湖南大学《高等数学》课件-第9章.pdf

第 第 第 第 9 9 章章章章常 微 分 方常 微 分 方常 微 分 方常 微 分 方程程程程第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程 微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中,往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系,却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系,从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程,即微分方程.通过求解这种方程,同样可以找到指定未知量之间的函数关系.因此,微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科进行科学研究的强有力的工具.第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”,那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题.例如,物体的冷却,人口的增长,琴弦的振动,电磁波的传播等,都可以归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程 微分方程是一门独立的数学学科,有完整的理论体系.而微积分,线性代数,解析几何等提供的数学方法,在(常)微分方程中得到了综合应用进一步加深了我们对数学的理解和兴趣,认识到学习数学的必要性;同时,我们也可看到物理,力学,电学等的一些基本概念,基本定理,在建立实际问题的数学模型中可起到的重要作用.本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念,常用的微分方程(组)的求解方法及线性微分方程(组)解的理论.第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程1 1 常微分方程的基本概念 1 1 1 1、实际问题中的一些常微分方实际问题中的一些常微分方实际问题中的一些常微分方实际问题中的一些常微分方程程程程实际问题数学模型数学结果数学工具数学方法数学语言第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程引例 1.物体冷却过程的数学模型物体冷却过程的数学模型.一物体在温度为 ua=24oC 的恒温介质中冷却,设它的初始温度为 u0=150oC,10 分钟后它降到 u10=100oC.试求出20 分钟后该物体的温度 u.引例 2.死亡时间的数学模型死亡时间的数学模型.假设凌晨 12 点在某酒店发现了一具体温 80oF 的被谋杀者,此时房间的室温是 60oF.两小时后测得死者体温为 75oF，请问此人被谋杀时间？第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程引例 3.物体运动过程的数学模型物体运动过程的数学模型.一质量为 m 的物体以初速度 v0在距地面为 H 的高处自由落体,不记空气阻力,试求(a)物体在 t 时刻的位移 s(t);(b)物体落地时间 T.s(t)HFig.1.1.so引例 4.解析几何模型解析几何模型.求一曲线,该曲线过点(1,2)且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为该点横坐标的2 倍.oxFig.1.2y(1,2)第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程2 2 2 2、微分方程的概念微分方程的概念微分方程的概念微分方程的概念 联系着自变量、未知函数及未知函数导数(或微分)的方程称为微分方程微分方程.方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶阶.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程常微分方程.未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方偏微分方程程.第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程例如,3tan,yyxxx=+dd23222()0,xxtt xtt-+=dddd1111ddd().()()(),dddnnnnnnyyya xaxa x yf xxxx-+=分别是一阶,二阶和 n 阶常微分方程.,0222222=+zTyTxT;zzxyzxy+=分别是一阶和二阶偏微分方程.而它们都是微分方程.第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程()(,)0,(1)nF x y y yy =L 如果能从方程(1)中解出最高阶导数,就得到微分方程()(1)(,).(2)nnyf x y yy-=Ln 阶显式方程n 阶隐式方程常微分方程的一般形式是:第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程()(1)11()()()()(3)nnnnya x yax yax yf x-+=L如果方程(1)可表为如下形式:则称为 n 阶线性微分方程阶线性微分方程,其中 a1(x),a2(x),an(x)和 f(x)均为自变量 x 的已知函数.当 f(x)=0,方程(3)成为方程(4)称为 n 阶齐线性方程阶齐线性方程.相应地,方程(3)称为 n 阶非齐线性方程阶非齐线性方程.不能表示成形如(3)式的微分方程,统称为非线性方程非线性方程.()(1)11()()()0(4)nnnnya x yax yax y-+=L 第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程例 1.试指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的阶数.222(3)2()(1)ddd(1);(2)240;ddddd(3)250;(4)cos()ln1;dd(5)sin(cossin).nnyyyxyxxxxxyyxyxyyyxxxyxyxx-=+-+=-+=+=+=+第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程3 3 3 3、微分方程的解的概念微分方程的解的概念微分方程的解的概念微分方程的解的概念 代入微分方程能使方程称为恒等式的函数称为该微分方程的解解.()(,(),(),(),()0,nF xxxxxjjjj=L则称函数 y=j(x)为微分方程(1)在区间 I 上的解.更确切地说,设函数 y=j(x)在区间 I 上有 n 阶连续导数,如果在区间 I 上,有例如,2yxx=dd都是方程 22()1;()ayxbyxc=+=+的解.