国防科技大学《高等数学》课件-第8章.pdf

第35讲 利用导数研究函数的几何性态问题引入描点作图法描绘曲线取点第35讲 利用导数研究函数的几何性态主要内容函数图形的几何性态回顾函数图形的渐近线函数的几何性态研究第35讲 利用导数研究函数的几何性态函数图形的几何性态回顾函数图形特性条件结论示例增减性凹凸性()0fx()f x 增()0fx()f x 减()0fx()f x 下凸(凹)()0fx()f x 上凸(凸)第35讲 利用导数研究函数的几何性态函数图形的几何性态回顾点的类型极值点与拐点判定方法示例0()fxx在两侧异号00()0,()0fxfx0 x极值点00(,()xf x拐点0()fxx在两侧异号00()0,()0fxfx第35讲 利用导数研究函数的几何性态函数图形的渐近线xyO51015-5-10-15()arctanf xx0,2yy 变化趋势接近水平直线第35讲 利用导数研究函数的几何性态函数图形的渐近线0lim()xf x xyO121()(1)f xxx0lim()xf x 1lim()xf x 1lim()xf x 变化趋势接近铅直直线0,1xx第35讲 利用导数研究函数的几何性态函数图形的渐近线byxa 向无穷远处无限延伸变化趋势接近斜直线xyO第35讲 利用导数研究函数的几何性态函数图形的渐近线渐近线定义1 直线 l 称为曲线 C 的渐近线，若点 P 沿 C 的某一支无限远离某一定点时，动点 P 到直线 l 的距离第35讲 利用导数研究函数的几何性态函数图形的渐近线定理1（曲线渐近线的求法）（1）曲线存在水平渐近线的充要条件是：（2）曲线存在铅直渐近线的充要条件是：（3）曲线存在斜渐近线的充要条件是：第35讲 利用导数研究函数的几何性态函数图形的渐近线定理1（曲线渐近线的求法）（3）曲线存在斜渐近线的充要条件是：第35讲 利用导数研究函数的几何性态函数图形的渐近线例1求双曲线的斜渐近线.22221xyab例2求曲线的渐近线.223()1xf xxxyO121 x22yx第35讲 利用导数研究函数的几何性态函数的几何性态研究分析作图法第一步:函数的一般性质分析：确定函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、与坐标轴的交点；第二步:求一阶导数和二阶导数，确定使的点及不存在的点，以及使的点及不存在的点，即找出函数的可能极值点和拐点；第三步:列表分析，分别根据及的符号确定的单调区间和凹凸区间、极值点和拐点；第35讲 利用导数研究函数的几何性态函数的几何性态研究例3作出函数的图形.21xyx例4作出函数的图形.第四步:用渐近线界定曲线的变化趋势.求水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线；第五步:描点作图，并标出关键点的坐标，使的图形轮廓清晰，特征分明第36讲 曲率问题的引入过山车第36讲 曲率问题的引入过山车高 铁第36讲 曲率问题的引入如何刻画一条平面曲线的几何特征？xyO()yf x()yg x第36讲 曲率主要内容弧微分曲率的概念及计算曲率半径与曲率圆第36讲 曲率弧微分xyO()yf x光滑曲线若函数在上有连续导数，则称曲线：（为光滑曲线.光滑曲线 上任一点的切线均可由其在某一点的切线连续变化得到.第36讲 曲率弧微分弧长函数设为光滑曲线，M(x,y)为曲线上任一点，定义弧长函数第36讲 曲率弧微分弧微分()()ss xxs x 222MQxy 222222MQxysxxMQ 2221MQyxMQ0lim1xMQMQ 22222MQMQsxxMQMQ第36讲 曲率弧微分220lim1xsyx 2d1dsyx2d1dsyx22ddd(d0)sxyx弧微分公式微分三角形ds弧微分第36讲 曲率曲率的概念及计算长度相同的曲线，切线转角越大弯曲程度越大如何刻画曲线的弯曲程度？第36讲 曲率曲率的概念及计算长度相同的曲线，切线转角越大弯曲程度越大切线转角相同的曲线，弧长越短弯曲程度越大如何刻画曲线的弯曲程度？第36讲 曲率曲率的概念及计算曲率的定义弧段的平均曲率第36讲 曲率曲率的概念及计算定义1 光滑曲线 C 在点 M 处的曲率为0lim.sKs 例1求直线和圆的曲率.曲率的定义第36讲 曲率曲率的概念及计算曲率的计算设曲线 C 的直角坐标方程为 y=f(x),且 f(x)具有二阶导数.322d.d1yKsy第36讲 曲率曲率的概念及计算例2 计算曲线在点(1,0)处的曲率.