湖南大学《高等数学》课件-第8章无穷级数.pdf

主 讲：罗 汉主 讲：罗 汉第 第 第 第 8 8 章章章章无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 数数数数第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数1 1 常数项级数的概念和性质 1 1 1 1、无穷级数、无穷级数、无穷级数、无穷级数对于序列 un，nnnuuuu211称为一个无穷级数无穷级数，简称级数级数；其中 un称为该级数的一般项一般项（或通项通项）.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数2 2 2 2、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性（部分和（部分和）nnuuuS21“部分和”序列 Sn：S1=u1,S2=u1+u2,Sn=u1+u2+un,)1(211nnnuuuu第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定义 定义 1：若对于 Sn 有 ，SSnnlim则称级数(1)收敛收敛，收敛于 S；并称 S 为级数(1)的和和.nnnuuuuS211记若 Sn 没有极限，则称级数(1)发散发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 1.讨论级数nnn211的敛散性.例 2.讨论等比级数等比级数(几何级数)的敛散性.)0(1211aaqaqaqaaqnnn结论结论:公比 q：|q|1 时收敛，和为 ；|q|1 时发散.qa1第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 3.证明级数)1(1321211)1(11nnnnn收敛于 1.例 4.证明调和级数调和级数发散：nnn13121111问题思考.记168421SSS21)8421(21则于是 S=1.？第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数3 3 3 3、无穷级数的基本性质、无穷级数的基本性质、无穷级数的基本性质、无穷级数的基本性质性质 性质 1.设 ，若 k 0 为常数，则 与 有相同的敛散性.1nnu1nnku1nnu问题思考.若 k=0，如何？若 收敛，则 的“和”如何？1nnu1nnku第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数性质 性质 2.去掉、增添或改变 的有限个项，不会改变其敛散性.1nnu问题思考.收敛时，级数的“和”如何？第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数性质 性质 3.若 与 都收敛，则 也收敛，且1nnu1)(nnnvu1nnv.)(111nnnnnnnvuvu问题思考.若一个收敛、一个发散呢？两个都发散呢？第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数性质 性质 4.若 收敛，将其任意加括号后所成的级数仍然收敛，且其和不变.1nnu问题思考.若一个带括号的收敛级数去了括号呢？反过来，若发散的级数加了括号呢？第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数性质 性质 5.(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)若 收敛，则1nnu.0limnnu问题思考.性质 5 的逆命题呢？推论推论.若 ，则 发散.1nnu0limnnu第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数 若 收敛,其和为 S,则称 rn=S Sn 为 的余余项项.1nnu1nnu若用 Sn近似 S，则截断误差截断误差为|rn|.显然，且 1nkknur.0limnnr第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数2 2 常数项级数的敛散性判别 1 1 1 1、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法)0(211nnnnuuuuu，定理 定理 1.(正项级数收敛准则正项级数收敛准则)正项级数 收敛 Sn 有上界.nu 第 第 8 章章 无 穷 级 数无 穷 级 数 1 1 无穷级数的基本概念 1 1、无穷级数、无穷级数、无穷级数、无穷级数将序列 un 一项项地加起来，得到nnnuuuu211称为一个无穷级数无穷级数，简称级数级数；其中 un称为该级数的一般项一般项（或通项通项）.若 u1,u2,un,均为常数，则称其为常数项级常数项级数数，若 u1,u2,un,均为某个变量 x 的函数，则称其为函数项级数函数项级数.2 2、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性(前 n 项)部分和部分和：nnuuuS21构成一个“部分和序列”Sn：S1=u1,S2=u1+u2,Sn=u1+u2+un,)1(211nnnuuuu定义 定义 1：若 SSnnlim则称级数(1)收敛收敛，收敛于 S；并称 S 为级数(1)的和和.nnnuuuuS211记 若 Sn 没有极限，则称级数(1)发散发散.例 2.研究等比级数等比级数（几何级数）的敛散性.)0(1211aaqaqaqaaqnnn解:公比为 q.|q|1 时，有1nnaqaqaSqaqan1qaqqan11例 1.研究级数nnn211的敛散性.解:部分和2)1(21nnnSn 级数发散.当|q|1时nnSlim|q|0 为常数，N为自然数.nunv(1)若 收敛，且 un cvn(n N)，则 收敛；nvnu(2)若 发散，且 un cvn(n N)，则 发散.nunv第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 1.讨论 p 级数级数（广义调和级数）的敛散性.pppnpnn13121111结论：结论：p 级数当 p1 时收敛；p1 时发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 2.判别下列级数的敛散性：11)1(nnn1131)2(nn12)1(1)3(nnn第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数推论 推论 2.