第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程 一般地,微分方程的含有任意常数且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解通解.问题思考问题思考.这里所说的相互独立的任意常数,是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.怎样判断 n 阶微分方程的解 y=j(x,c1,cn)中的 n 个常数是否相互独立?第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程 许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解,此时,这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数,这类附加条件称为定解条件定解条件.方程满足定解条件的解称为特解特解.其中定解条件是在自变量同一值处给出的称为初始条件初始条件.定解条件是在自变量不同值处给出的称为边值条件边值条件.第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程 带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题初值问题,也称 Cauchy 问题问题.带有边值条件的微分方程称为微分方程的边值问题边值问题.例如,2;()1,()2xyyeyy+=是一微分方程的初值问题.2;(0)1,(1)1xyyeyy+=是一微分方程的边值问题.第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程二阶微分方程的边值问题为:0101(,),;.x xx xyf x y yyyyy=二阶微分方程的初值问题为:00100(,),;.x xx xyf x y yyyyy=一般地,一阶微分方程的初值问题为:00(,),.x xyf x yyy=第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程n 阶微分方程的初值问题为:000()(1)1(1)1000(,.,),.,nnnnx xx xx xyf x y yyyyyyyy-=其中,x0,y0,y01,y0n-1是给定的值.第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程例 2.验证函数 2()sinyxCx=+(C 为任意常数)是方程cot2 sin0yyxxxx-=dd的通解,并求满足初始条件 20 xy=的解.第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程4 4 4 4、微分方程的积分曲线的概、微分方程的积分曲线的概、微分方程的积分曲线的概、微分方程的积分曲线的概念念念念 考虑定义在 xoy 平面的区域 G 内的一阶微分方程：(,),(,),(5)yf x yx yG=方程(5)的解的图形是 xoy 面上的一条曲线,称为方程(5)的积分积分曲线曲线.(x,y)G,我们称以点(x,y)为中心,斜率为 f(x,y)的小直线段为点点(x,y)处由方程处由方程(5)定义的线素定义的线素.方程(5)在区域 G 内每一点的线素的全体称为方程方程(5)在在 G 内内定义的线素场定义的线素场.利用线素场可以近似地画出积分曲线.第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程yxyx=-dd的线素场,并近似地画出过(4,4)的积分曲线.解解:计算一些特殊点处的斜率值,得下表 y x-4-3-2-101234-40-1-2-3-4-5-6-7-8-310-1-2-3-4-5-6-7-2210-1-2-3-4-5-6-13210-1-2-3-4-5043210-1-2-3-41543210-1-2-326543210-1-2376543210-14876543210例例 3.画出方程第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程yxyx=-dd的线素场,并近似地画出过(4,4)的积分曲线.例例 3.画出方程Fig.1.3-4-2024-4-2024Fig.1.4第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程例例 4.求一微分方程,以 221()4ycc x-=为其积分曲线族.内容小结：内容小结：1.微分方程3.微分方程的阶4.线性与非线性微分方程5.微分方程的解6.通解与特解7.初始条件与边值条件8.初值问题与边值问题9.积分曲线与积分曲线族2.常微分方程与偏微分方程第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程一阶常微分方程的一般形式为:(,)0F x y y=d(,)dyf x yx=或(,)d(,)d0.M x yxN x yy+=或可分离变量的方程可分离变量的方程线性方程线性方程恰当方程恰当方程变量分离变量分离法法齐次方程齐次方程变量代换变量代换法法Bernoulli 方程Bernoulli 方程常数变易常数变易法法变量代换变量代换法法凑全微分凑全微分法法非恰当方程非恰当方程积分因子积分因子法法显式方程显式方程第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程2 2 一阶微分方程1.1.1.1.变量可分离微分方程变量可分离微分方程变量可分离微分方程变量可分离微分方程1122d()()()()d()()d0dyf xyf x gyxfx gyyxj=+=或的方程称为变量可分离方程变量可分离方程.求解方法：分离变量法分离变量法形如第 第 第 第 9 9 章章章章常 微 分 方常 微 分 方常 微 分 方常 微 分 方程程程程第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程2 2 一阶微分方程1.1.1.1.变量可分离微分方程变量可分离微分方程变量可分离微分方程变量可分离微分方程1122d()()()()d()()d0dyf xyf x gyxfx gyyxj=+=或的方程称为变量可分离方程变量可分离方程.求解方法：分离变量法分离变量法形如第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微 分 方 程程1.方程d()()dyf xyxj=解法解法:d()d,()yf xxyj=分离变量,得d()d()yf xxcyj=+两边积分,得隐式通解表示一个原函数121,()()gy fx两边同乘再分别积分,得1221()()dd.()()f xgyxycfxgy+=11222.()()d()()d0f x g yxfx gyy+=方程注意注意:若存在 y0,使得j(y0)=0 或 g1(y0)=0,则方程还有解 y=y0,它可能没有包含在通解中.解法解法:注意补充遗解!第 第 9 章 常 微 分 方 章 常 微