例3 求圆滚线在点处的曲率.试给出曲线用参数方程和极坐标描述时曲率计算的一般公式.思考与练习第36讲 曲率曲率的概念及计算注:曲率计算公式如果则因此有曲率的近似计算公式即当时,曲率 K 近似于说明二阶导数的大小对曲线的弯曲程度起着决定性的影响.第36讲 曲率曲率半径与曲率圆曲率圆设曲线 C:y=f(x)在点 M(x,y)处的曲率为.在曲线的凹侧，与曲线在 M 点相切，半径的圆称为曲线在点 M 处的曲率圆.R 称为曲率半径，曲率圆的圆心称为曲率中心.第36讲 曲率曲率半径与曲率圆铁路中的缓和曲线为了确保列车行驶安全，尽可能保证列车运行时所受离心力的平稳变化.质量为的质点以速度 通过光滑曲线上一点，所受离心力为?其中 为曲线在该点处的曲率半径.第36讲 曲率曲率半径与曲率圆为了确保列车行驶安全，尽可能保证列车运行时所受离心力的平稳变化.常用的缓和曲线：三次多项式 渐开螺旋线 双扭线 缓和曲线：?三次多项式铁路中的缓和曲线第37讲 解非线性方程的牛顿切线法问题的引入若有使得，则称为方程的根，或称为函数的零点线性方程：非线性方程：（其中不具有的形式）例如，三次方程?第37讲 解非线性方程的牛顿切线法问题的引入五次及五次以上的代数方程不存在一般形式的根式解！?阿贝尔挪(Niels Henrik Abel)伽罗瓦法(variste Galois)第37讲 解非线性方程的牛顿切线法问题的引入可求精确根无法求精确根求近似根两种情形(根的形式可能很复杂)求方程实根求近似根方法(1)确定初始含根区间;区间收缩法：(2)收缩含根区间.二分法第37讲 解非线性方程的牛顿切线法主要内容牛顿法思想及迭代公式牛顿法的收敛性第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法思想及迭代公式简单迭代法的基本思想将方程变换为一个等价形式，构造迭代格式?其中称为迭代函数,也称为不动点方程.对给定的初值?，由迭代格式得到的序列?称为迭代序列.对于连续函数，如果迭代序列?收敛于，那么有?第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法思想及迭代公式例1通过变换方程?构造不同迭代格式，通过选取合适的初值，比较不同迭代格式的收敛性?121?1?1?2?3?31.5?变换方程，得到三种不动点方程：?第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法思想及迭代公式?(1)?1?2?1?3?1?10123456781.51.3572091.3308611.3258841.3249391.3247601.3247261.3247191.3247181.51.1111111.7100000.9267812.2432530.6445023.9590010.31639013.1503941.50.8-2.777770.148897-1.02267321.8054620.0021075-1.000004112564.02收敛发散发散第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法思想及迭代公式牛顿迭代法的基本思想及迭代公式原理：将非线性方程线性化设在其零点附近连续可微,?是的近似根，在?附近用的一阶泰勒多项式近似，有?当?时，可以取线性方程?的根?作为的第1次近似值.第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法思想及迭代公式同理，当?时,有?作为的第 k 次近似值.依次类推，当?时，有?.条件：在附近连续可微且.迭代函数：()().()f xxxfx=-的第2次近似值牛顿迭代公式第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法思想及迭代公式牛顿迭代法几何意义?.?“切线法”第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法思想及迭代公式例2用牛顿法求方程?的正根，即求的近似值.取初始近似值为?,迭代15次的对的近似值如下表迭代次数迭代次数?|?|与与?