,b 上连续,在(a,b)内具有二阶导数.(1)若 x(a,b),有 f(x)0.曲线 y=f(x)在(a,b)上是凹的.(2)若 x(a,b),有 f(x)0.曲线 y=f(x)在(a,b)上是凹的.(2)若 x(a,b),有 f(x)(0,0,1).xyxy n)(3632=xx271121,1=yy232 11(,)3 27(0,1)第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用内容小结：内容小结：1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(f(x)在 I 上单调递增Ixxf,0)(Ixxff(x0)有 f(x)f(x0)定义定义 1 设 f(x)在 U(x0)内有定义.若 x),(0 xU则称 f(x0)为 f(x)的一个极大值(极小值),点 x0称为极大值点(极小值点).极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用xaby=f(x)ox1x2x3x4x5yx1,x4为极大点x2,x5为极小点x3不是极值点定理定理 1(Fermat 定理定理)若 f(x)在 x0可导,且在 x0处取得极值,则 f(x0)=0.定理定理 1(Fermat 定理定理)若 f(x)在 x0可导,且在 x0处取得极值,则 f(x0)=0.注注 1.可导的极值点必是驻点,但其逆不成立.例如 y=x3在 x=0 处.注注 2.连续不可导点,也可能是极值点.例如 y=|x|在 x=0 处.第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用极值可疑点驻点:f(x0)=0 的点使 f(x)不存在的点问题思考问题思考.如何判别极值可疑点是否极值点？oyxx0极值可疑点f(x)单减f(x)0oyxx0极值可疑点为极大值点f(x)单增f(x)0f(x)单减f(x)0为极小值点第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用定理定理 2(极值第一判别法极值第一判别法)若 f(x)C(U(x0),在 U(x0)可导,且 x0为极值可疑点,则(1)若当 x0,当 xx0时,f(x)0,则 f(x)在 x0处取极大值;(2)若当 xx0时,f(x)x0时,f(x)0,则 f(x)在 x0处取极小值.定理定理 2(极值第一判别法极值第一判别法)若 f(x)C(U(x0),在 U(x0)可导,且 x0为极值可疑点,则(1)若当 x0,当 xx0时,f(x)0,则 f(x)在 x0处取极大值;(2)若当 xx0时,f(x)x0时,f(x)0,则 f(x)在 x0处取极小值.注注 3.若 f(x)在 U(x0)内不变号,则 f(x)在 x0处就不取极值.。例例 1.求函数23()(1)f xxx=-的极值.第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用问题思考问题思考.有无其它方法判别驻点是否极值点？2200000()()()()o(),()2!fxf xf xxxxxxU x-=-+-定理定理 3(极值第二判别法极值第二判别法)若 f(x)在点 x0处具有二阶导数,且 f(x0)=0.若 f(x0)0,则(1)当 f(x0)0 时,f(x)在 x0处取极小值.定理定理 3(极值第二判别法极值第二判别法)若 f(x)在点 x0处具有二阶导数,且 f(x0)=0.若 f(x0)0,则(1)当 f(x0)0 时,f(x)在 x0处取极小值.+-例例 2.求函数 f(x)=x3 6x2+9x 的极值.第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用注注 4.若 f(x0)=0,则利用定理 3 不能判别 f(x)在 x0处是否取极值.例如 y=x3和 y=x4在 x=0处.定理定理 4(极值推广判别法极值推广判别法)若 f(x)在 U(x0)内具有 n(n0)阶导数,且 f(x0)=f(x0)=f(n 1)(x0)=0,而 f(n)(x0)0,则 (1)当 n 为偶数时,x0必为极值点,且 f(n)(x0)0 时,x0为 f(x)的极小值点.(2)当 n 为奇数时,x0不是极值点.定理定理 4(极值推广判别法极值推广判别法)若 f(x)在 U(x0)内具有 n(n0)阶导数,且 f(x0)=f(x0)=f(n 1)(x0)=0,而 f(n)(x0)0,则 (1)当 n 为偶数时,x0必为极值点,且 f(n)(x0)0 时,x0为 f(x)的极小值点.(2)当 n 为奇数时,x0不是极值点.例例 3.求函数23()(1)1f xx=-+的极值.第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用注注 5.极值的判别法(定理 2 定理 4)都是充分的.当这些充分条件不 满足时,不等于极值不存在.例如：212(2sin),0,()2,0.xxf xxx-+=f(0)=2 为极大值,但不满足定理 2 定理 4 的条件.第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用2 2 2 2、函数的最函数的最函数的最函数的最值值值值设 f(x)Ca,b,且在(a,b)内只有有限个可极值疑点,记为则)(,),(),(),(min)(min1,nbaxxfxfbfafxf=x1,x2,xn.)(,),(),(),(min)(min1,nbaxxfxfbfafxf=ox1y14-252例例 4.求 f(x)=|2x3 9x2+12x|在 的最大值与最小值.1 5,4 2-第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用注注 4.在解决实际问题的最值时下面两个结论特别有用：1)若 f(x)Ca,b,且在(a,b)内只有唯一一个极值可疑点时,则此极值可疑点就是实际问题的最值点.2)若 f(x)在 a,b 上单调时,最值必在端点处达到.第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用例例 5.如图所示,某工厂 C 到铁路 A 处的垂直距离 CA=20km,须从距 A 为AB15020CD150km 的 B 处运来原料.已知铁路与公路吨公里货运价之比为 3:5,现要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条公路,为使货物从 B 运到工厂C 的运费最省,问 D 点应如何选取?x第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用例例 6.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作用开始移动,FFP设摩擦系数 问力 与水平面夹F0.25,m=角为多少时才可使力 的大小最小?F第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用内容小结：内容小结：1.连续函数的极值(1)极值可疑点:驻点或不可导点(2)第一充分条件f(x)过极值可疑点 x0由正正变负负00()0,()0fxfx=f(x0)为极小值第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用内容小结：内容小结：(4)极值推广判别法：定理 42.最值问题最值点应在极值可疑点和边界点上找.实际问题的最值若只有唯一极值可疑点,则此点是此问题的解.第 第 第 第 5 5 章章章章导数与微分的应用导数与微分的应用导数与微分的应用导数与微分的应用第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用3 3 函数图形的描绘函数图形的描绘1 1 1 1、曲线的渐近曲线的渐近线线定义定义 1 若曲线 C 上的点 P 沿着曲线无限地远离原点时,点 P 与某一直线 L 的距离趋于 0,则称直线 L 为曲线 C 的一条渐近渐近线线 .Cy=f(x)xoyy=kx+bLQP例如,双曲线22221xyab-=有渐近线0.xyab=第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用水平渐近线水平渐近线:若则曲线 y=f(x)有水平渐近线 y=b.()lim(),xxf xb+-=垂直渐近线垂直渐近线:若则曲线 y=f(x)有垂直渐近线()lim()(,),xaxaf x+-=+-x=a.斜渐近线斜渐近线:若则曲线 y=f(x)有()()()lim,lim (),xxxxf xkbf xkxx+-=-斜渐近线 y=kx+b.第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用121yx=+-例例 1.求曲线的渐近线.例例 2.求曲线的渐近线.3223xyxx=+-213-12-=xy第 第 5 章 导 数 与 微 分 的 章 导 数 与 微 分 的 应 用应 用2 2 2 2、函数图形的描函数图形的描绘绘步骤 步骤:1.确定 y=f(x)的定义域,并考察