(比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)对于正项级数 和 ，若 ，则nunvnnnvulim(1)当 0 +时，与 同敛散；nvnu(2)当=0 时，收敛 收敛；nvnu(3)当=+时，发散 发散.nvnu例 3.判别级数 ；的敛散性.12543nnn11sinnn第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定理 定理 3.(DAlembert 比值判别法)对于正项级数 ，nu若nnnuu1lim则 1(包括=+)时级数发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 4.判别级数 ；的敛散性.1!nnnn1123nnn注意到定理 3 中=1 时无法判定级数的敛散.p 级数不论 p 为何值均有11limlim1pnnnnnnuu第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定理 定理 4.(Cauchy 根值判别法)对于正项级数 ，nu若nnnulim则 1(包括=+)时级数发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数同样定理 4 中 =1 时也无法判定级数的敛散.p 级数不论 p 为何值均有11lim1limlimpnnnpnnnnnnu例 5.证明级数 收敛，并估计以部分和 Sn近似代替S 时所产生的误差.11nnn 第 第 8 章章 无 穷 级 数无 穷 级 数 2 2 常数项级数的敛散性判别 1 1、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法)0(211nnnnuuuuu，定理 定理 1.(收敛准则)正项级数 收敛的充分必要条件是其部分和数列 Sn 有上界.nu证 证 “”：因 S1S2 Sn ，故若 Sn 有上界，由“单调有界准则”知其极限存在；“”：若级数收敛，则 Sn 有极限，由“有界性定理”，知 Sn 有界，故有上界.定理 定理 2.(比较判别法)对于正项级数 、，nunv(1)若 收敛，且 un vn(n=1,2,)，则 收敛；nvnu(2)若 发散，且 un vn(n=1,2,)，则 发散；nunv证证:(1)设 vn=T，且由条件 un vn，则 un 的部分和TvvvuuuSnnn2121即 Sn 有上界，故由定理 1 知 un 收敛.(2)反证之.若un 收敛，则由(1)推知 vn 收敛，与vn发散的条件矛盾.推论 推论 1.对于正项级数 、，设 k 0 为常数，N为自然数.nunv(1)若 收敛，且 un kvn(n N)，则 收敛；nvnu(2)若 发散，且 un kvn(n N)，则 发散.nunvpppnpnn13121111例例 1.研究 p 级数级数（广义调和级数）的敛散性.解解.当 p=1 时为调和级数，故其发散；当 p1 时收敛；p1 时发散.pppnpnn13121111当 p1 时，对 n1 x n 有 故,11ppxn)1)1(1(11d1d111111ppnnpnnppnnpxxxnn考察 的部分和，有211)1)1(1(nppnn)1(11()3121()211(11111pppppnnnS)(1)1(111nnp由定理 1 知 p-级数收敛例 2.判别下列级数的敛散性：11nnn1131nn12)1(1nnn解：解：(1)由 ，而 收敛，得 原级数收敛；),3,2(,211nnnnn21(2)由 ，而 发散，得原级数发散；),2,1(,31131nnnn1(3)由 ，而 收敛，得原级数收敛.),2,1(,1)1(1232nnnn231n推论 推论 2.(比较判别法的极限形式)对于正项级数 、，若 ，则nunvnnnvulim(1)当 0 N 时，有22nnvu即22nnvu或nnnvuv232由比较法知 un 与 vn 同敛散；例 3.判别级数 和 的敛散性.12543nnn11sinnn(2)由极限定义，对=1，N，当 nN 时，有1nnvu即 un N 时,有1nnvu即 un vn，故由比较法知 un 收敛则 vn 收敛.解解：因 和31543lim22nnnn111sinlimnnn故由 收敛知原级数收敛；由 发散知原级数发散.21nn1定理 定理 3.(DAlembert 比值判别法)对于正项级数 ，nu若nnnuu1lim则 1(包括=+)时级数发散.证证:(1)设 0 使+=r1，由极限定义，N，当 n N 时，有nnuu1于是有)(,1Nnruunn从而 uN+1 ruN ，uN+2 ruN+1 r2uN，uN+3 ruN+2 r3uN，uN+k ruN+k1 1，取适当小 0 使 1，由极限定义，N，当 n N 时，有定理 定理 3.(DAlembert 比值判别法)对于正项级数 ，nu若nnnuu1lim则 1(包括=+)时级数发散.nnuu1于是有)(,11Nnuunn从而 uN+1 uN ，uN+2 uN+1，即 un 自第 N 项起单调增，从而 un 不可能趋于 0，于是由级数收敛的必要条件，知un 发散.类似可证=+的情形.例 4.判别级数 和 的敛散性.1!nnnn1123nnn解解：(1)因为nnnnnnnnnnuu!)1()!1(limlim11nnnn)1(limnnn)11(1lim1e1所以此级数收敛.123323limlim11nnuunnnnnn32123limnnn13(2)因为所以此级数发散.例 5.求极限 （其中常数 a 0).!limnann解解：(1)考虑级数 ，因为1!nnna101lim!)!1(limlim11nananauunnnnnnn所以由比值法知级数 收敛；1!nnna再由级数收敛的必要条件知0!limnann注意到 =1 时定理 3 不能判定级数的敛散，例如p 级数无论 p 为何值均有11limlim1pnnnnnnuu例 6.判别级数 的敛散性.12)12(1nnn解解：比值法失效.由比较法，选取4112)12(1limlim2nnnvunnnn121nn由 收敛知原级数亦收敛.121nn定理 定理 4.(Cauchy 根值判别法)对于正项级数 ，nu若nnnulim则 1(包括=+)时级数发散.也应注意 =1 时定理 4 不能判定级数的敛散：p 级数无论 p 为何值均有11lim1limlimpnnnpnnnnnnu(证法与定理 3 类似，请大家写出证明）例 7.证明级数 收敛，并估计以部分和 Sn近似代替 S 时所产生的误差.11nnn解解：由根值法，知级数收敛；101lim1li