对照相同的位数对照相同的位数010.414213562111.50.085786437121.41666666666670.002453104331.41421568627452.1239?10?541.41421356237471.5947?10?12迭代公式为：?第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法的收敛性 称为根的一个隔根区间设满足：(1)在上连续，且;上?及?不变号.在内有唯一的实根.(2)在?0,?0?0,?0（1）?0,?0?0,?0（2）?（2）?（1）第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法的收敛性定理1 设在上有二阶导数，且满足；?；?.那么，方程在内有唯一实数根，且当取?，按牛顿迭代公式给出的点列?收敛于.?第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法的收敛性牛顿法的误差估计由微分中值定理得?(在?和之间)因为,所以?记?,?,则得?第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法的收敛性例3用切线法求方程?的近似解,使误差不超过 0.01.解:方程有唯一的正实根,且23443220()()(),fxxxxx=-=+-642 320()(),fxxx=-=-3 4311,min()().mf xf=设?.因为为一隔根区间,在上有由图可见第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法的收敛性故取?,得?故?的精度不够.再求?因此得满足精度要求的近似解.第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法的收敛性例4用牛顿法求解方程，其中?分别选取初始点为?和?.?0.4?0.6?00.400000.60010.10000?0.60020.047060.60030.02293?0.60040.011330.60050.00563?0.600?23230.6?0.6第37讲 解非线性方程的牛顿切线法牛顿法的收敛性优点：是收敛速度比较快缺点：对初始值要求高，并且需要计算导数牛顿迭代法?.?第38讲 定积分的概念问题的引入大坝的溢流坝第38讲 定积分的概念问题的引入第38讲 定积分的概念问题的引入割圆术第38讲 定积分的概念主要内容几个典型的定积分问题定积分的定义定积分的几何意义定积分的基本性质第38讲 定积分的概念几个典型的定积分问题曲边梯形的面积曲边梯形是由连续曲线，轴及两直线所围成第38讲 定积分的概念几个典型的定积分问题曲边梯形的面积等分区间，用小矩形的面积近似小曲边梯形的面积第38讲 定积分的概念几个典型的定积分问题曲边梯形的面积等分区间，用小矩形的面积近似小曲边梯形的面积第38讲 定积分的概念几个典型的定积分问题曲边梯形的面积等分区间，用小矩形的面积近似小曲边梯形的面积第38讲 定积分的概念几个典型的定积分问题11?1?例如，假设曲边梯形的曲边为抛物线?,.将区间进行 等分，用左端点函数值作为小矩形的高来近似小的曲边梯形面积，有设图中区域的面积为,142434 4112304444Lffff显然第38讲 定积分的概念几个典型的定积分问题11?1?142434 4112314444Rffff例如，假设曲边梯形的曲边为抛物线?,.将区间进行 等分，用右端点函数值作为小矩形的高来近似小的曲边梯形面积，有设图中区域的面积为,4112304444Lffff显然第38讲 定积分的概念几个典型的定积分问题一般地，将区间进行 等分，得到个子区间左和右和?2(1)(21)16nnn 2(1)(21)16nnn 2limlim3nnnnLRnnLAR第38讲 定积分的概念几个典型的定积分问题?1.分割:在区间中任意插入个分点将曲边梯形分割成 个窄条曲边梯形.一般曲边梯形的面积.设在上连续,且0.?2.取近似:?,则对应的窄曲边梯形的面积?第38讲 定积分的概念几个典型的定积分问题思想:分割取近似,作和求极限3.作和:4.取极限:1nkkAA则01lim().nkkkAfx记?，1()nkkkfx一般曲边梯形的面积.设在上连续,且0.?第38讲 定积分的概念几个典型的定积分问题